销售额的回归模型

1、销售额回归模型20098511袁少伟摘要公司销售额是对公司综合收益的一个重要表现，某公司希望通过公司与全行 业销售额进行对比来对公司未来销售额进行预测。我们利用统计回归的方法，建 立了回归模型，并利用MATLAB软件进行模型的求解与分析，再通过对模型进行 变换，建立了优化后的回归模型。针对问题一：利用已知数据绘制散点图并建立起来线性回归模型 ,二1.4548 + 0.1763二，其拟合度是非常的好，看起来是合适的。针对问题二：利用残差e作为随机误差8的估计值，从ee 的散点图， tt1能够从直观上定性的判断随机误差七存在自相关性；也可以用D-W检验法去定量判断，对于本文中，由DW1 v dL，

2、随机误差七存在自相关性。因此，模型J ,=1.4548 + 0.1763 二是不可取的。针对问题三：为了消除随机误差七存在的自相关性，我们对模型进行优化变 换后得到新的模型： 二0.537126 + 0.630791y 1 + 0.1763尤-0.111208尤 1，再对此模型用D - W检验法进行判定，由于du v DW2 v 4 - du，随机误差七无自相关性，因 此，这个模型就可以作为预测公司的销售额的问题的回归模型。关键词:回归模型时间序列拟合自相关性一、问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，附录I给出了 1977-1981 年公司销售额和行业销售额的分季度数据

3、（单位：百万元）。（1）画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。（2）建立公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。（3） 建立消除了随机误差项自相关性后的回归模型。年季t公司销 售额y行业销 售额x年季t公司销 售额y行业销售额x19771120.96127.3197931124.54148.32221.40130.041224.30146.43321.96132.7198011325.00150.24421.52129.421425.64153.119781522.39135.031526.36157.32622.76137.141626.9816

4、0.73723.48141.2198111727.52164.24823.66142.821827.78165.619791924.10145.531928.24168.721024.01145.342028.78171.7表1某公司的销售额与全行业的销售额二、模型假设y :公司的第t次季度销售额x t：全行业的第t次季度销售额a，b :模型I中的常量与系数七：由模型求得的公司的第t次季度销售额匕：公司的第t次季度销售额的残差三、模型的建立与分析1.绘制散点图利用已知表格（表1）绘制出散点图，绘制方法及程序见附录I咛业销售氢与公摩销 妄额救据的教点图行业销售额与公司销售额数据的散 点图图1行业

5、销售额与公司销售额数据的散点图根据图1,可以看出行业销售额增大，公司销售额也增大，且具有一定的线性关系，初步 判断应以一次线性曲线为拟合目标，即选择线性回归模型，则目标函数为：y = a + bx2.模型分析利用Matlab程序求解a，b。程序设计见附录II。得到回归系数估计值a = - 1 .4548 , b = 0.1763;则拟合的线性回归模型I为：y =-1.4548 + 0.1763 xtt参数参数估计值置信区间P 0-1.4548-1.9047 , -1.0048 P10.1763-1.9047 ,0.1793R2 =0.99879 F=1488.8 p=0.007拟合系数a和b的

6、95%的置信区间分别为：-1.9047-1.0048和1.90470.1793r中的数据表示模型拟合残差向量et ； rint中的数据表示模型拟合残差95%的置信区间；在states的数据中表示包含R2=1.0e + 004*0.0001牝1方差分析的F统计量F = 1488. 8方差分析的显著性概率p = 0. 007模型方差的估计 值，2 = 0.0000四、自相关性诊断与处理从表面上看得到的基本模型I的拟合度非常之高 （R2 = 1.0e + 004*0.0001 1），应该很满意了。但是，这个模型并没有考虑到 我们的数据是一个时间序列（即将表1的年份序号打乱，不影响模型I的结果）。 实

7、际上，在对时间序列数据做回归分析时，模型的随机误差项七有可能存在相关 性，违背模型关于七（对时间，）相互独立的假设。残差e =y -y可以作为随机误差s的估计值，画出ee 的散点图（图 t t tttt-11），能够从直观上判断七的自相关性。模型I的残差七可以在计算中得到，如表2, 数据et气的散点图如图2,可以看到，大部分点子落在第1,3象限，表明%存 在正的自相关。为了对e的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下 t模型：y = a + bx +s, s = ps + u其中，p是自相关系数，I p l 七1 = 0.738418120 e 2t=2图3与DW值对应的自相

8、关状态对于显著性水平a =0.05,n = 20,k = 2，查D-W分布表，得到检验的临界值人=1.20和气=1.40。现在DW1 ，由图2可以认为随机误差存在自相关。且正自相关系数P的估计值h =1- D2* = 1 - O3；418 =0.630791对模型中的变量作变换：y * = y - py = y - 0.630791 J ；t tt1tt 1x* = x px = x 一 0.630791x .t tt 1tt 1则模型I化为：y * = a * + bx * + u , a * = a (1 p )；代入数据得到：y* =0.537126 + 0.1763 x* + u将式中

9、y *，x*还原为原始变量yt，xt得到结果即是模型II：y =0.537126 + 0.630791 y + 0.1763 x 0.111208 x .tt 1tt1 ；结果分析：根据模型II得到的残差计算DW统计量如下：DW = % = 1.74967220 e 2tt=3现在du DW2 4 du，由图2可以认为随机误差无自相关，从机理上看，对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据，加入自相关模型II更为合理，而且在本题当中，衡量与实际数据拟合程度的指标一一 剩余标准差从模型I的0.36514减小到0.28329。我们将模型II、模型I的计 算值*与实际数据y,的比较，以及两个模型的残

10、差匕表示在表3中，可以看出 模型II更合适一些。tul. m -丸(模型1)握模型2)戏型ue模型2)120. 9620.061-0.0261221. 4021.462021.44647-0.0620-0. 04647321. 9621.938021.899770. 02200.06023421. 5221.356221.370960. 16330. 14904522. 3922.343422. 449440. 0466-0. 05944622. 7622.713622. 742S20. 04640. 01718723. 4823.436423. 466620. 04360. 01338323

11、. 6623.718423. 74692-0.0584-0. 03692924. 1024.194424. 15S54-0.0944-0. 058541024. 0124.159124. 10056-0.1491-0. 090561124. 5424. 6E8024. 59493-0. 1480-0. 054931224. 3024.353124. 26066-0.05310.039341325. 002S. 022924. 99050-0.02290.009501425. 6425.534125. 52。740. 10590. 119261526. 3626.2745342如0. 08550

12、. 017601626. 9826.873926. 928920. 10610. 051081727. 5227.490927. 558950. 0291-0. 038951827. 7827.737727. 757170. 04230.022831928. 242S.2S4228. 31201-0.0442-0. 072012028. 782S.S13028. 78633-0.0330-0. 00633表3模型I、模型II的计算值y，与残差e五、模型评价与预测通过对本文的分析，对于数据为时间序列的回归模型的建立后，必须检验随机误差，是 否存在自相关性。如果无自相关性，则可以用此模型进行预测：

13、如果存在自相关性，则必须 对模型进行变换，得到新的模型后重复上述步骤，直到无自相关性后，模型才可以进行预测。用模型II对未来的公司的销售额进行预测时，需先估计未来的全行业一季度的销售额Xt比如，设t = 21时，七=174.2，容易由模型II得到y广29.23六、参考文献何晓群，刘文卿.应用回归分析，北京：中国人民大学出版社，2001姜启源等编著，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8刘勇，白林著 基于MATLAB的回归分析模型在经济预测分析中的应用成都理工大学七、附录I.由原始数据绘制散点图在EXCEL中建立输入数据，并根据数据绘制散点图，选择合适的坐标轴。H.模型分析在MA

14、TLAB中输入：%构造资本论观测值矩阵mx=ones(20,1) ,x;alpha=0.05;%线性回归计算b,bint,r,rint,states=regress(y,mx,alpha)输出结果：b = -1.4548 0.1763 bint = -1.9047-1.0048 ； 0.17320.1793r = -0.0261-0.06200.02200.16380.04660.04640.0436-0.0584-0.0944-0.1491-0.1480-0.0531-0.02290.10590.08550.10610.02910.0423-0.0442-0.0330rint =-0.195

15、40.1433 ; -0.23190.1078 ;-0.15290.1969 ;0.01320.3143 ; -0.12880.2220; -0.13040.2231;-0.13520.2225;-0.23670.1198 ;-0.26910.0803 ;-0.31360.0153;-0.31290.0169 ;-0.23230.1262 ;-0.20370.1578;-0.06640.2781 ;-0.08790.2589 ;-0.06210.27430.1233;-0.14400.2023 ;-0.19720.1311-0.12870.2134 ;-0.2116rint =-0.19540.1433 ; -0.23190.1078 ;-0.15290.1969 ;0.01320.3143 ; -0.12880.2220; -0.13040.2231;-0.13520.2225;-0.23670.1198 ;-0.2691