第15课极坐标方程与直角坐标方程的互化

1、第15课 极坐标方程与直角坐标方程的互化KAO GAMG JIL Xl. 了解曲线的极坐标方程的求法.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化取课本KE BEN M N XI.阅读：选修44第1012页.解悟：理解极坐标与直角坐标互化的前提条件，在同一个点 M的极 坐标(白。后其直角坐标(x, y)之间的互化关系是如何推导出来的？互化 时应注意哪些问题？ 点的直角坐标化为极坐标时，极角是如何确定的？ 重解第11页中的例4、5,体会解题方法并注意解题规范.践习：在教材空白处，完成第 17页第6、7题.基础诊断.点M的直角坐标为(由，一1),在p0,0W 0 0, 0 0 0 贝U pcos0=

2、 1,化 为直角坐标方程为 x= 1;若p= 0,则p2cos 0- p= 0化为直角坐标方程为x2+y2=0.,野,景；解析：直线pcosO+psin仁0化为直角坐标方程为 x+y=0,点A1, 2j化为直角坐标为（0, 1）.线段AB最短时，即过点 A作直线的垂线，交点为 B.由此可求得直线AB方程为x- y+1=0,所以交点B的直角坐标为-2, 2 j化成极坐标为作，列.1 2 44. 4季 解析：由题意可得直线与圆的交点是卜6/和卜1fg所以弦长为范例导航42+42-2X4X 4X cos例1解析：（1）因为直角坐标方程为 4为半径的圆，故该方程化为极坐标方程为x2+y28y =0,所

3、以该方程表示以（0,4）为圆心, p= 8sin 0 .(2)在 p= 6cos中，可化简为p= 3cos0+ 3/3sin 0,两边同时乘以 p 得 = 3 pcos 0+ 3j3psin。，化为直角坐标方程为x2+y2-3x-3V3y=0.龙跟踪.习. TOC o 1-5 h z 解析：（1）曲线C1：岱in2 e= cos。化为直角坐标方程为y2=x,曲线C2: psin 0 = 1化为直角坐标方程为y = 1,y2=x,x= 1,联立方程组，解得f 故交点的直角坐标为（1,1）.Iy=1,卜=1,（2）由题可得该圆的圆心为（1, 0）,半径为1,所以该圆垂直于极轴的两条切线方程为x=2

4、或x=0,化为极坐标方程为0=2 pcos0= 2.【注】两种形式的方程互化的前提条件：（1）以直角坐标系中的原点为极点，x轴的正半轴为极轴且在两坐标系中取相同的长度单位.（2）先将方程两边同乘以 p,化成直角坐标方程.例2解析：在psin-j；=当中,令9= 0得尸1,因为圆c经过点pjy2, j所 以圆C的半径PC=（V2）2+12 2X 1 X表xco4=1,于是圆C过极点，所以极坐标 方程为p= 2cos 0 .原踪练习ifx2+ y7= 1，4、2x+y2=0, TOC o 1-5 h z x=1,x= 0,解得f 或iy=0ly=2.不妨设点 Pi(1 , 0), P2(0,=2,

5、所求直线的直角坐标方程为yT=2匕2 化为极坐标方程为 2 pcos 0 4 psin 0= 3,2）,则线段P1P2的中点坐标为 弓，1 i,则所求直线斜率为k即 p=4sin 0- 2cos0【注】（1）建立适当的极坐标系，设点 P（ p,。是曲线上的任意一点，直接列出极径 和极角。之间的关系式，再进行整理、化简 .（2）在极坐标系下不能处理的问题，将它转化 到直角坐标系下来处理.例 3 解析：因为 p=小kcos。一 y2ksin & 2 = k pcos 0 /2k psin 0,所以圆 C 的直角 坐标为x2+y2嫄h+ 42对=0,即3乎k j +乎k j = k2.故圆心c的直角

6、坐标为住k,冬;因为ypsin 0 -22 pcos0= 4,所以直线l的直角坐标方程为 xy+4M2=0,即|k+4|=2 + |k|,两边平方，得|k| = 2k+3,解得k=1,实数k的值为1.【注】 主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，直线和圆的位置关系，点到直线 的距离公式的综合应用.自测反馈.解析：(1)将 x= pcos 0, y= psin。代入 x+2y3=0,得 pcos 0+ 2 fsin 0 3=0, 即 p cos 0+ 2sin。尹 3.2) x2+(y 2)2= 9 即为 x2+y24y= 5,将*=08$ 0, y=psin 0代入得 p24 psin 0=

7、 5.解析：（1）因为。=；,所以x= pcos 0=*p, y= psin 0=4p,故0=；化为直角坐 标方程为y=x.2） cos 6j= 1 可化为乎 pcos 0+ 2 psin 0= 1,即 43pcos 0+ psin 0- 2=0.又 x= pcos 0, y= psin 0,所以pcos e6尸1化为直角坐标方程为 V3x+ y- 2= 0.（3）邛 5sin 。一6 “化为 尸学sin。一 5cos。，两边同乘以p,得；=52所。一pcos0 .则p= 5sin 6，为直角坐标方程为x2+ y2 + |x-3y= 0.2. 2 解析：因为pgs。+ sin。42,所以直线的直角坐标万程为x+y = 2,故点（1,|1 + 0-2| J20）到直线的距离d艰I告. 4 解析：由题意