苏教版数学选修2-1同步练习：2.42.4.1抛物线的标准方程巩固提升

1、应用案，协强化培优通关|A基础达标1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为工=一2,则抛物线的方程是（）A. 8xC. y-=4xB. y2=SxD. y2=4x答案：B2.已知P（8, 0在抛物线产=4/（0）上，且尸到焦点的距离为10,则焦点到准线的 距离为（）A. 2B. 4C. 8D. 16解析：选B.由题意可知准线方程为工=一,所以8+=10,所以=2.所以焦点到准线的距离为2P=4.3.已知F是抛物线y2=x的焦点，A, A8的中点到），轴的距离为（）儿4B是该抛物线上的两点，AF+B产=3,则线段B. 1C-4D.(解析：选C.过A, 8分别作y轴的垂线,根据抛物线的定义与梯形中位线

2、定理,得线段AB的中点到了轴的距离为BF）4=2-4=4-.在同一坐标系中，方程”25+）2=1与aT+）a=O（心0）的曲线大致是（解析：选Ddx2 +/）,2=1其标准方程为千十千=1,表示焦点在y轴上的椭圆：ax+by2=0其标准方程为?=gx.表示焦点在x的负半轴的抛物线.已知抛物线C：）2=x的焦点为F, A（x（）,兆）是C上一点，AE=，则.间=解析：由题意知抛物线的准线方程为工=一;.因为所以根据抛物线的定义可得刀0+5=从/=|：0,解得xo=l.答案：1.在抛物线)，2=-12X上，与焦点的距离等于9的点的坐标是.解析：由方程丁二一合一知焦点F(3, 0),准线/: x=3

3、,设所求点为P(x, y),则由 定义知PE=3一工又尸尸=9,所以3x=9, x=-6,代入尸=一12,得丫=土M.所以所求点的坐标为(一6, 6娘)，(一6, 62).答案：(一6, 6V5), (6, 一6近)(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P(4, 2),求抛 物线的方程；(2)已知抛物线C： x2=2v(p0)上一点4小，4)到其焦点的距离为弓，求与小的值.解：(1)因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，所以抛物线的方程为标准方程.又因为点P(4, 2)在第一象限,所以抛物线的方程设为尸=2/求，x2=2py(p0).当抛物线为y2 = 2px时，

4、则有 22=2pX4,故 2p=l,)2=x:当抛物线为x2 = 2py时，则有 42=2X 2,故 2p=8,=8y.综上，所求的抛物线的方程为W=X或f = 8y.(2)由抛物线方程得其准线方程y= 一看根据抛物线定义，点A(j, 4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+，=*解得p=g;所以抛物线方程为：r=),将A(j, 4)代入抛物线方程，解得机=2.8.如图，已知抛物线产=2/”3。)的焦点为F，A是抛物线上横坐标r为4,且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5,过点A :彳么作A3垂直于)，轴，垂足为点8, OB的中点为M.*(1)求抛物线的方程；(2)过点M作以，垂足

5、为N,求点N的坐标.解：抛物线产2Px的准线方程为x=一多于是 4+3=5, =2,所以抛物线的方程为)2=4工(2)由题意得 A(4, 4), 8(0, 4), M(0, 2).4又F(l, 0),所以心户=了则FA的方程为1).3因为 MN_LE4,所以则MN的方程为)=一%+2.B能力提升.已知。为坐标原点，尸为抛物线C：的焦点，P(xp, ”)为。上一点，若PF=4小,则4尸。尸的面积为()A. 2B. 2夜C. 2/D. 4解析：选C.由题意知抛物线的焦点为f(，5, 0),准线为尸=一，1设点P在抛物线准线上的投影为点M.由抛物线的定义知PF=PM,义PF=46所以*=3虚，代入抛

6、物线方程求得抄=2的，所以 Szjw、=J F 1ypi=2婿.2.抛物线r=2/八。0)的焦点为凡 其准线与双曲线*一三=1相交于A, 8两点，若 J J48F为等边三角形，则=.解析：如图，在正三角形A5F中，DF=p, 5。=芈，力fA D所以8点坐标为（乎p, 一4）.又点3在双曲线上,1 ,可-4故F一彳=1，解得=6. J J答案：6 线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为G，刷,求抛物线与双曲线的方程.3.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线53.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线5正b2=1（/0,历0）的一个焦点，并与双曲解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双

7、曲线的左焦点,所以=2c设抛物线方程为y=4cx9 因为抛物线,过点（|,水J,3所以6=45所以。=1， 乙故抛物线方程为）2=4x.又双曲线捻一%=1过点弓，96所以行一k=1.又/+/=”=1所以岸=；或42 = 9（舍去）.故双曲线方程为：4必一誓=1.4.（选做担）设抛物线Cr=2），（/0）的焦点为立 准线为, A为C上一点，已知以F 为圆心，以为半径的圆F交/于8,。两点.（1）若N引力=90 , A8O的面积为4也，求的值及圆F的方程：（2）若A, B, F三点在同一直线m上，直线n与小平行，且与。只有一个公共点, 求坐标原点到7,，距离的比值.解：（1）由已知可得为等腰直角三角形，BD=2p,圆F的半径以=也. 由抛物线定义可知A到/的距离d=FA=p.因为A3。的面积为40,所*BD-d=46即! 2P m=4.解得=-2(舍去)或=2.所以F(0, 1),圆厂的方程为-1)2 = 8.(2)因为A、B、尸三点在同一直线加上， 所以A8为圆F的直径，NAO8=90.由抛物线定义知八。=必=18,所以NABO=30 , ？的斜率为坐或一坐. JJ当小的斜率为当时，由已知可设n: y=Wx+，代入x2=2py得 x2-邛px- 2Pb 0.由于与。只