数学第四章日常生活中的数学模型

1、第四章 日常生活中的数学模型 4.2 铅球投掷的模型铅球的投掷一. 背景、问题： 投掷园 7呎=2.135m，有效扇形 450， 坻趾板1010cm, 铅球重16磅=7.264kg。 运动员单手托住铅球，在投掷园内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。 以铅球落地点与投掷园间的距离度量铅球投掷的远度。 以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。 问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？二. 模型与分析： 1. 抛射体模型：铅球出手后的运动过程 假设： 1. 铅球是个质点。 2. 忽略空气阻力。 3. 出手角度与出手速度无关。 变量、参量： 出手角度 ，出手高度 h，出手速度 v， 出手时间 t，投掷远度 s。

2、坐标系：（x，y） 铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ). 平衡关系：力与运动的牛顿定律 有解 模型:铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标检验:姓 名 v(m/s) h(m) (0) s(m) 实测李梅素 13.75 1.90 37.60 20.68 20.95李梅素 13.52 2.00 38.96 20.22 20.30 斯卢皮 13.77 2.06 40.00 21.25 21.41 分析: 1. 最佳出手角度: 求函数 s() 的极大值点 满足方程化简可得给定出手高度, 最佳出手角度随出手速度增大而增大。给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减小。 2. 最佳投掷模式

3、 给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最佳出手角度 。这三个量就构成最佳的铅球投掷模式。hv 10 11 12 13 14 14.5 15 1.9 40.48 41.16 41.71 42.15 42.51 42.76 42.80 11.95 14.11 16.48 19.05 21.81 23.27 24.78 2.0 40.28 40.99 41.55 42.01 42.39 42.55 42.70 12.03 14.20 16.57 19.14 21.90 23.36 24.87 2.1 40.08 40.82 41.40 41.88 42.27 42.44 42.59 12.12

4、14.29 16.65 19.29 22.00 23.46 24.97 3. 主要因素分析模型的参数灵敏度分析 参数变化对模型值的影响。 模型对参数变化率的分析。 模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差。 37 38 39 40 41 42 43 10 11.89 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 0.06 11 14.01 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 0.1112 16.31 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 0.1713 18.80 18

5、.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 0.2514 21.48 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 0.3415 24.36 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 0.42 12.47 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86 出手速度：12.4712.89 出手角度：0.060.42 出手高度：0.160.22模型 s(v,h,) 在点 (v0,h0,0) 关于参数 v, h, 的灵敏度。 S(s,v)=(s/v)0(v0/s0)关于在0=400处，对不同的 v

6、有 0 0.03 0.05 0.06 0.07 0.09关于 v 在 v=12 处，对不同的 有 1.83 1.84 1.91 1.86 1.86 1.87 1.87结论： 1. 出手速度最重要。 2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的. 但在最佳出手角度上下 20 范围内远度的变化很小。不必过分准确。 3. 在前面的基础上，尽量提高出手的高度 分析 问题： 1. 李梅素的数据 h=1.9m, a=37.60, v=13.75m/s, s=20.68m a=42.40， s=20.95m h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22 a=42.40 s=20.3

7、0m 出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度， 但投掷的远度减小了。 出手的速度随着出手角度的增加减小了！ 2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、出手角度和出手高度是不独立的。是运动员投掷铅球过程中用力过程的综合的结果。 需要组建铅球投掷的模型。 2. 铅球投掷模型 假设： 1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初速度。 2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。 3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。 参量: v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。 发力期间平衡关系：模型令t=0时开始用力，t=

8、t0 铅球出手。在区间0，t0积分模型，可得由此可得铅球的出手速度 检验: v h s李梅素 40.27 13.16 2.20 19.40隋新梅 39.00 13.95 2.04 21.66李梅素 38.69 13.51 2.00 20.30黄志红 37.75 13.58 2.02 20.76李梅素 37.60 13.75 1.90 20.95李梅素 35.13 14.08 1.95 21.76 分析: 1. v 随着 F 和 t0 的增加而增大; 2. v 随着 v0 的增加而增大; 3. v 随着 a 的增加而减小.女子铅球的技术特征: 滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板

9、下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。 问题：组建完整的铅球投掷的数学模型（包括出手速度、出手高度的形成），并进行分析讨论。5.3 湖水的污染一. 问题与背景： 问题：建模描述湖泊污染的状况。 背景： 湖泊: 提供水源, 水产养殖, 交通运输, 休闲旅游. 承受容纳生活垃圾, 工业排出物等污染物质. 形成磷酸盐污染, 杀虫剂污染和重金属污染. 湖泊污染的特征: 水体覆盖面积大, 污染源复杂, 不易控制. 水体流动性差, 不利于水体的更新和自净.二. 假设: 10. 污染物同质,以污染物的含量标志污染的状况. 20. 单流入, 单流出, 流速不变. 30. 变化充分光

10、滑. 40. 湖水体积定常. 50. 不考虑水体自净问题和其他因素的作用三. 建模 物理模型: 池水含盐问题 数学模型: 湖水体积：V， 湖水浓度：P(t)， 流入速度：r， 流入浓度：PI(t), 流出速度: r, 流出浓度：P(t). 则有 为湖水保留时间.四. 分析: 1. 情形 I : 自由倾倒 PI = K, P(0) = Ps. 解得 利用初始条件, 得 10. Ps K 时, P(t) 减少。 称 K 为饱和污染状况。20. 称 为湖水在时刻 t 的污染水平。不难得到 当 时，为饱和水平； 为超饱和状态，P(t) 将会下降。30. 令 Ps=0 （一池清水），则 t 时刻的污染水

11、平为给定 ，记 为达到水平污染的时间，则有当 = 时，有 对于密执安湖，有 T1/2=21年。 对于苏比利尔湖，有T1/2=132年。一般来说，对于 Ps 0, 则 将递减并且趋于零.令 , 它表示污染状况相对降低的强度. 则不难看出给出了污染水平降低到初始状态的 倍时所用的时间. 取 =1/2, 则有 .由此可知, 在完全断绝污染物流入的前提下, 湖泊污染状况缓解一半所用的时间是湖水保留时间的0.7倍. 2. 情形II. 控制污染：PI(t) = K0e-t. 流入的污染物逐年降低, 污染状况以强度 逐年得到控制. 模型:令P(0)=K0, 则模型有解由此不难证明，当 时，P(t) 是的减函

12、数，而且有 。它表明只要控制污的强度足够大湖水的污染程度将会不断得到改善。3. 情形III 混合情形：在初期，湖泊属于自由污染阶段，当湖水被污染到一定的水平，将对污染源加强管理和控制，降低排污量。 模型：如果在初期我们有 Ps = 0，PI=K1，则湖水将在 达到 水平的污染，即有 。此后对污染源加强管理，将排污量降低为 则有如下的输入函数模型有解 五. 讨论 1. 蒸发与渗漏：输出正比于湖水体积 ro=kv(t), 模型中有输出项Ap(t)V(t) 2. 离散动态:有差分方程 pk+1=(1-1/)pk+PI/ 3. 污染物的影响：DDT：被动物吸收，溶解与脂肪中，有机磷：引起水藻激增，贮存

13、于水藻体内。 4. 混和过程：浓度是空间点的函数。问题：P143 第 4 题： 伊利湖和安大略湖的污染。路灯照明4.5 路灯照明的数学模型路灯照明一. 问题、背景： 1. 问题：两盏路灯照明一条水平的道路。建模分析两盏灯之间照明的情况，给出这两盏灯的最优设计。路灯照明 2. 背景： 光强度：光源在一定方向范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角内所辐射的能量（坎德拉 cd）来度量。 立体角：一个锥面所围成的空间部分，它以以锥顶为心的单位球面被锥面所截的面积的面积来度量。 光通量：人眼所能感觉的光辐射的功率。单位时间光辐射的能量和相对视见率的乘积：流明 Lm。 照度：单位面

14、积上得到的光通量：勒克司 Lx。路灯照明 照度定律：点光源 O 与被照明平面中心 A 的距离为 h 时，平面上 A 点的照度 E= (I / h2) cos a, 其中，I 为 O 点的光强度，a 为平面的法线方向与光源到 A点连线之间的夹角。路灯照明二. 模型 1. 假设： 10. 灯为点光源， 20. 没有反射， 30. 忽略灯具的效率和发光效率。 2. 参量、变量： Pk：光强度，hk：光源高度，s：两灯的水平距离。 坐标系（x，y）：灯杆 1 为 y 轴，路为 x 轴。 两个光源的位置：G1: (0, h1), G2: (s, h2); 两灯间路面上一点: X: (x, 0), 0 x

15、 s; ak: GkX 与 x 轴的夹角. 路灯照明 3. 模型 G1 在 X 点的照度 G2 在 X 点的照度 G1,G2在X点的照度路灯照明 4. 分析 10. 照明的状况. G1： G2： E = E1+E2：双峰函数，中部有最低点。路灯照明 20. 最低照明点令 P1=2000W，P2=3000W，h1=5m，h2=6m，s=20m.可求得 x =（0.028， 9.34，19.98） E =（81.98，18.24，84.48） xe = 9.00路灯照明 30. 关于 h2 极大化 E（x） 给定 h1, 对于每个 h2 都存在一个最小照明点 xm(h2) 求 h2*使得在其最小照明点xm(h2*)处照度最高. 即该点一定在函数 E( x, h2) 的稳定点中. 计算 可以得到 P2( s - xm)2 - 2h2*2 = 0 a2=35.260 路灯照明 40. 照明的优化 道路上的照明均匀是非常重要的，但是当使用点光源时是不可能的。对于给定亮度和给定间隔的光源，是否可以通过调整光源的高度来使最小照明强度的点的亮度达到最大？ 考虑三个变量 x，h1，h2 的照度函数 E(x, h1, h2).