微分几何陈维桓绪论第一章第二章第三章讲稿

1、 .DOC资料. .DOC资料. 目 录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc224958854 绪 论 PAGEREF _Toc224958854 h 1 HYPERLINK l _Toc224958857 内容简介 PAGEREF _Toc224958857 h 1 HYPERLINK l _Toc224958858 第一章 预备知识 PAGEREF _Toc224958858 h 2 HYPERLINK l _Toc224958859 引言 PAGEREF _Toc224958859 h 2 HYPERLINK l _Toc224958860 1.1 三维欧氏

2、空间中的标架 PAGEREF _Toc224958860 h 2 HYPERLINK l _Toc224958861 一、向量代数复习 PAGEREF _Toc224958861 h 2 HYPERLINK l _Toc224958862 二、标架 PAGEREF _Toc224958862 h 3 HYPERLINK l _Toc224958863 三、正交标架流形 PAGEREF _Toc224958863 h 3 HYPERLINK l _Toc224958864 四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 PAGEREF _Toc224958864 h 3 HYPERLINK l _Toc2

3、24958865 1.2 向量函数 PAGEREF _Toc224958865 h 5 HYPERLINK l _Toc224958866 第二章 曲线论 PAGEREF _Toc224958866 h 6 HYPERLINK l _Toc224958867 2.1 参数曲线 PAGEREF _Toc224958867 h 6 HYPERLINK l _Toc224958868 2.2 曲线的弧长 PAGEREF _Toc224958868 h 9 HYPERLINK l _Toc224958869 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 PAGEREF _Toc224958869 h 10 H

4、YPERLINK l _Toc224958870 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 PAGEREF _Toc224958870 h 14 HYPERLINK l _Toc224958871 2.5 曲线论基本定理 PAGEREF _Toc224958871 h 16 HYPERLINK l _Toc224958872 2.7 存在对应关系的曲线偶 PAGEREF _Toc224958872 h 21 HYPERLINK l _Toc224958873 2.8 平面曲线 PAGEREF _Toc224958873 h 21绪 论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动.

5、“geometry”就是“土地测量”. Pythagoras定理和勾股定理(周髀算经). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的几何原本(Elements)为代表. 自然辩证法和反杜林论：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入. 对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法. 微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲

6、面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.第一章 预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言 为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数的图像是平面上的一条曲线，二元函数的图像是空间中的一张曲面. 采用参数方程，空间一条曲线可以表示成.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数. 所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁. 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：，. 向量相等的定义：大小和方向

7、. 零向量：，. 反向量：. 向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘. 内积的定义： 外积的定义. 二重外积公式：；内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.二、标架仿射标架. 定向标架. 正交标架(即右手单位正交标架)：. 笛卡尔直角坐标系. 坐标. 内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间和. 三、正交标架流形取定一个正交标架(绝对坐标系). 则任意一个正交标架被点的坐标和三个基向量的分量唯一确定： (1.6)其中可以随意取定，而应满足， (1.7)即过渡矩阵是正交矩阵. 又因为是右手系，

8、即矩阵 (1.8, 1.9)是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：正交标架，.所以正交标架的集合是一个6维流形. 四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点在两个正交标架和中的坐标分别为和，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式： (1.10)如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动. 在刚体运动下，若将正交标架变为，则空间任意一点和它的像点(均为在中的坐标)之间的关系式为 (1.11)定理1.1 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于中的任意两个正交标架，必有的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架

9、. 空间到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射). 仿射坐标变换与仿射变换. 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域到中的映射. 设有定义在区间上的向量函数.如果都是的连续函数，则称向量函数是连续的；如果都是的连续可微函数，则称向量函数是连续可微的. 向量函数的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即， (2.6)， (2.7)其中是区间的任意一个分割，并且. (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分

10、归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性. 由(1.6)可得.定理2.1 (Leibniz法则) 假定是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ；(2) ；(3) . 定理2.2 设是一个处处非零的连续可微的向量函数，则(1) 向量函数的长度是常数当且仅当. (2) 向量函数的方向不变当且仅当. (3) 设是二阶连续可微的. 如果向量函数与某个固定的方向垂直，那么 .反过来，如果上式成立，并且处处有，那么向量函数必定与某个固定的方向垂直. 证明 (1) 因为，所以是常数是常数. (2) 因为处处非零，取方向的单

11、位向量. 则，其中连续可微. 于是“”由条件知是常向量，. 从而.“”由条件得，所以，处处线性相关. 因为是单位向量，处处非零，所以. 用作内积，得. 于是，是常向量. (3) 设向量函数与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量使得. 求导得到，. 从而共面，. 反之，设. 令. 由条件，处处非零. 且连续. 根据二重外积公式，根据已经证明的(2)，的方向不变. 设这个方向为. 则. 用作内积，得.由于处处非零，得到，即与固定方向垂直. 课外作业：1. 证明定理2.1. 2. 设为等距变换. 在中取定一个正交标架. 令为中全体向量构成的向量空间. 定义映射. 如果，证明是线性映射. 3. 设向量

12、函数有任意阶导(函)数. 用表示的阶导数，并设处处非零. 试求的充要条件. 第二章 曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet标架，Frenet公式；曲线论基本定理计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明 2.1 参数曲线三维欧氏空间中的一条曲线是一个连续映射，称为参数曲线. 几何上，参数曲线是映射的象. 取定正交标架，则曲线上的点与它的位置向量一一对应. 令. 则， (1.3)其中为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程. 由定义可知，. (1.4)如果坐标函数是连续可微的，则称曲线是连续可微的. 此概念与标架的取法无关. (为什么？)导数的几何意义：割线的极限

13、位置就是曲线的切线. 图2-1如果，则是该曲线在处的切线的方向向量，称为该曲线的切向量. 这样的点称为曲线的正则点. 曲线在正则点的切线方程为， (1.5)其中是固定的，是切线上点的参数，是切线上参数为的点的位置向量. 定义. 如果是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的，则称曲线是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向. 上述定义与中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类. 曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换满足：(1) 是的三次连续可微函数；(2) 处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当时，称

14、为保持定向的参数变换. 根据复合函数的求导法则，. 这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. HYPERLINK l Frenet标架 (返回Frenet标架)图2-2例1.1 圆柱螺线，其中是常数，. ，所以圆柱螺线是正则曲线.图2-3例1.2 半三次曲线. ，.这条曲线不是正则曲线. 连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较）平面曲线的一般方程和隐式方程.

15、 空间曲线的一般方程 (1.6)和隐式方程 (1.8)这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性. 课外作业：习题2，5 2.2 曲线的弧长设中一条正则曲线的方程为. 则 (2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关. 不变量的几何意义是该曲线的弧长，因为 .其中是区间的任意一个分割， . (为什么？)图2-4令. (2.4)则是曲线的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长作为参数，

16、当然，允许相差一个常数. 注意也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分). 虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数给出的. 由(2.4)，即使是初等函数，也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法. 定理2.1 设是中一条正则曲线，则是它的弧长参数的充分必要条件是. 即是弧长参数当且仅当(沿着曲线)切向量场是单位切向量场. 证明. “”由(2.4)可知，. “”如果是弧长参数，则，从而. 以下用“”表示对弧长参数的导数，如，等等，或简记为等等. 而“”则用来表示对一般参数的导数. 课堂练习：4课外作业：习题1，2(1

17、)，3. 2.3 曲线的曲率和Frenet标架设曲线的方程为，其中是曲线的弧长参数. 令. (3.1)对于给定的，令是与之间的夹角，其中是的增量. 图2-5定理3.1 设是曲线的单位切向量场，是弧长参数. 用表示向量与之间的夹角，则. (3.2)证明. ，因为，所以. 定义 称函数为曲线在(即)点处的曲率，称为该曲线的曲率向量. 把曲线的单位切向量平移到原点，其端点所描出的曲线称为曲线的切线象. 其方程就是. (3.3)例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆. 当然，不一定是切线象的弧长参数. 切线象的弧长元素为 . (3.4)所以 ， (3.5)即曲率是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比

18、. 由可知. 所以曲率向量是曲线的一个法向量场. 如果在一点处，则向量称为曲线在该点的主法向量场. 于是在该点有 . (3.6)在处，令. (3.7)它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场). 这样，在正则曲线上的点，有一个完全确定的正交标架，称为曲线在该点的Frenet标架HYPERLINK l 图22(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响. 注意. 如果在一点处，则一般来说无法定义在该点的Frenet标架. 1. 若，则是直线，可以定义它的Frenet标架. 2. 若是的孤立零点, 则在的两侧都有Frenet标架. 如果，则可以将Frenet标架

19、延拓到点. 3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察. 切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程. 密切平面法平面从切平面切线主法线次法线切线：；主法线：；次法线：法平面：；从切平面：；密切平面：在一般参数下，曲率和Frenet标架的计算方法. ，. (3.13)证明. 设为弧长参数，为其反函数. 则由(2.4)，.故. (3.12)由曲率的定义，可知主法向量满足. 上式再对求导，得.于是.所以. 代入上式得. 例3.1 求圆柱螺线的曲率和Frenet标架，其中. 解. ，.所以，. 例3.2 求维维安尼(Viviani)曲线在点处的曲率和Frenet标架. 解法1.

20、 将曲线写成参数方程，. 点对应的参数为，其中为整数. 不妨设. ，.于是当时，.所以在点处的曲率，Frenet标架为，. 解法2. 设曲线的弧长参数方程为，点对应的参数为. 则有， (1)以及 (3.14)求导得到 (3.15)令，由(1)和上述方程组得到，. 通过改变曲线的正方向，可设，于是. (3.16)对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得 (3.17)令，由(3.15)和(3.16)得；由(1)和(3.17)第1式得；再由(3.17)第2式得. 所以.由此得处的曲率，Frenet标架为：；，. 课外作业：习题1(2,4)，4，7 2.4 曲线的挠率和Frenet公式密切平面对

21、弧长的变化率为，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义4.1 函数，即称为曲线的挠率. 注. 由，可知. 因此可设 ， (4.1)从而，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 定理4.1 设曲线不是直线，则是平面曲线的充分必要条件是它的挠率. 证明. 设曲线的弧长参数方程为，. 因为不是直线，(见定理3.2 )，存在Frenet标架. “” 设是平面曲线，在平面上，其中是平面上一个定点的位置向量，是平面的法向量，和均为常向量. 则有.求导得.于是, 由于，所以是常向量，从而，. 即有. “”设. 由(4.1)得. 所以是常向量. 由可知是一个常数，即，其中是固定的. 于是曲线上

22、的点满足平面方程，其中是平面上一个定点的位置向量，是平面的法向量. 设正则曲线上存在Frenet标架. 对Frenet标架进行求导，得到Frenet公式 (4.8)上式中的后三式可以写成矩阵的形式. (4.9)作为Frenet公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线的曲率和挠率都不为零，是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有， (4.10)其中为常数. 证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是，球心是，即有. (4.11)求导得到.这说明垂直于，可设. (4.12)再求导，利用Frenet公式得.比较两边的系数，得， (4.13)其中略去了自变量. 所以，. (4.14)将(4.12)

23、两边平方可得，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). 注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得. (4.16)在一般参数下挠率的计算公式. . (4.18)证明. 因为，利用Frenet公式，有，于是，从而 由(3.13)可知，代入上式即得(4.18). 定理4.3 曲线是平面曲线的充要条件是. 例 求圆柱螺线的挠率. 解. ，.所以，. 课外作业：习题1(2, 4)，4，10 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三

24、个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理5.1 (唯一性定理) 设是中两条以弧长为参数的正则参数曲线，. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即，则有中的一个刚体运动将变成. 证明 选取中的刚体运动将在处的Frenet标架变为在处的Frenet标架. 则这个刚体运动将变为正则曲线. 设的弧长参数方程为. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，与也有相同的曲率和挠率函数： ，. 且在处它们有相同的Frenet标架：令和分别为和的Frenet标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题 (5.6) (5.7)根据解的唯一性(见附录定理1.

25、1)，有，即与重合. 注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：，. 初始条件为：，.定理5.2设是中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零. 如果存在三次以上的连续可微函数()，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足， (5.4)则有中的一个刚体运动将变成. 证明 不妨设. 对作可允许参数变换，可将的参数方程写成. 则的弧长为，的弧长为.由条件，可取作为和的弧长参数. 因为有相同的反函数，即，. 于是.同理， 根据定理5.1，有中的一个刚体运动将变成. 定理5.3 (存在性定理) 设是定义在区间上的任意二个给定的连续可微函数，并且. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一

26、的中的正则曲线，使得是的弧长参数，且分别以给定的函数和为它的曲率和挠率. 证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性. 考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).： (5.6) (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间上的解. 取(5.6)的满足初始条件 (5.7) 的解，其中是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记, (5.9). (5.5)因为是(5.6)的解，所以是三阶连续可微的. 下面来证明就是所要求的曲线. 由(5.6)可得 (5.6)首先来证明. (5.10)

27、由(5.6)得，由初始条件(5.7)可知有，. 这说明9个函数满足一阶线性常微分方程组初值问题，.另一方面由(5.5)可知，. 于是9个函数也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有. 因此是两两正交的单位向量. 从而混合积. 但是函数是连续的，并且由初始条件得. 所以构成右手系. 现在，由(5.6)可知. 所以是正则曲线，并且是的弧长参数，是的单位切向量场. 由(5.6)第2式及可知的曲率为，主法向量场为. 最后，因为是右手单位正交基，所以是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知的挠率为. 例 求曲率和挠率分别是常数，的曲线的参数方程. 解 我们已经知道圆柱螺线的曲率和挠

28、率都是常数，分别为和. 根据定理5.1，曲线一定是圆柱螺线. 由和解出，. 因此所求曲线的参数方程为.因为的弧长参数，将上式中的换成就可得到的弧长参数方程：. 课外作业：习题1，4，6 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间上的次连续可微的函数，可以在区间内任意一点邻近展开为Taylor展式：.同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线，可在处展开为， (6.1)其中是一个向量函数，满足. (6.2)由Frenet公式可得 (6.3)代入(6.1)得， 其中. 以处的Frenet标架建立右手直角坐标系，则曲线在附近的参数方程为 (6.4)上式称为曲线在处的标准展开式. 在标架下，考虑

29、的近似曲线. (6.5)近似曲线与原曲线在处有相同的Frenet标架，有相同的曲率和相同的挠率. 这是因为是的一般参数，并且，从而，.在邻近，近似曲线的性状近似地反映了原曲线的性状. 近似曲线的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6. 在密切平面上的投影是抛物线：，在从切平面上的投影是三次曲线：，在法平面上的投影是半三次曲线：. 定义 设两条弧长参数曲线相交于，. 取，使得. 若有正整数使得， (6.9)则称与在处有阶切触. 定理6.1 设两条弧长参数曲线在处相交. 则它们在处有阶切触的充分必要条件是，. (6.10)证明 在处，有. 因为在处相交，所以. 根据Taylor公式，.充

30、分性. 由(6.10)，所以，.即在处有阶切触. 必要性. 由条件，在处有阶切触，则. 如果，则，从而，矛盾. 设是满足，的正整数. 由充分性，在处有阶切触. 由条件得，故(6.10)成立. 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor展开式中的前项之和(即略去的高阶无穷小)至少有阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触. (2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率. 曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线上一点处的密切平面上，以曲率中心为圆心，以曲率半径为半径的圆. 它的方程是：. 曲线与

31、曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略)课外作业：习题2，32.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线之间存在一个一一对应关系，. 对曲线作参数变换，可设，从而之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应. 定义7.1 如果两条互不重合的曲线之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线. 注 在平面上，每一条正则曲线都有侣线，构成Bertrand曲线偶. 证明 设是的弧长参数，是的单位切向量场，是的曲率.令. 取充分小的非零实数使得,. 则是曲线的侣线. 事实上，因为，所以，. 另一方面由可知.

32、 因此. 设. 于是的曲率.当常数充分小时，所以是正则参数曲线. 因为，所以曲线和不重合. 现在来证明在对应点和有相同的主法线. 在相同的参数点处，的主法线是过(的终)点且垂直于的直线，所以的方程为，.同理，在相同的参数点处，的主法线是过点且垂直于的直线. 所以(因为它们都垂直于). 由定义可知在直线上，所以与重合. 下面考虑空间挠曲线，即挠率的曲线. 定理7.1 设和是Bertrand曲线偶. 则和在对应点的距离是常数，并且和在对应点的切线成定角. 证明 设曲线的弧长参数方程为，Frenet标架为，曲率和挠率分别为和. 因为和之间存在一一对应，设上与对应的点是，是的一般参数，的Frenet标

33、架为，曲率和挠率分别为和. 再设的弧长参数为. 由条件，在曲线上的点处的主法线上，所以，并且. 因此可设， (7.3)其中是常数，是可微函数.将(7.3)两边对求导，利用Frenet公式，得 . (7.4)以分别与上式两边作内积，可得，是常数. 再由(7.3)得，即和在对应点的距离是常数，因为和不重合).设，则. 因为，所以是常数，从而是常数. 定理7.2 设正则曲线的曲率和挠率都不为零. 则是Bertrand曲线的充分必要条件是：存在常数，且，使得. 证明 必要性. 设曲线有侣线，它们的参数方程分别是和，其中是的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设和分别是和的Frenet标架，分别是

34、的曲率和挠率，是的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为， (7.3). (7.5)其中是常数. 因此由得，其中也是一个常数. 由定理7.1，是常数. 用与(7.5)两边作内积，得.由可知，从而是常数. 这就是说，存在常数，使得. 充分性. 设正则弧长参数曲线的曲率和挠率满足，其中是常数，且. 令，则.所以由参数方程定义的曲线是正则曲线，并且与曲线不重合(因为).由于，曲线的单位切向量场，其中是常数，满足，.设是的弧长参数，利用Frenet公式，有.如果，则有，从而曲线是的侣线，和是Bertrand曲线偶(在参数相同的点，和得主法线有相同方向，并且在处的主法线上). 如果，则. 结合可

35、知和都是非零常数，是圆柱螺线，从而是Bertrand曲线. 定义7.2 如果两条曲线之间存在一个一一对应，使得曲线在任意一点的切线正好是在对应点的法线(即垂直于在该点的切线)，则称曲线是的渐伸线. 同时称曲线是的渐缩线. 定理7.3 设是正则弧长参数曲线. 则的渐伸线的参数方程为. (7.7)证明 设渐伸线上与对应的点为. 则在曲线上点处的切线上，故有函数使得. (7.8)由渐伸线的定义，所以.由此得，. 代入(7.8)即得(7.7). 曲线的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于的切线曲面上. 定理7.4设是正则弧长参数曲线. 则的渐缩线的参数方程为. (7.10)证明 设渐缩线

36、上与对应的点为. 由定义，可设. (7.11)求导得 . 因为，所以，即有，. (7.12)所以，且由(7.12)第2式得，.所以有(7.10). 课外作业：习题4，82.8 平面曲线本节研究平面曲线的特殊性质. 一、平面曲线的Frenet标架在平面上取定一个正交标架(右手直角标架). 则平面曲线的弧长参数方程为 ， . (8.1)它的单位切向量为 ， (8.2)其中是由到的有向角(允许相差的整数倍)，逆时针方向为正. 当区间是闭区间时，函数可以成为定义在整个上的连续可微函数. 将右旋，得到与正交的单位向量，. (8.3)这样，得到沿曲线的(平面)Frenet标架. 二、平面曲线的Frenet

37、公式由于是单位切向量场，有，故，可设 ， (7.4)其中 (7.5)称为曲线的相对曲率. 曲线的曲率为. 的符号的几何意义见图2-8.利用(7.4)得到平面曲线的Frenet公式 (7.6)因此曲线的曲率中心为，这也是的渐缩线方程. 三、相对曲率的几何意义由(7.2)，(7.3)和(7.4)可得.因此 ， (7.7)即相对曲率是有向角对弧长的变化率.四、平面曲线论基本定理定理 (平面曲线论基本定理) 设是区间上的连续可微函数. 则在不计的一个刚体运动的情况下，存在唯一的平面曲线，它以为弧长参数，以给定的函数为相对曲率. 证明 存在性. 取. 令，.再令，.则平面曲线，满足：以为弧长参数，以为相

38、对曲率.唯一性. 设另有一条平面曲线也以为弧长参数，以为相对曲率. 令为的Frenet标架，. 通过的一个刚体运动，可设，.由及可知. 从而.再由得到，. 五、旋转指标定理虽然有向角允许相差的整数倍，但是有向角的总变差是不变的. 事实上，若也是由到的有向角，则. 由于和都是连续函数，必为常数(因为闭区间是连通的). 从而，即总变差与有向角函数连续分支的取法无关. 由(7.7)可知总变差为 . (7.9)光滑闭曲线，分段光滑曲线，简单闭曲线，旋转指标定理7.2 (旋转指标定理) 若是平面上一条连续可微的简单闭曲线，则它的旋转指标为. 若是分段光滑的简单闭曲线，指标定理仍然成立. 但(7.9)右端

39、要加上在各角点的外角和. 即若是曲线的角点(不光滑点)，则， (7.11)其中 . (7.12)课外作业：习题1(2, 4, 6)，3，5目 录 TOC o 1-3 f h z u HYPERLINK l _Toc226814112 第三章 曲面的第一基本形式 PAGEREF _Toc226814112 h 27 HYPERLINK l _Toc226814113 3.1 正则参数曲面 PAGEREF _Toc226814113 h 27 HYPERLINK l _Toc226814114 一、参数曲面 PAGEREF _Toc226814114 h 27 HYPERLINK l _Toc22

40、6814115 二、参数变换 PAGEREF _Toc226814115 h 28 HYPERLINK l _Toc226814116 三、正则曲面 PAGEREF _Toc226814116 h 29 HYPERLINK l _Toc226814117 四、正则曲面的例子 PAGEREF _Toc226814117 h 30 HYPERLINK l _Toc226814118 3.2 切平面和法线 PAGEREF _Toc226814118 h 33 HYPERLINK l _Toc226814119 一、曲面的切空间，切平面和法线 PAGEREF _Toc226814119 h 33 HY

41、PERLINK l _Toc226814120 二、连续可微函数的等值面 PAGEREF _Toc226814120 h 34 HYPERLINK l _Toc226814121 三、微分的几何意义 PAGEREF _Toc226814121 h 35 HYPERLINK l _Toc226814122 3.3 第一基本形式 PAGEREF _Toc226814122 h 35 HYPERLINK l _Toc226814123 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 PAGEREF _Toc226814123 h 38 HYPERLINK l _Toc226814124 3.5 保长对应和保角

42、对应 PAGEREF _Toc226814124 h 40 HYPERLINK l _Toc226814125 一、曲面到曲面的连续可微映射 PAGEREF _Toc226814125 h 40 HYPERLINK l _Toc226814126 二、切映射 PAGEREF _Toc226814126 h 40 HYPERLINK l _Toc226814127 三、保长对应(等距对应) PAGEREF _Toc226814127 h 42 HYPERLINK l _Toc226814128 四、保角对应(共形对应) PAGEREF _Toc226814128 h 44 HYPERLINK l

43、 _Toc226814129 3.6 可展曲面 PAGEREF _Toc226814129 h 45第三章 曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时. 难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应 3.1 正则参数曲面一、参数曲面从平面的一个区域(region，即连通开集)到中的一个连续映射的象集称为中的一个参数曲面(parameterized surface). 在中取定正交标架，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面可以通过参数(parameter)表示成参数方程 ， (

44、1.1)或写成向量参数方程，. (1.2)为了使用微积分工具，本书中要求向量函数都是3次以上连续可微的. 图3.1-曲线：让固定，变化，向量的终点描出的轨迹. -曲线，参数曲线网. 直观上，参数曲面就是将平面中的区域经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间中的结果. 曲纹坐标，即.一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点与该点的参数之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件. 定义 设为中的参数曲面. 如果在点，两条参数曲线的切向量 ， (1.3)线性无关，即，则称或是的正则点(regular point). 如果上每一点都是正则点，则

45、称是正则参数曲面.以下总假定是正则曲面. 在正则曲面上每一点，由于， (1.4)通过重新选取正交标架，不妨设.根据反函数定理，存在的邻域，使得有连续可微的反函数，即有.此时有的邻域和同胚映射. 从而有连续映射. 于是在的邻域内可用参数方程表示为， (*) 或表示为一个二元函数的图像，其中. (1.5)上式称为曲面片的Monge形式，或称为的显式方程. 从(*)式可见是一一对应，从而也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面与其定义域之间总是一一对应的，从而参数可以作为曲面上点的曲纹坐标. 反之，由显式方程表示的曲面总是正则的：如果 ， (1.6)

46、则，从而.二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面，规定所指的一侧为的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换 (1.8)满足：(1) 是的3次以上连续可微函数；(2) 处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当时，称为保持定向(preserve the orientation)的参数变换. 根据复合函数的求导法则，在新的参数下， .因此 . (1.10)上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持

47、不变. 三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面. 将与等同，赋予普通的度量拓扑，即以的标准度量确定的拓扑.定义1.1 设是的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点，存在在中的一个邻域(，其中是在中的邻域)，和中的一个区域，以及同胚 ，使得是中一个正则参数曲面，则称是中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域和同胚的逆映射合在一起，将称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart). 注 的拓扑是作为的子集从诱导的相

48、对拓扑，即作为的拓扑子空间的拓扑. 如果两个局部参数化，满足，那么正则参数曲面就有两个参数表示和. 由此自然产生了参数变换.利用正则参数曲面的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的. 直观上看，正则曲面是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化(为指标集)，使得构成的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable). 除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.四、正则曲面的例子

49、图3.2例1.1 圆柱面(cylinder) ，. (1.15)其中.当时，圆柱面上少了一条直线.如果取，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线. 显然是任意阶连续可微的. 又，.所以圆柱面是正则曲面. 圆柱面也可以用一个坐标卡表示：，.所以圆柱面是可定向的. 图3.3例1.2 球面(sphere) ，参数方程为，. (1.16)其中. 由于，所以球面是正则曲面.问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)图3.4例1.3 旋转面(revolution surface) 设是平面上一条曲线，其中. 将绕轴旋转得到的旋转面参数方程为 ，. (1.18)旋转面上的u-曲线称为纬线圆

50、，v-曲线称为经线. 因为，所以当是正则曲线，并且时，是正则曲面. 例1.4 正螺面(hericoid) 设两条直线和垂直相交. 将直线一方面绕作匀速转动，同时沿作匀速滑动，的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线为x轴，为z轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为，. (1.19)由，可知正螺面是正则曲面. 例1.5 直纹面(ruled surface) 简单来说，直纹面就是由单参数直线族构成的曲面. 设 ()是一条空间正则曲线. 在上对应于参数的每一点有一条直线，其方向向量为. 这条直线的参数方程可以写成.让在区间内变动，所有这些直线就拼成一个曲面，称为直纹面. 它的参数方

51、程为，. (1.20)曲线称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面的-曲线. 为了保证直纹面的正则性，要求. (1.21)因为直母线的方向向量，通过参数变换，可设. 再通过选取新的准线，其中是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即. 因为，只须取即可.1. 当为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面称为柱面(cylindrical surface). 2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面称为锥面(cone). 3. 当时，称为切线曲面(tangent surface)，由准线

52、的所有切线构成. 这3种直纹面有共同的特征，在3.6还要进一步讨论. 课外作业：习题2，5 3.2 切平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设是中一个正则曲面，是曲面上点的曲纹坐标. 设是上任意一个固定点. 则上过点的一条可微(参数)曲线可以表示为， (2.2)其中 (2.1)是中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足，. 因此，正是点的位置向量. 曲线在点的切向量为. (2.3)图3.1定义2.1 曲面上过点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面在点的一个切向量(tangent vector). 命题 曲面在点的切向量全体记为，它是一个2维实向量空间，是的一个基. 事实上，称为曲面在

53、点的切空间(tangent space). 证明 记. 由(2.3)可见. 反之，对任意，令. 则是过的可微曲线，并且.所以. 因此，从而.显然按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于线性无关，它们构成的基. 在空间中，经过点，以两个不共线向量为方向向量的平面称为曲面在点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为，. (2.6)它的单位法向量(unit normal vector)为 . (2.7)经过点且垂直于在点的切平面的直线称为曲面在点的法线(normal line). 它的参数方程为，. (2.8)曲面在点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概

54、念. (为什么？)曲面上的自然标架：. 图3.6二、连续可微函数的等值面设是一个区域，是定义在上的连续可微函数. 对于一个常数，集合称为函数的等值面. 如果在的每一点，都有， (2.9)则等值面是一个正则曲面. 事实上，设在，有，则方程 (2.10)在点的邻近确定了一个隐函数，使得，. 于是等值面局部地可以用参数方程表示为 . (2.11)由于，等值面是正则曲面. 在等值面上每一点，梯度向量是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底. 由(2.10)两边分别对求偏导数并注意，得，即有，.三、微分的几何意义设曲面的参数方程为. 微分得到 . (2.13)将看作4

55、个独立的变量，则对于(2.13)中的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求不能全为0. 变量是切向量关于切空间的基底的分量，因此是向量空间上的线性函数，即(对偶空间). 事实上，按照定义.同理，. 注. 由于切空间的自然基底一般不是单位正交的，在把看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底的度量系数(参看下一节). 课外作业：习题1，3，5. 3.3 第一基本形式设是中一个正则参数曲面. 则 (3.1)是曲面上任意一点处的切向量，这个向量作为中的向量可以计算它的长度. 令， ，. (3.2

56、)这三个函数称为曲面的第一类基本量. 而矩阵 (3.3)称为切空间(关于基底)的度量矩阵(metric matrix). 由于的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均：，. (Lagrange 恒等式)利用第一类基本量的定义，有.这是一个关于变量的二次型，称为曲面的第一基本形式(first fundamental form)，记为 . (3.4)对曲面作可允许的参数变换 ， (3.5)并记. 则由微分形式的不变性得. (*)记参数变换(3.5)的Jacobi矩阵为. (3.10)则有， (3.7, 3.9). (3.8)因此在新的参数下，度量矩阵成为， (3.12)从而

57、第一类基本量之间的关系为 (3.13)在新的参数下，第一基本形式保持不变：. 因此第一基本形式与参数选择无关，也与的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：. 如果和是处的两个切向量，则它们的内积为 . (3.15)因此切向量的长度为 . (3.16)两个切向量和之间的夹角满足. (3.17)它们相互正交的充分必要条件是 . (3.18)定理3.1 在参数曲面上，参数曲线网是正交曲线网. 对于参数曲面上的一条曲线，它的弧长为. (3.21)定义 称为曲面, 的面积元素，称 (3.18)为曲面的面积. 命题 曲面上曲线的弧长，曲面的面积元素以及曲

58、面的面积都是几何量. 证明 假设参数变换为，其中.则在新参数下，的参数方程与原参数方程之间满足.1. 曲线的参数方程由变成了.所以.2. 由(3.12)可见，在新参数下，第一类基本量满足.其中是的逆映射的Jacobi行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，.所以在新参数下的面积元素.3. 根据二重积分的变量代换公式，有. 例1 求旋转面的第一基本形式. 解 ，. 所以，.这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为. (3.24)这说明在旋转面上经线(v-曲线)和纬线(u-曲线)构成正交参数曲线网. 例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程.解 设正则参数曲面的第

59、一基本形式是.再设二等分角轨线的切向量为.由题意，它与u-曲线的夹角要等于它与v-曲线的夹角，而u-曲线的切方向为，v-曲线的切方向为，所以.将和代入上式，得，即.由于，即，所以上式可化简为， (3.25)或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为. 注 求解一阶常微分方程初值问题，()得到的解是曲面上过点的一条曲线，在的每一点，切方向与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等. 固定，让初始条件变动，就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线. 课外作业：习题2，5，8 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：. 问题：曲面上是否存在正交参数

60、曲线网？引理 设是定义在区域上的连续可微的1次微分形式，且处处不为零. 则对于任意一点，在的某个邻域内存在积分因子，即有定义在上的非零连续可微函数，使得是某个定义在上的连续可微函数的全微分：. 引理的证明见附录1定理1.2. 定理4.1 假定在曲面上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场, . 则对每一点，必有点的一个邻域，使得在上存在新的参数，满足，. 分析：设，. (4.2)则由线性无关可知. (4.3)如果这样的可允许参数变换存在，则应有函数使得， (4.5)即有. (4.7)在上述等式两边取逆矩阵得. (4.8)因此逆参数变换应满足 (4.9)定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式，