自动控制原理课件 第五章（ＰＰＴ）

1、第五章 线性系统的频域分析法引言频率特性5.3 开环系统的典型环节和开环频率 特性曲线的绘制频率域稳定判据5.5 稳定裕度5.6 闭环系统的频域性能指标本章重点开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)；奈奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用；对数频率特性和闭环系统性能的关系；开环频率特性指标；闭环频率特性指标。本章难点1.开环频率特性的绘制；2.奈奎斯特判据的原理及其应用；3.剪切频率及相角、幅值裕度的求取；4.二阶系统频率特性指标和时域指标的换算；5.典型二型系统频、时域指标的定性关系。时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域响应不易。正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称

2、为频率响应。系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。频域分析法是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。返回引言频率特性（又叫频率响应） 频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程求解方法。 系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。 频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。频率特性设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1 =1=2=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输

3、入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。AB相角问题 稳态输出迟后于输入的角度为：该角度与有BA360o=AB该角度与初始关系 为(),角度无关 ,一频率特性的定义 1.频率响应: 在正弦输入作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。 2.频率特性: 频率响应c(t)与输入正弦函数r(t)的复数比。 例5-1：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：其拉氏变换为：输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：其稳态响应为：上式表明：对于正弦输入，其输出的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。幅值频率特性相角频率特性例题中输入信号的复数表示为：例题中输出信号

4、的复数表示为：它们之比为：例5-1：无源RC网络输入：r(t)=Asin t电容C的等效复阻抗为则输出量：式中：电路输出电压与输入电压的复数比： （RC=T）这就是无源RC网络的频率特性。 二、频率特性的性质1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。 它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完全确定。2、频率特性是一种稳态响应。 系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。3、系统的稳态输出

5、量与输入量具有相同的频率。 当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和相位移（）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。 4、实际系统的输出量都随频率的升高而 现失真，幅值衰减。 所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。 5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。 三、频率特性的求取： 1、根据定义求取。 即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出 其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。 2、根据传递函数求取。 即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。 3、通过实验的方法直接测得。010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.

6、0-63.4-71.6-76.0-78.7-90幅频特性和相频特性数据线性定常系统的传递函数表达式为输入为r(t)=Msin(t)，若无重极点，上式可写为四、频率特性与传递函数的关系若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：G(j)是一复数，可写为得到线性系统的幅频特性和相频特性：频率特性和传递函数的关系为系统的频率特性也是输入信号的傅氏变换和输出信号的傅氏变换之比。系统的单位脉冲响应为：其中经过傅氏反变换五、频率特性的几种图示方法1. 幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。又称Nyquist曲线。系统的频率特性可表示为：当=0变化时, A()和j()随而变。

7、以A()作幅值, j()作相角,G(j)H(j)的矢量终端在复平面上运动形成的轨迹,称 Nyquist曲线。 实频特性是的偶函数，虚频特性是的奇函数。为什么？惯性环节G(j)G(s) = 0.5s+110.25 2+1A()=1() = -tg-10.5 j01ImG(j)ReG(j) 00.51245820o()A()01-45-63.4-68.2 -76 -842. 对数频率特性曲线（Bode图） 在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。 频率的对数分度半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程对数幅频特性：指G(j)的

8、对数值20lg|G(j)|和频率的关系曲线。对数相频特性：指G(j)的相角值()和频率的关系曲线。即纵坐标L()称为对数幅值，单位是dB(分贝)。纵坐标是的单位是“”。采用线性刻度。2.对数坐标图-Bode图 对数幅频 L()=20lgG(jw)H(jw)=20lgA(w) (dB) 对数相频 j()= G(j)H(j) (rad) 横坐标是的对数分度, 纵坐标是L()和j()的线性分度，此坐标系称为半对数坐标。对数坐标系采用对数坐标图的优点：（1）将低频段展开，将高频段压缩。（2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。（3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。（4）容易将频率

9、实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。3. 对数幅相特性曲线（Nichols图)由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数，作为评估系统性能的依据。返回、典型环节的幅相频率特性步骤：（1）求环节或系统的传递函数G(s)；（2）令s=j,求出频率特性表达式G(j)；（3）G(j)分为实部P()和虚部Q()，若G(j)的分母为复数或虚数需要做有理化处理；（4）求出幅频特性A()和相频特性()的表达式，根据不同的值计算和在极坐标上描点并绘制成曲线。开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制1比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K=con

10、st 频率特性表达式为： 2惯性环节惯性环节的传递函数为：频率特性表达式为：此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2,j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。 低通滤波0ReG(j)ImG(j)1惯性环节1G(j)3积分环节积分环节的传递函数为 ：频率特性表达式为： 4微分环节（1）纯微分环节纯微分环节的传递函数为 ：频率特性表达式为： （2）一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为 ：频率特性为： 5振荡环节(00.707)0ReG(j)ImG(j)1ABA:B:振荡环节G(j)二阶微分环节传递函数为 ：频率特性为 ：6延迟环节图的近似绘制: Gi(s)为除1/s、k外的其他典型环节二、系统开环幅相

11、频率特性的绘制1.将开环传递函数按典型环节分解G(s)H(s)-R(s)C(s) （1） 起点 低频段 如图5-4所示2.粗略画三个特殊点图5-4 频率特性的低频段形状（2） 终点 高频段 图5-5 频率特性的高频段形状（3） 与坐标轴的交点 曲线与实轴的交点 曲线与虚轴的交点例5-2设系统的开环频率特性为已知：K10，T11，T25，绘制开环幅相频率特性。解：返回例5-9例5-3设某系统的开环频率特性为绘制开环幅相频率特性。ImRe0-K(T1+T2)0GH平面0-25ImG(j)ReG(j)例5-4 绘制 的幅相曲线。解：求交点： 曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制解得无实数解，与虚轴无交点

12、三、典型环节对数频率特性的绘制1比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K=const 频率特性表达式为： L()/dB0dB0()20lgK比例环节的Bode图2惯性环节频率特性表达式为：采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。 对数幅频特性为：在低频段：1/，即1/，即1 ，可略去 1。0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL()-208db惯性环节L()3积分环节积分环节的传递函数为：频率特性表达式为： 1时，L()-20lg1=0dB10时，L()-20lg10=-20dB0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL()

13、-20积分环节L()4微分环节纯微分环节纯微分环节的传递函数为 ：频率特性表达式为： 1时，L()20lg1=0dB10时，L()20lg10=20dB0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+20微分环节L() （2）一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为 ：频率特性为： 在低频段，即1 ，可略去 1。0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+20-8db一阶微分L() 5振荡环节在低频段，即1 ，可略去 1。振荡环节L()100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-40振荡环节的对数频率特性曲

14、线振荡环节再分析0dBL()dB20lgk(0 0.707)-40 00.5 = 0.5 0.5 1?提醒:二阶微分j01幅相曲线对数幅频渐近曲线0dBL()dB+40n0T2）它们的对数幅频和相频特性为显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见， 的变化范围要比 大得多。 最小相位系统 非最小相位系统例5-7 试将系统开环传递函数按典型环节分解解:返回1映射定理（幅角定理）S2S1代入F(S) 得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿s连续变化一周（不穿过F(S)的极点），则F(S)沿 封闭曲线F连续变化一周。频率域稳定判据s不包围F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化

15、一周，(S-Zi)不积累角度;s包围一个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi)的相角积累 -2 ，或者说，F顺时针绕F平面零点一周;s包围 Z个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi) 的相角积累Z * (-2) ，或者说，F顺时针绕F平面零点Z圈。 如果：s包围一个F(s)的极点，当s1沿s顺时针连续变化一周，因为pi 映 射到F(s)上是在无穷远，因此，F逆时针绕F平面零点一周；( s-pi )的相角积累是2角度； s包围P个F(s)的极点，当s1沿s顺时针连续变化一周，s-pi 积累的相角为2*P，或者说， F逆时针绕F平面零点P周； s包围P个F(

16、s)的极点，又包围Z个F(s)的零点，当s1沿s顺时针连续变化一周后，F顺时针绕F平面零点（Z-P）周，或： F逆时针绕F平面零点R = （P- Z ）周 若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点。则在F(s)平面上映射的曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点Z周。 若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点。当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在F(s)平面上映射的曲线将按逆时针方向围绕着坐标原点P周。映射定理(幅角定理)：设s平面上不通过F(s)任何奇异点的某条封闭曲线，它包围了F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，则在F平面上相对应于

17、封闭曲线的像将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为: R=ZP。映射定理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函数，若在S平面上任选一条封闭曲线s ，并使它不通过F(s)的奇点，则 s 映射到F(s) 平面上仍为一条封闭曲线F ；当解析点S1沿s顺时针连续变化一周时，则从F平面原点指向F 上对应点的向量F(s1)按逆时针方向旋转周数N等于S包含F(s)的极点数目P与零点数目Z之差，即R=P-Z当PZ则R0， F逆时针包围零点R圈当PZ则R0 ，F顺时针包围零点R圈当P=Z则R=0 ，F不包围零点奈奎斯特稳定判据设系统的开环传递函数为构造辅助函数辅助函数F(s)具有以下特点

18、：(1)辅助函数F(s)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。(2)F(s)的零极点数目相同，都为n。(3)F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差一个常量1，F(s)=1+ G(s)H(s)的几何意义为：F平面的坐标原点就是GH平面的( -1, j0 )点。 为了确定辅助函数F(s)位于右半s平面内的所有零点和极点数，将封闭曲线扩展为整个右平面。为此，曲线由以下3段所组成：. 正虚轴s=j，从0变化到+；. 半径为无限大的右半圆，s= R ej，R，由/2变化到-/2； . 负虚轴s=j，从-变化到0。R ejR奈奎斯特回线ReIm奈氏曲线肯定包围

19、了F(s)位于s平面右半部的所有零点和极点。 根据映射定理，当s沿着平面上的奈奎斯特曲线移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕坐标原点旋转R=P-Z。设复变函数F(s)在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。闭环系统稳定的充要条件是：F(s)在s平面的右半部无零点，即Z=0。 如果在s平面上，s沿着奈奎斯特曲线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转R=P周，则系统是稳定的。 G(s)H(s)=F(s)-1，这意味着F(s)的映射曲线围绕原点的运动情况，相当于G(s)H(s)围绕着( -1, j0 )点的运动情况。奈奎斯特稳定判据闭环控制系统稳定

20、的充分和必要条件是，当从-变化到+时，系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时针方向包围( -1, j0 )点P周，P为位于s平面右半部的开环极点的数目。例5-8：画出奈氏曲线如图，负频特性以实轴对称所以，该封闭曲线就是包围S平面右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射。由于F(s)=1+G(s),所以，映射在F(s)平面上的曲线只要将纵坐标左移一个单位，如图：另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“ 包围 G(j)平面的（-1，j0）点”。即映射定理修改为：奈氏曲线当 从- 0+ 变化，按逆时针方向包围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的极点数目P与零点数目Z之差，即R=P-Z在G(j)图

21、中，曲线没有包围（-1，j0）点， N=0，可知F(s)的零、极点在右半面上的个数相等。由闭环特征方程：可见，F(s)的零点就是闭环极点，而F(s)的极点就是开环极点。 则公式 R=P-Z 应用如下：1、根据系统开环传函，可知P值（在右半平面的开环极点个数）。2、绘制奈氏曲线，从-到+，判别逆时针包围（-1，j0）点的次数R，即知包围零、极点个数和(P-Z)。3、公式 R=P-Z 求出Z，Z=0则系统稳定，否则不稳定。若P=0（即系统开环稳定）时，上述条件简化为：当从- 到+变化时，系统的开环频率特性G(j )H(j )不包围（-1，j0）点 。如果：提高系统增益，曲线就可能包围(-1, j0

22、)点(R0)， R=P-Z得Z 0，所以该系统闭环变成不稳定。例如：上例中，若已知系统开环稳定（P=0） 而频率特性不包围（-1,j0）点（R=0）， R=P-Z得Z=0，所以该系统闭环稳定。例5-9 设系统的开环频率特性为用奈氏判据判别系统的稳定性。系统的右半平面的开环极点数P0系统的开环频率特性不包含( -1, j0 )点。R0。RPZ所以Z0，则闭环系统稳定。系统的奈氏曲线见例5-2例5-10设系统的开环频率特性为=，终止在原点。R=-2，R=P-Z，P=0，Z=2，F(s)有两个不稳定的零点，闭环系统有两个不稳定的极点。判断何时系统稳定？例5-11已知系统开环传递函数试应用奈氏判据判别

23、和K=2时的闭环系统稳定性。分别作出和K=2时开环幅相特性曲线时，闭环系统不稳定。K=2时，闭环系统稳定。系统开环幅相特性曲线判断系统的稳定性并讨论K值对稳定性的影响。K1时，逆时针包含( -1, j0 )点一周，R=1，所以Z=P-R=0，系统稳定。例5-12 分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中， T5T10;顺时针转: R1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，且已知P=1，所以 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K0）上，开环频率特性的倒数，称为控制系统的幅值裕度，记作h，即以分贝表示时 h大于1，则对数幅值裕度为正值，系统稳定。 h小于1，则对数幅值裕度为负值，系统

24、不稳定。 相角裕度： 当0时，相角裕试为正，系统稳定； 相角裕度： 当0时，相位裕度为负，系统不稳定。结论：一般而言 L(c)处的斜率为20db/dec时，系统稳定。 L(c)处的斜率为40db/dec时，系统可能稳定，也 可能不稳定，即使稳定， 也很小。 L(c)处的斜率为60db/dec时，系统肯定不稳定。 为了使系统具有一定的稳定裕量， L()在c处的 斜率为20db/dec。一般说来为了得到满意的性能，相角裕度应当在30 60之间，而幅值裕度应当大于6dB。0dB-180occx20lg=180+ G(jc)相角裕度:幅值裕度:xj01cxG(j)G(jx)G(jc)G(jc) = 1

25、80o-1幅值裕度相角裕度开环频率特性与系统阶跃响应的关系系统开环对数幅频渐近特性曲线低频段通常是指 的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。1、低频段 曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。因此,低频段反映了系统的稳态性能。2、中频段中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。 可近似认为整个曲线是一条斜率为 -20dB/dec的直线。-20dB/dec0+20-20开环传递函数：闭环传递函数为： dB L()c(2) 中频段的斜率与动态性能的关系设系统如图:-40dB/dec0+20-20开环传递 函数：G(s) s2K闭环传递 函数为： 处于临界稳定状态 中频段斜率为-40dB/dec ，系统处于临界稳定状态，若 -40dB/dec将不稳定。通常，取中频段斜率为-20dB/dec 。 可近似认为整个曲线是一条斜率为 -40dB/dec的直线。s2= 2c1+(s)=s22cs22cs2+ = c2c2dB L()c中频段的斜率反映了系统的平稳性3、高频段系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。 三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳