培优七年级第1讲-走进美妙的数学世界

1、走进美妙的数学世界现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿越无线的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间。布特勒知识纵横从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，俞穴科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系。走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数概念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与试验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；走进美妙的数学世界

2、，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图标捉去信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有五行的灵魂，它改变我们的思维方式，它涕尽我们都蒙昧与无知。诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的技巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构。”例题求解【例1】探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸引进去，五一能逃脱它的魔

3、掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和,重复运算下去，就能得到一个固定的数T=，我们称之为数字“黑洞”。（青岛市中考题）思路点拨：从一个具体的术操作，发现规律。【例2】A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了54321球场，则还没有与B队比赛的球队是（）D、F队（第18届江苏省竞赛题）思路点拨：用算术或代数方法解,易陷入困境。用6个点表示A、B、C、D、E、F这六个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线，这样用

4、图来辅助解题，形象而直观。【例3】用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组；在它的周围铺上6快同样大同样大小的正六边形瓷砖来铺设小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺设，定义为第三组按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组？此时还剩几块瓷砖？（第16届“希望杯”邀请竞赛题）思路点拨：探寻瓷砖铺设的规律，是解本题的关键。【例4】在文字算式中，不同的文字代表不同的数，相同的文字代表相同的数字。那么在“时代数学+时代数学+时代数学二好好好好好好”这样的式子中，最少需要几个“时代数学”才能使式子

5、成立呢？（俄罗斯萨温市竞赛题）不妨考虑最简单的情形。思路点拨：问题的实质是对一个数字相同的六位数进行分解,【例5】若自然数n使得作竖式加法n，（n1）（n2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为323334不产生进位现象；23不是“可连数”，因为232425产生了进位现象，那么小于的“可连数”有多少个？（湖北省黄冈市中考题）破译密码解:当“可连数”为一位数时，n（n1）（n2）辽9，解得n辽2,由于n为自然数，所以当n=0或n=1或n=2，即一位数的“可连数”有3个。当“可连数”为两位数时，设它的个位数字为a,十位数字为b,则a(a1)(a219，解得a5）,则x的

6、值是（济南市中考）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D请你按图中箭头所指方向（即ABCDCBABC的方式）从A开始数连续的正整数1,2,3,4，当数到12时，对应的字母是;当字母C第201次出现时，恰好数到的数是;当字母C第2n1次出现时（n为正整数），恰好自然数a、b、c、d、e都大于1，其乘积abcde=2000，则其和abcde的最大值为，最小值为。我国古代的“河图”是由33的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等下图给出了“河图”的部分点图，请你推算出p处所对应的点图是（）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五

7、二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了下面两个图框是用法国“小九九”计算7-8和8疋9的两个示例.若用法国的“小九九”计算79，左、右手依次伸出手指的个数是（）A2,3B3,3C2,4D3,4为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文t密文（加密）左手右手T两手伸出的手扭费的和泊7.去伸出的手脂数的枳九2,接收方由密文？明文（解密）.已知加密规则为：明文a,b,c对应的密文a1,2b4,3c9例如明文1,2,3对应的密文2,8,18.如果接收方收到密文7,18,15，则解密得到的明文为（）A4,5,6B6,7,2C2,6,7D7,2,68.观察下列图形及图形所对应的算式，根

8、据你发现的规律计算181628n（n是正整数）的结果为（济南市中考题）A2n12B2n-12Cn22Dn2)1-S=?左手右手:两手诩出的手指教的和洵儿来伸出的手曲績的和为乩l-S-16-24-9.观察下表，填表格后再解决问题:（1）试完成下列表格：序号123图形*的个数824的个数14（2）是否存在“”的个数与“”的个数相等的情形？请通过计算加以说明.（河南省中考题）2O1n的值的几何图形。2（大连市中考11在数学活动中，小明为了求一+歹222如图甲所示的几何图形。11（1）请你利用这个几何图形求2221（2）请你利用图乙，再设计一个能121n的值（结果用表示），设计23242n111+-小

9、2小3小4222能力拓展勤奋智慧的中华名族在四千多年前就创造了十进制计数法，即“逢十进一”，如十进制2abc=a10b10c。世界各地的计数方法中，除十进制外，还有十二进制、六进制、二进制等。与计算机发展密切相关的二进制计数，就是“逢二进一”，如二进制101等于十进制数，在二进制加法中，10110（结果仍用二进制表示）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子的排列形状把整数进行分类。例如：1,3,6,10这些数叫三角形数（如图）则下列数55,364,1830,中是三角形数的有。若k45k9是能被3整除的五位数。则k的可能

10、值有这样的五位数中能被9整除的有。（“希望杯”邀请赛试题）定义一种对正整数n的“F运算”：当n为奇数是，结果为3n5；当n为偶数时，结果为芈（其中k是使伴为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如2k2F尊5n=26时,26第三次n=449，则第449次“F运算”的结果是。（嘉兴市中考题）15.若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”的两位数的个数是（A82B84“巧数”，则不是)C8688（“希望杯”邀请赛试题）16.如图，多边形ABCDEFGH两边互相垂直，要求出它们的周长,知道（）条边的长。A17.C5D6（第十九届“五羊杯”竞赛题）191已知三个连续的正整数的

11、倒数和等于，则这三个数之和等于（）504C21需要最少27B2418（北京市竞赛题）18.在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法，图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为三层二叉树的结点总数为7的结点总数为（）A.63B.64C.127如3，照此规律，七层二叉树D.128（呼和浩特市中考题）（1）斐波那契是中世纪意大利数学家，他在研究兔子繁殖数量的问题时发现了一个奇妙的数列：1,1,2,3,5,8,13,请按照该数列的规律写出紧接13的两个数，具有这种规律的数列称为斐波那契数列。（2）任选两个数a,b，把它们作为第一、第二个数，按（1）中斐波那契数列的规律产生一个数列，证明

12、：在此数列中，头10个数的和等于第7个数的11倍。能否很快写出2005个自然数，是它们的和正好等于它们的乘积？（俄罗斯萨温市竞赛题）综合创新为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文？密文（加密），接收方由密文？明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a,b,c，z依次对应0,1,2,3，,25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为一：时，将10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c。abcdfhijk1闻号01234570g101112n0Parstu骨Xy店号131415161718202122232425按上述规定，将明文“maths”