量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析

1、子力学考研2021 子力学导论考研真题解析解析】0粒子在势场态能量。中国科学院2006研解题思路】利用不确定关系求解哈密顿量的最小值I问题。根据不确定原理有因为所以只需要求解出IAx = (-所以基态能量为【知识储备】 若F,G = 0,则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G,都有确定值。若F，G/0，则有不确定关系或(向s&E快？经常使用的关系式21设粒子所处的夕卜场均匀但与时间有关，即 W ,与坐标r无关，试将体系 的含时薛定谔方程分离变量，求方程解 ,一的一般形式，并取=皿* , 以一维情况为例说明V(t )的影响是什么。中国

2、科学院2006研【解题思路】理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程 时的应用。【解析】根据含时薛定谔方程带入可得上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得所以因此|*+ |ihWE C =峋）段）=exp（1 ） exp W 一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量 定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。【拓展发散】当粒子所处的夕卜场与时间和位置坐标都有关，即一，可以利用题解相 同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相 比较，得出在这些不同情况下

3、相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。 22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B,使U=A + iB，试证： (1)A2 + B2 = 1，且一二二二：；(2 )进一步再证明U可以表示成M , H为厄米算符。中国科学院2006研 【解题思路】理解厄米算符和幺正算符的定义和物理含义，并注意辨析它们之间的区别，不要 混淆。【解析】因为U为幺正算符，所以I =1和- =1 ,由一一一 =1可得(应 + 沼(A + iB) = (X +沼)=T i 4 = 1由二：可得B=(+ 谒+ 话)=(+ 沼乂应谒)=甘 + # T 43 = 1因此A2+32 =1因为 =1 所以算符A和算符B有共同

4、的本征函数，即.：,，三.二因为才1+B J所以(泌+在渺=(必+矿垣=即/十胪=1所以U.= (A-弟)# = (a ib) - 一、1 税i -活)砂=(右=(cos 0 isind)=泠=舟敢其中，三：=二【知识储备】幺正算符S+=S-i厄米算符A =A23粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰“=切缶心曲的作用，求第n个能级的一级近似，并分析所得结果的适用条件。中国科学院2006研【解题思路】对于在一维无限深方势阱中运动的粒子，可以通过定态薛定谔方程求解本征值和 本征波函数，而在受到微扰后，可以直接利用定态非简并微扰理论求解修正的能 量和波函数。【解析】在一维无限深方势阱中运动的粒子受

5、到的势能函数为所以利用定态薛定谔方程可得对应的本征波函数和本征值分别为当粒子受到微扰二二二一时，利用定态非简并微扰理可得一级修正为=j以驴三愆必&+ 件娘号s - &材法相应的适用条件所以【知识储备】一维无限深方势阱在阱内（|x| a)，体系所满足的定态薛定谔方程是，定态薛定谔方程是体系的能量本征值本征函数定态非简并微扰理论微扰作用下的哈密顿量第n个能级的近似表示波函数的近似表示【拓展发散】在同样的物理模型和情形下，改变微扰的具体形式，可以用同样方式求解修正的能量和波函数，如果微扰是含时微扰，则可以用含时微扰理论求解跃迁几率。V24粒子以能量E入射一维方势垒，0 X ?:土，设能量三二，求透射

6、系数T。中国科学院2006研 【解题思路】 对于已知势场具体表达式的情况，明显利用薛定谔方程求解本征波函数和本征 值，在势垒存在时，根据透射系数和反射系数的定义式求解相应的结果。【解析】对于入射一维方势垒的粒子，由定态薛定谔方程可得当乂 0 时，-=：令得当：忸.-.土 二时，二;，=j令当乂3 时，-=：由波函数在x = 0处的连续性可得由波函数在x = 0处的导数连续性可得由波函数在x = a处的连续性可得由波函数在x = a处的导数连续性可得整理可得n _M庭A小透射系数为丁 =生=折=口7；（尸+ /）七（做矽+ Akrcr【知识储备】 定态薛定谔方程孑顷3）=顷）方形势垒0. Qr

7、心）在量子力学中，与经典物理显著不同的是，能量E大于U0的粒子有可能越过势 垒，但也有可能被反射回来；而能量E小于U。的粒子有可能被势垒反射回来， 但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边x a的区域中去。当EU0,透射系数D表示贯穿到x a区域的粒子在单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目，与入射粒子（在xa区域，另一部分被势垒反射回去。【拓展发散】对于粒子入射方势垒的物理模型，分别假设EV和E0时，再加上弱磁场三二三.3 ：，求t0时的波函数，以及测到自旋反转的概率。中国科 学院2006研 【解题思路】在原置于磁场中的零电荷的粒子上，加载一个恒定的弱磁场，可以利用含时微扰理论，求解粒子自旋

8、状态的反转概率。【解析】在t = 0时，粒子在磁场中的哈密顿量为H = 逐=-四;吼粒子的处在本征态上，则相应的能量为E或版=帆在t 0时，粒子受到弱磁场=三上,J ：的微扰，其相应的微扰哈密顿量为H =岫=-跄扒 1、粒子的初态为，粒子状态反转，其末态为。根据含时微扰理论可得相应的跃迁概率为其中山=机电_怂）其中体系在微扰作用下由初态fk跃迁到终态fm态的概率幅为5成）站打相应的矩阵元为I.r饥勺ig时心=（州砰 = *片（1。）吼 =-3心0% =_皿=-阿并且膈谛=ha -因此14=甘码(寿心&二队m升=皿 浦%g诱%所以自旋反转的概率为吟 =MM :点京(1-攻。【知识储备】自旋为1/

9、2粒子在磁场中的作用势为I- = * ,其中5?为磁矩。含时微扰理论含时微扰体系哈密顿量AA AH(t)=H + H(t)体系波函数W所满足的薛定谔方程为，. A . , . .一将W按H0的本征函数七展开得w 二 gg&M则在t时刻发现体系处于fm态的概率是|am (t)|2。. A .若体系在t = 0时处于H0的本征态fk，则口 g = %体系在微扰作用下由初态fk跃迁到终态fm态的概率幅为2 = 土氐(”帝相应的跃迁概率为吒5=1%（就株q描瞄w ,其中编=*珏碎）【拓展发散】粒子带上电荷，改变微扰的形式，在原有磁场的基础上加一个周期性脉冲的磁场， 形成类似拉比震荡的模式。28粒子在势场V中运动并处于束缚定态-中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。中国科学院2006研【解题思路】直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对