太原市初中数学奥林匹克中的几何问题：第1章梅涅劳斯定理及应用

1、第一章涅劳斯定理及应用【基础知识】梅涅劳斯定理 设，分别是的三边，或其延长线上的点，若，三点共线，则证明 如图，过作直线交的延长线于，则，故注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法正弦定理证法 设，在中，有，同理，此三式相乘即证面积证法 由，此三式相乘即证梅涅劳斯定理的逆定理 设，分别是的三边，或其延长线上的点，若，则，三点共线证明 设直线交于，则由梅涅劳斯定理，得到由题设，有，即有又由合比定理，知，故有，从而与重合，即，三点共线有时，也把上述两个定理合写为：设，分别是的三边，所在直线（包括三边的延长线）上的点，则，三点共线的充要条件是上述与式是针对而言的，如图（整个图中有4个三角形），

2、对于、也有下述形式的充要条件：；第一角元形式的梅涅劳斯定理 设，分别是的三边，所在直线（包括三边的延长线）上的点，则，共线的充分必要条件是证明 如图，可得同理，以上三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立第二角元形式的梅涅劳斯定理 设，分别是的三边，所在直线上的点，点不在三边所在直线上，则，三点共线的充要条件是证明 如图，由，有同理，于是故由梅涅劳斯定理知，共线从而定理获证注 （1）对于、式也有类似式（整个图中有4个三角形）的结论（2）于在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则、式中的右端均为，、式中的角也可以按或式中的对应线段记忆特别要注意的是三边所在直线上的点为一点或者三点在边的

3、延长线上【典型例题与基本方法】1恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键例1 如图，在四边形中，的面积比是341，点，分别在，上，满足，并且，共线求证：与分别是和的中点（1983年全国高中联赛题）证明 设（），交于，又因，三点共线，可视为的截线，故由梅涅劳斯定理，得，即化简整理，得 ，解得，（舍去）故与分别是和的中点例2 如图1-5，在四边形中，对角线平分，在上取一点，与相交于，延长交于求证：（1999年全国高中联赛题）证明 记，直线与相截，由梅涅劳斯定理，有故 即 ，亦即 ，且只可能为0，故 例3 设、分别为四边形的边、上的点，与交于点若，则证明 如图1-6，只需证得

4、当关于的等角线交于时，、共线即可事实上，、分别为三边所在直线上的三点，且不在其三边所在直线上又，由第二角元形式的梅涅劳斯定理，有故、三点共线注 当平分时，即为1999年全国高中联赛题2梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法例2另证 如图1-5，设，关于的对称点分别为，易知，三点共线，连，只须证明，三点共线设，则对，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，三点共线故注 在图1-5中，*式也可为，若在的延长上，则*式为例4 如图1-7，与和的三边所在的3条直线都相切，为切点，直线与交于点求证：（1996年全国高中联赛题）证法1 过作于，延长交直线于点对及截线应用梅涅劳斯定理，

5、有由，有显然，三点共线，连，则由，有，从而 ，即又，则对，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，三点共线，即为直线与的交点故点与点重合，从而证法2 延长交于，直线与的三边延长线都相交，直线与的三边延长线都相交，分别应用（迭用）梅涅劳斯定理，有，上述两式相除，则有而，于是，即连，而，共线，则，且，从而，于是故，即【解题思维策略分析】梅涅劳斯定理是三角形几何学中的一颗明珠，它蕴含着深刻的数学美，因而它在求解某些平面几何问题，特别是某些平面几何竞赛题中有着重要的应用1寻求线段倍分的一座桥梁例5 已知的重心为，是边的中点，过作边的平行线交边于，交边于，且与交于点，与交于点证明：（1991年第3届亚太地区竞赛题

6、）证明 如图1-8，延长交于，则为的中点由，知，而对及截线，应用梅涅劳斯定理，有，故从而，且同理，且由此可知，与的两边分别平行且方向相反，从而，且，故例6 是一个等腰三角形，是的中点；是的延长线上的一点，使得；是线段上不同于和的任意一点，在直线上，在直线上，使得，是不同的和共线的，求证：（）若，则；（）若，则（1994年第35届试题）证明 （1）如图1-9，连，由，易证，四点共圆，四点共圆则 ，因此故（）由，对及截线运用梅涅劳斯定理，有，即于是可证，得，故例7 在凸四边形的边和上取点和，使线段和把对角线三等分，已知，求证：是平行四边形（1990年第16届全俄竞赛题）证明 如图1-10，设，分别

7、交于，两对角线交于要证是平行四边形，若证得（或），且即可由，（等底等高），知，而，故有，从而有对及截线，及截线，分别应用梅涅劳斯定理，有，由，两式相除得而，故，即有此时，又有又由，知，于是式可写为，即有，亦即故为平行四边形2导出线段比例式的重要途径例8 在中，为边上的中线，为的平分线，且交于，为上的点，使证明（1997年第58届莫斯科竞赛题）证明 如图1-11，延长交于，只须证由平分，有由，有注意到，对及截线运用梅涅劳斯定理，得故，由合比定理，有，即为 由，式有，故例9 给定锐角，在边上取点，（位于与之间），在边上取点，（位于与之间），在边上取点，（位于与之间），使得 ，直线，与可构成一个三角

8、形，直线，与可构成另一个三角形证明：这两个三角形的六个顶点共圆（1995年第36届1MO预选题）证明 如图1-12，设题中所述两个三角形分别为与由已知条件，有，得 ，此三式相乘得对及截线，及截线，分别应用梅涅劳斯定理，得， ，三式相乘化简，得故同理，故从而点在的外接圆上同理，可证得，也在的外接圆上证毕例10 如图1-13，以的底边为直径作半圆，分别与边，交于点和，分别过点，作的垂线，垂足依次为，线段和交于点求证：（-37中国国家队选拔赛题）证法1 设直线与交于，连，则知，直线与相截，直线与相截，迭用梅涅劳斯定理，有，两式相除，得 在与中，有，即将其代入式，得又由，有 将其代入式，得 ，从而，而

9、，则，故证法2 作高，连，则，于是， ， 又， ，即，故对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，三点共线由，知例11 如图1-14，设点，分别为锐角的内心和垂心，点，分别为边，的中点已知射线交边于点（），射线交的延长线于点，与相交于，为的外心试证：，三点共线的充分必要条件是和的面积相等（-2003试题）分析 首先证，三点共线设为的外心，连，则又，因此，四点共圆在的外接圆上与重合，三点共线其次，再证并在三角函数式中，用、分别表示三内角证法1 设的外接圆半径为，的延长线交于，对及截线，应用梅涅劳斯定理，有 注意到 ，则 而 ，由式，有从而 又对及截线，应用梅涅劳斯定理，有注意到，有，即从而 由，注意，且为

10、锐角证法2 如图1-14，设直线交于，直线交的延长线于对及截线，应用梅涅劳斯定理，有又由及角平分线性质，即有令，则由式，有，即而，则又，（由题设知）从而 对及截线，应用梅涅劳斯定理，有将式代入上式，得， 同理 由，注意， 注 例11还有其他证法，可参见笔者另文关于2003年中国数学奥林匹克第一题（中等数学2003年第6期）例12 如图1-15，凸四边形的一组对边与的延长线交于，且，过作截线交另一组对边所在直线于，交对角线所在直线于，求工业化：证法1 如图1-15，对及直线由梅涅劳斯定理得对及直线由梅涅劳斯定理得对及直线由梅涅劳斯定理得由得，所以，所以，故证法2 设与的延长线相交于和均被直线所截

11、，迭用梅涅劳斯定理，有，由，得注意到 （直线上的托勒密定理），则式变为 又由截和截，迭用梅涅劳斯定理，有，将此结果代入式整理，即得欲证结论注 当，式显然成立，故仍有结论成立此题是二次曲线蝴蝶定理的推论3论证点共直线的重要方法例13 如图1-16，的内切圆分别切三边，于点，点是的一个内点，的内切圆也在点处与边相切，并与，分别相切于点，证明：是圆内接四边形（1995年第36届预选题）证明 由切线长定理，知，设的延长线与的延长线交于，对及截线，应用梅涅劳斯定理，有对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，三点共线，故由切割线定理有，以而，即是圆内接四边形例14 如图1-17，中，内的旁切圆切的两边于和，直线与

12、交于；类似地定义，和，求证：，三点共线证明 由切线长定理，知，对与直线，分别应用梅涅劳斯定理，有，上述三式相乘，有设切于，切于，则由，可得同理又由两内公切线长相等，即，故同理，从而 ，故对用梅涅劳斯的逆定理，知，三点共直线例15 如图1-18，设的三边，所在的直线上的点，共线，并且直线，关于，平分线的对称直线，分别与，所在直线交于，则，也共线证明 对及截线应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有由题设知，从而有，即故由第一角元形式的梅涅劳斯定理，知，共线例16 在筝形中，过上的一点作一条直线分别交、于、，再过点作一条直线分别交、于、设与分别与交于、，求证：证明 如图1-19，过作的平行线交直线于，再

13、过作的平行线交直线于，则，进而所以 又、分别为三边所在直线上的点，且点不在三边所在的直线上由第二角元形式的梅涅劳斯定理的逆定理知、共线于是，由，有因此，故注 当，为中点时，即为1989年12月冬令营选拔赛试题例17 如图1-20，四边形内接于圆，其边，的延长线交于点，和的延长线交于点，过作该圆的两条切线，切点分别为，求证：，三点共线（1997年试题）证明 设圆心为，连交于，连，则由切割线定理和射影定理，有，从而，四点共圆，即有，亦即为的内角的外角平分线又，则平分设分别交，于，于是同理，于是，所以，直线与的三边延长线相交，由梅涅劳斯定理，有对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，三点共线所以，三点共线注

14、 此例的其他证法，可参见第二章例9，第九章例15等例18 已知的内切圆分别切、于点、，线段、分别与该内切圆交于点、，若直线与交于圆外一点证明、三点共线（2011年香港奥林匹克题）证明 如图1-21，由切线长定理有对及截线应用梅涅劳斯定理，有，即有 设与交于点，由，有，又对及所在边上的点、，有于是，由梅涅劳斯定理的逆定理，知、三点共线4注意与其他著名定理配合运用例19 在中，已知，是处接圆的圆心，直线、分别切于点、，与直线、与直线分别交于点、，与交于点，与直线交于点，又设是直线上的点，且使得，（不同于点）是与的交点，是与的交点，令与直线交于点证明：（2005年韩国奥林匹克题）证明 如图1-22，

15、设的延长线与（过点）的切线交于点由帕斯卡定理知、三点共线，从而点与重合由切割线窄弹知 ，所以，设与交于点，对及截线，截线分别应用梅涅劳斯定理，有，注意相交弦定理，有由、，得 例20 在梯形中，已知、分别为上、下底，为腰上一点，与交于点，为边上一点，满足，与交于点，与交于点证明：、三线共点（2011年乌克兰奥林匹克题）证明 如图1-23，设直线与、与分别交于点、先证、三点共线由，知，有上述三式相乘，有对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知、三点共线考虑和，注意到直线与，与、与分别交于点、，于是由戴沙格定理，知、三线共点【模拟实战】习题A1在中，点在上，分别在，上，交于点，求2在中，分别是，的中点，与相交

16、于，与相交于，求3是内一点，引线段，和，使在上，在上，在上已知，求的面积（第7届题）4设凸四边形的对角线和交于点，过作的平行线分别交，于点，交的延长线于点，是以为圆心，以为半径的圆上一点，求证：（1996年全国初中联赛题）5已知，分别是的边，上的点，且，连交边的延长线于点，求6设为等腰（）的直角边的中点，在上，且，求证：7在中，点和顺次三等分，点和顺次三等分，与，分别交于点，求四边形与的面积之比8，分别为四边形的四条边，上的点，若，三直线共点，则，三直线共点或平行9设，分别是的边，和延长线上的点，又，和分别是外接圆的切线证明：，三点共线（1989年新加坡竞赛题）10求证：三角形两角的平分线与第

17、三角的外角平分线各与对边所在直线的交点共线11已知直径为的圆和圆上一点，设，和分别是这个圆在，处的切线设是直线与的交点，是直线与的交点，证明：，三直线共点（第6届加拿大竞赛题）12是中任一点，过作的平行线分别交，于，又过作的平行线，分别交，于，求证：，三线共点13在中，为中线，为角平分线，为上的点，使证明：（第58届莫斯科奥林匹克题）14直线交直线，分别于，点与是线段两侧的直线上两点，且过的直线交于，交于；过的直线交于，交于连结和，交直线分别于，求证：15设四边形外切于一圆，分别是，边上的切点，若直线与相交于点，则，三点共线16设为的内点，过点的直线，分别垂直于，若交于，交于，交于，证明：，共

18、线（-28预选题）17已知的与它的内切圆相切于点证明：该圆的圆心在与的两个中点，的连线上18已知凸四边形内接于，对角线，相交于点，过分别作直线，的垂线，垂足分别是，求证：，三直线共点或互相平行19设为圆外切四边形，又，与该圆的切点为，求证：，共点习题B1是内一点，分别过，且分别与，交于点，且分别与，交于点，求证：，三线共点2在中，为锐角，从上任一点作于，于，点是的垂心，求当点在线段上移动时，点的轨迹（-7试题）3在正的边，上有内分点，将边分成3，线段，相交所成的（交于，交于）是的面积的时，求的值（1992年日本奥林匹克预选题）4在中，点在上，点在上，的延长线交于若，则5已知点，在（）的边上，交于，又与的延长线交于，交于，又与的延长线交于求证：（数学通报问题1353题）6圆外切四边形中，边上的切点分别为，与的延长线交于点，与延长线相交于点求证：（），四线共点；（），四线共点；（），四线共点（假定）7若凸四边形的对角线与互相垂直，且相交于，过点分别作边，的垂线，垂足依次为，并分别交，边于，再顺次连接，则；（-22试题的推广）