均值不等式与柯西不等式在竞赛问题中的应用

1、均值不等式与柯西不等式在竞赛问题中的应用均值不等式在求最值中应用广泛，均值不等式与柯西不等式在证明不等式中发挥着重要作用，本文列 举几个例题说明理由.例题1 .正数Q, b, C满足=432,求P=。3+3/?2+60的最小值.解：%/=432,b - =1.：.P = a3+ 3b2+6c = 8-(-、3+ 3-Z72+18-|2918 j_29=294 UJ-b-3 A J2929.等号成立当且仅当 =2, b = l, c = 32(1 a)H2 25/2 2. ci./+2+2c2的最小值为2J5 2例题3正数b, c满足q+Z?+c = 1，求尸1 + bc l的最小值.ab +

2、bc + ca解：应用均值不等式得P= Aab + bc+ca+ c + 2ab + 3bc+2caab + bc+caa2一 +27-V13a2 7-V13 ob-+ +c-+3 仗 + c2)+ 2ab+3bc+ 2caP = / + 3)2 + 6c的最小值为29.2 . q j 2 , r 2例题2正数Q, b, C满足Q + b + C = l，求的最小值. b + c解：由柯西不等式与均值不等式得片 + 2b2 + 2c4 a2 +(b + c)2 _+(1- a)2 _ Jr WV2Jl等号成立当且仅当 = 1, b = C =ab + bc+ca2-V13+ 3 ab+bc+c

3、a V13 + 3ab + bc+ca2ab + bc + ca等号成立当且仅当4 = 4 JB, h = cV13-3. d i + bcV13 + 3ab + bc + caab + bc + ca.P =的最小值为 均值不等式与柯西不等式在证明不等式中起着关键作用，且看下面例题.例题4设 ABC三边长为a，b, c,求证:abc 3(a2 +2 +c2)h + c-a c + a-b a + h-c ah + hc + cah + c-a c + a-b a + h-c ah + hc + ca+ L证明：因为A ABC三边长为，b, c,由三边长度大小知b + c c+a/?0, ci

4、 + b c0.由柯西不等式得FT hT3(a2 +b2 +c2+ b c )： / (Z? + c a)eye3(q2 +Z?2 +c2)23(a2 +/?2 +c2)所以只帝证 Z/S + c a) ab + bc + ca eye等价于证明 Z(“4 +2。% + 2次;3 +a2bc-6a2b2)0.eye由均值不等式2。%+ 2加 4a2h2知只需证明Z 3 +片- 201b2) 0.eye不妨谈aWb, a0, 那么XL +a2bc-2a2b2j= (u2 - v2)2 + 3a(u - v)2(u + v)+ au3 + v3 +eye+ 3a2( - y)2 + uv 0.所以

5、b + c ci c + 一b a + b c3a2+h2+c2J gPS + c-Q) eye例题5设。，b,Sac是正实数，求证:8b8c3/72 + 2Z?c + 3c2 3c2+2ca + 32+ cib + 3b a + /? + c证明：由柯西不等式得8。8b8c3bl + 2Z?c + 3cL3c、2 + 2ca + 3cli 3ci +2ab +3b2 (3加8( +。+ C)2+ 3ac2 + 2ab c)eye8(q + /? + c)2、9所以只要证2(3加+32+2咐 7177. eye等价于 3(q (ci + Z?) + 3(Z? c)2 0 + c) + 3(c

6、ci (c + a) + 2( + c， 3abe) 2 0.由三元均值不等式得上式成立.Sa8b8c 、9.11.3b + 2Z?c + 3c 3c2+2c + 32 3ci + 2tzZ? + 3b + /? + c练习：.设 a, b, c, 6? o,! + ! + ! + ! = 1,求证： 3ci +1 3b +1 3c +1 3d +12(。+ + c + d) + 12 9ahcd -b c 5. Let a, d0, b, c0 and 3b+6c2d + Sa. Prove that ：1.c+d a+h 8.在AABC中，当n23 0寸，求证：i / a + i /+ i

7、 / C反厅 J3abe(a +1 + c).bc + a-b) y/cya + b-c) JqQ + c-q).羽y,z0, x+y + z = 3,求证:1 + x + yz - 3xyz 0 xyz(x +yz + xyz - 3)5,4, b, c是正数，求证：(a3 +b3+c3J 3(a4b2 + b4c2 + c4a2)练习题答案.设a, b, c, d NO,- + - + - + - = 1,求证: 3ci +1 3b +1 3c +1 3d +12(a + b + c + d + 9abed -证：易证12 i 3a +1 3b+ 1 3 J ab +1 18ab + 6a

8、 + 6b + 2=(3a + 3b + 2yfab6ab + a + b3o 3/ab 1.这是正确的.因为11111111.11 1 n 3 + 3人 + 2 1. 3a+ 1 3Z? + 1 3。+1 3b+ 1 3c +1 3d + 1 3yab +1 3ycd +1、23；9 J 3y1 abed +1Proof：4-c+d a+b 8c+d a+b 8. Let。，d0, b, c0 and 3b+6c2d + Sa Prove that上+工 =4+迪c + d a + b2 x 6c x 3b + 6 x 2d x 3 3 x 8。x 6c + 8 x 3Z? x 6c(32

9、+ 6c)210 x 6c x 3 + 6 x 2d x 3b + 3 x 8。x 6c 4(3 6c丘 2z (3 6cF= _410 x 6c x 3b + 6(3b + 6cJ5(6c + 3Z?)2 + 6(3b + 6c)2 11.在A4BC中，当nN3时，求证： (abcyT d3abe(a + /? + c).a b cy/byc + a-b) 1 c(a + b - c) yab + c-a)证：由均值不等式，柯西不等式，排序不等式得2、2n-4 n =L 3r V6Z 2 VZ2 3(a2 b2 +Z?202 +02q2) J3ale+ Z? + c).2a(a + c).羽

10、y,z0,九+y + 2 = 3,求证: + x+ yz-3xyz 0 xyz(x + yz + xyz-3)证明：(l)l + x+z 3qz2。 4x3 + 9x2y + 9x2z + 6xy2 +6xz2 + y3 +12y2z + 12yz2 + z3 60 xyz.由AM-GM得上式成立.(2) 0 xyz(x + yz + xyz-3) x2y + x2z + 2xy2 + 2xz2 + y3 + z3 Sxyz.由AM-GM得上式成立.所以 l + x+yz-3xyz 0 xyz(x +yz + xyz-3) 5.a, b, c是正数，求证：(/+/+。3羟3(/人2+日2 + C%2)证：不妨设 ac，b c, a = c + x, b = c+ y, x, y0. i/iijT = ( + / + c3 y _ 3(a72 + b%2 + c%2 )=X6 -3x4y2 +2%3y3 + y6 +6c%5 工4一工3y2 +%2y3 + 了 十+ (12x4 - 18xy+ 6盯3 +I2y4)c2 +6(2/ - 2x2y + xy2 + y3)c3 + 6(