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1、中央民族大学数学与计算机学院第十六讲第五章线性微分方程组非齐次线性方程组（NH）的一般理论拉格朗日常数变易法常系数线性微分方程组拉普拉斯变换法非齐次线性方程组（NH）的一般理论本节研究一阶线性非齐次方程组（NH）：的通解结构与常数变易法.非齐次线性方程组（NH）的一般理论 定理5.8 如果 是非齐次线性方程组(NH)的解，而 是其对应齐次线性方程组(LH)的解，则 是非齐次线性方程组(NH)的解. 定理5.9 非齐次线性方程组(NH)的任意两个解之差是其对应齐次线性方程组(LH)的解.非齐次线性方程组（NH）的一般理论 定理5.10非齐次线性方程组(NH)的通解等于其对应的齐次线性方程组(LH

2、)的通解与非齐次线性方程组(NH)的一个特解之和.即若 是 非齐次线性方程组(NH)的一个特解， 是相应齐次线性(LH)的一个基本解组，则方程组(NH)的通解为： 这里 是任意常数.非齐次线性方程组（NH）的一般理论上述定理还可以表述为：若 是非齐次线性方程组(NH)的一个解， 是对应齐次线性方程组(LH)的一个基本解矩阵，则含有任意常数向量C的表达式 是(NH)所有解的共同表达式. 拉格朗日常数变易法在第二章我们介绍了对于一阶非齐次线性方程，可用常数变易法求其通解.现在，对于非齐次线性方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢?事实上，定理5.10告诉我们，为了求解非齐次线性方程组(NH

3、)，只需求出它的一个特解和对应齐次线性方程组(LH)的一个基本解矩阵.而当(LH)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(NH)的一个特解. 拉格朗日常数变易法现在求(NH)的形如的解，其中为待定向量函数. 将(5.4.3)代入(NH)有(5.4.3)拉格朗日常数变易法因为 是(LH)的基本解矩阵，所以有 从而，上式变为:由于 是非奇异矩阵，故 存在，于是拉格朗日常数变易法积分得我们取 将其代入(5.4.3)得到:显然 是(NH)的一个特解 拉格朗日常数变易法 于是得到非齐次线性方程组(NH)的通解式：(5.4.5) 我们称（5.4.5）为非齐次线性方程组(NH)的常数变易公式，这种求特解 的方法叫做拉格朗日常数变易法，简称为常数变易法.而满足初始条件 非齐次线性方程组(NH)的解可表为： 拉格朗日常数变易法例1 求解方程组向量函数组是对应齐次线性方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如 ：的特解，此时(5.4.4)的纯量形式为：拉格朗日常数变易法解之得从而最后可得该方程组的通解为：一阶线性微分方程组与前面讲过的n 阶线性微分方程有着密切的关系，即可以把前者化成后者，而且二者是等价的，这样就可以把前者作为后者的特例加以处理.在方程 令 方程就可以化成一阶方程组：本讲要点： 1、 非齐次通解=对应齐次通解+非齐次一个特解2

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