复习参考题6（计数原理）

1、复习参考题6复习巩固1.乘积（q+%+%）（4+匕2+）展开后，共有 项；【答案】/【解析】【分析】根据条件中所给的是多项式乘以多项式，根据多项式乘法法那么可得，要得 到式子的结果，需要在每个括号中选一个进行乘法运算，分别分析每个括号中的取 法数目，相乘得结果.【详解】根据多项式的乘法法那么，（4 +a2 +%+包）展开后每一项都必须是在（4+。2+。）（4+4+3+仇）两式中任取一项后相乘，得到的式子，而在（4 + 4 +4 J中有几种取法，在色+4+勿）中有种取法，由乘法原理，可得共有：=/种情况.故原式展开后有2项，故答案为：n22.学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种

2、课外活动小组中选 择2种，不同的选法种数是；【答案】525【解析】【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】从7门选修课中任意选择3门有窝种选法；从6种课外活动小组中选择2种有第种选法.7x6x5 6x5所以不同的选法种数为3x2x1 2x1故答案为：525.排列即可；(2)先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3 道工序全排列；(3)先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排 列；(4)先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空【详解】解：(1)先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有C；=4种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有禺=24种不

3、同的排法，故由分步乘法原理可 得，共有4x24 = 96种加工顺序；(2)先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有=6种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有6 =6种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有6x6 = 36种加工顺序；(3)先排这2道工序，有尺=2种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有=24种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有2 x 24 = 48种力工顺序；(4)先排其余的3道工序，有闻=6种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有4 =12种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有6x12 = 72种加工顺序，拓广探索19.在(1

4、+ %)3+(1 +幻4+(1 + %)2的展开式中，含2项的系数是多少？生案+6/1+11)6【解析】【分析】求出(1 + %)展开式中含X2的系数为戏,再利用二项式系数的性质求和即可.【详解】因为(1 + %)展开式的第I+ 1为所以(1 + X)3中含2项的系数是C；、(1 + %)4中含2项的系数是第，(1 +月”+2中含炉项的系数是C1.所以(1+4+(1+%)4 + (1+%)+2的展开式中含2项的系数为c； + c：+c3 = （c； + c； + c： + +c3）c； = c3 = 所以含f项的系数是伽2 +6/ 11).620.你能构造一个实际背景，对等式。,鼠=黑仁的意义

5、作出解释吗？【答案】见解析【解析】【分析】等式两边都是组合数相乘，可以考虑分步计数原理，即可得到结论【详解】解：实际背景：在个人中选出加个人清扫卫生，其中k个人擦玻璃，m-k 个人拖地，问有多少选取人员的方法，利用分步计算原理：先从个人中选出加个人，然后从加个人中选出女个人擦玻 璃，剩余的人拖地，这样有C：xC：种选法，也可以从个人中选出女个人擦玻璃，然后从剩余的-2个人中选出根-女个人拖地，这样有C：xC；1种选法，所以鼠=：.4.3.安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是;【答案】480【解析】【分析】先排特殊，再排一般.【详解】先排这名歌手

6、有C：种方法，余下5名歌手全排列为可中方法.所以不同排法的种数为C： 6=4x5x4x3x2x1=480种.故答案为：480. 5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的 种数是;【答案】5.【解析】【分析】根据题意，结合题意可得不同的分法有种，最后计算组合数计算即可.【详解】因为5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，所以只有一人没有分到票，其余4人分到1人1张票，又因为无座票，所以没有顺序，所以共有C；= 5种不同的分法.故答案为：5. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是；【答案】243【

7、解析】【分析】根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答 案.【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学 有3种选择方法，所以5名同学共有3x3x3x3x3 = 35 =243种选择方法.故答案为：243.正十二边形的对角线的条数是；【答案】54【解析】【分析】由任意两点连线的条数，再排除边数可得.【详解】任意两点连线的条数，再排除边数，故正十二边形的对角线的条数是-12 = 66-12 = 54.故答案为：54. （1 +尤）2的展开式中，系数最大的项是第 项.【答案】 + 1【解析】【分析】在（1 +尤）2的展开式中，第r+ 1项的系数与

8、第r+ 1项的二项式系数相同，再 利用二项式的性质可得答案【详解】解：因为在（1 +幻2”的展开式中，第厂+ 1项的系数与第r+ 1项的二项式系数 相同，而二项展开式共有2+1项，中间项的二项式系数最大，所以第+ 1项的系数最大，故答案为： + 1. 一个集合有5个元素.（1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？（2）这个集合的子集共有多少个？【答案】（1） 10, （2） 32【解析】【分析】根据集合子集中的元素的不重复性，可以利用组合数公式求解【详解】解：（1）这个集合的含有3个元素的子集有C； =10个；（2）这个集合的子集包括有含有。个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素和5

9、个元素，所以这个集合的子集共有或+ C； +或+ C； + C； + C； = 25 = 32个，.C；=21,那么“=；【答案】6【解析】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为C：；=21,所以C,2=21,即（+ 1）九=21 ,即 2+ _42 = 0,解得 =6或 =一7 （舍去）故答案为：6.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政 治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午， 不同排法种数是；【答案】192【解析】【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论.【详解】解：由题意

10、，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有，=8种再排其余4节，有A： =24种，根据乘法原理，共有8? 24 192种方法，故答案为：192.某人设计的电脑开机密码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母 不相同，该密码可能的个数是;【答案】6500000【解析】【分析】首先确定2个英文字母的排列方法，接着确定4个数字的排列方法，最后 根据分步乘法原理计算结果即可.【详解】首先确定2个英文字母，因为2个英文字母不相同，所以有26x25 = 650 种排列方法，接着确定4个数字的排列方法，因为可以数字可以相同，所以有104 =10000,根据分步乘法计数原理得：该密码可能的个数为：650

11、x10000 = 6500000.故答案为：6500000.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是；【答案】58【解析】【分析】从8个顶点中选4个，排除6个外表有6个四点共面情况，6个对角面有6 个四点共面情况.【详解】首先从8个顶点中选4个，共有仁=70种结果，其中，有四点共面的情况，6个外表有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况，所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是70-6-6 = 58.故答案为：58.在的展开式中，各项系数的和是.【答案】（-1）【解析】【分析】根据赋值法，令 = 1即得结果.【详解】令% = 1,那么（1-2x）=（l-2xl）=（-1）,即二项式的展开式

12、中各项系数的和是 故答案为：. （1）平面内有条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点?（2）空间有个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线?【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：1条直线，。个交点，2条直线，1个交点，3条直线,1 + 2个交点，4条直线，1 + 2 + 3条交点，从而可得到规律，进而可得答案;（2）类比（1）中的方法得出答案【详解】解：（1）因为1条直线，。个交点，2条直线，1个交点，3条直线，1 + 2个交点，4条直线，1 + 2 + 3个交点，5条直线，1 + 2 + 3 + 4条交点,所以条直线有1 + 2

13、 + 3 + 5-1)个交点,即假设个交点；(2)因为1个平面，。条交线，2个平面，1条交线，3个平面，1 + 2条交线，4个平面，1 + 2 + 3条交线，5个平面，1 + 2 + 3 + 4条交线，所以个平面有1 + 2 + 3 + (-1)条交线，即呷条交线；综合运用. (1)求(1-2/(1+3口4的展开式中按x的升幕排列的第3项;(2)求 9x +(2)求 9x +的展开式的常数项;(3)(1 + ) 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数 列,求；(4)求(1 + x + %2卜1 %)1的展开式中/的系数；(5)求(2+x+y)5的展开式中5y2的系数.【答案】

14、(1) -26x2;(2) /；(3) = 14或 23； (4) 135； (5) 30.【解析】【分析】(1) (1-2x)5(l + 3x)4的展开式中按X的升幕排列的第3项，即展开式中含(2)求出其通项公式，令的指数为。即可求解.(3)利用二项展开式的通项公式求出通项求出各项的二项式系数，利用等差数列 的定义列出方程解得.(4)先将多项式展开，转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求 出系数即可.5 厂15(5) (x2+x+y) =(x2 + x) + jj ,两次利用通项公式求解即可.【详解】(1)(1-2x)5(l + 3x)4的展开式中按x的升幕排列的第3项，即展开式

15、中(3叶 + C2(2%)2 + c .(_2力.(3“ = -26x2.囚+(右)-展开式的通项公式为：3令18-5r=0可得：r = 12 ;故9% + (在)F展开式的常数项为：3T2.96。；.(3)展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，,nnn=19!(- 9)! 8!(n-8)! 10!(n-10)!nnn=19!(- 9)! 8!(n-8)! 10!(n-10)!211=19(一9) (一8)(九一9) 10 x9化简得90 + (-9)(-8) = 2xl0(一8),BP： 2一37几 + 322 = 0,解得几=14或23./ (1 + x + )(1 - %

16、)10 = (1 - )10 + x(l - %)10 4- x2(1 - %)10 , .(1 +工+3(17)1。展开式中含/的系数为：(i 炉。的含/的系数加上其含/的系数加上其含/项的系数，(1-弁展开式的通项为&产C(r),令厂=4, 3, 2分别得展开式含/，/项的系数为0c；。，故(1 +工+/)(1一4展开式中含/的系数为：0+品=135,Q(x2 +x += (J + x)+y设其展开式的通项公式为Tr+i = C；(x2 + x)5-r-yr,0r5,rN,令r=2,得(V +3 的的通项公式为 (犬2)3一”. 丁 = qx6T,a&m43,meN ,再6-根=5,得m

17、= 1,. (x2 + x+y)5 的展开式中，X5/ 的系数为 Cj G = 10X3 = 30 .即(2+%+y)5的展开式中，5 y2的系数为30.用二项式定理证明5555 +9能被8整除.(提示：5555 +9 = (56-1)55 +9.)【答案】见解析【解析】【分析】根据5555 +9 = (56-1)55 +9,按照二项式定理展开，化简后，根据展开式的 各式都含有因数8可得它能被8整除.【详解】证明：5555 +9 = (56-1产+9=C 5655 +C*55654(-1) +Cj5653(-1)2 + -+Cg56l(-1)54 + Cg(-1)55 +9=565 C4565

18、4 + + C；56 + 8 能被 8 整除.所以5555 +9能被8整除. (1)平面内有两组平行线，一组有机条，另一组有条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？(2)空间有三组平行平面，第一组有加个，第二组有九个，第三组有/个，不同 两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？【答案】(1)； (2) C：C ；【解析】【分析】(1)首先分析平行四边形是由两组平行对边构成的，接着结合分步计数原 理求解即可；(2)首先分析平行六面体是由3组平行对面构成的，接着结合分步计数原理求解即可；【详解】(1)由题意可知：平面内有两组平行线，一组有机条，另一组有条，要构成平行四边形，需要有两组对边分别平行，故从第一组2条平行线中任选2条，作为平行四边形的一组对边，共有墨种不同的取法，再从第二组条条平行线中任选2条，作为平行四边形的另一组对边，共有第种不同的取法，那么可以构成墨盘个平行四边形.(2)由题意可知：空间有三组平行平面，第一组有旭个，第二组有个，第三组有/个，要构成平行六面体，需要有3组对面分别平行，故从第一组加个平行平面中任选2个，作为平行六面体的一组对面，共有叱种不同的取法，再从第二组八个平行平面中任选