单自由度振动分析

1、结构动力学三级项目班级：冶金五班小组成员：邱林凯李海洋张富张富增指导老师：王健2017年4月18日第第 页共18页单自由度系统的振动单自由度振动系统数学模型的建立建立和分析有粘性阻尼时的自由度振动微分方程。以静平衡位置为原点建立如图坐标，由牛顿定律得运动方程为13：/TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document mx+cx+kx=0(2-1)令ck2n=,w2=mnm其中n称为衰减系数，单位为1S；w是相应的无阻尼时的固有频率,n式(2-1)可以写为： HYPERLINK l bookmark14 o Current Docume

2、nt X+2nx+w2x=0(2-2)n如果进一步令nG=-n其中无量纲的g称为相对阻尼系数，则式（2-2）可写为:X+2如x+w2x二0nn为了求解，令x=est代入（2-4）后得到特征方程：s2+2如s+W2二0nn他的两个特征根为：s=一土七g2一11,2nn根据相对阻尼系数g的不同大小，可以将阻尼分为三种状态:g1时为过阻尼，g二1时为临界阻尼，0g1，s与s是两个不等的负实根，令12*Jg2一1n（2-9）初始条件x(0)=x,x(0)=x00（2-10）系统初始条件响应为x（t）=e-gn（xch*t+凡sh*t）（2-11）0*临界阻尼状态g=1,s=-3是二重根，方程（2-4）

3、的通解为系统对式（2-10）的初始条件的响n应为x(t)二e-nx+(x+wx)t(2-12)TOC o 1-5 h z00n0欠阻尼状态G1，其中V1-g2(2-13)dn初始条件响应/、/X+WX.、/CT八x(t)=e-湘(xcost+on-osmt)(2-14)0d(0dd参数设定与求解阻尼比g分别取；应用Matlab对式(2-11)和(2-12),(2-14)求解。程序如下：clear,formatcompact;a=0.5;t=0:0.1:18;w0=1;k=1;x0=1;wd=w0.*sqrt(1-a*a);x1=wdy=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cos(wd.*t

4、)+(x1+a*wd*x0)./wd)*sin(wd.*t)figure(1),plot(t,y,r);holdona=1.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=1;x1=wd;y=exp(-wd.*t).*(x0+(x1+wd*x0).*t);figure(1),plot(t,y,d);holdona=2.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=w0*sqrt(a*a-1);y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cosh(wd.*t)+(x1+a*w0*x0)/w0.*sinh(t);figure(l),plot(t,y,v);holdon结论：图2-2为Matlab计算后给出的

5、响应曲线，从中可以得到一些重要的结论：在01时，振荡系统等同于两个一阶系统串联。此时虽然不产生振荡，但也需要经过较长时间才能达到稳态。在一定的q之下，欠阻尼系统能够更快地达到稳态值；而过阻尼系统反应迟饨，动作缓慢，所以系统通常设计成欠阻尼系统，q取值为20.80.60.4-0.218t(S)4110.80.60.4-0.218t(S)4111iI0K,1a=2.01111111s.4a=0.50.2图2-2算例绘制无阻尼单自由度系统的固有频率和周期随静变形的变化曲线。固有频率和周期Tnnrst取g=9.81m/s2。可以利用下列MATLAB程序画出8在00.5范围内stn和T的变换曲线：n%E

6、x2_17.mg=9.81;fori=1:101t(i)=0.01+(0.5-0.01)*(i-1)/100;w(i)=(g/t(i)人0.5;tao(i)=2*pi*(t(i)/g)A0.5;endplot(t,w);gtext(w_n);holdon;plot(t,tao);gtext(T_n);xlabel(delta_s_t);title(Example2.1);单自由度系统的强迫振动(2-15)简谐激励是激励形式中最简单的一种，虽然它在实际中存在的场合比较少但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般形式激励的响应基础。图所示的弹簧质量系统中，质量块上作用有简谐激

7、振力(2-15)P(t)=P0sintmxk-nmxk-nc其中P为激振力幅，o为激振频率。以静平衡位置为坐标原点建立0(2-16)图示的坐标系。从图的受力分析，得到运动微分方程为:(2-16)mx+cx+kx=psinot由常微分方程理论知道，方程(3.2)的通解x由相应的齐次方程的通解x和非齐次方程的任意特解x两部分组成，即hp(2-17)x(t)二x(t)+x(t)(2-17)hp当欠阻尼时，式中x(t)为有阻尼自由振动，它的特点是振动频率h为阻尼固有频率，振幅按指数规律衰减，称为瞬态振动或瞬态响应;x(t)是一种持续的等幅振动，它是由于简谐激励振力的持续作用而产p生的，称之为稳态强迫振

8、动或稳态振动，在间隔充分长时间考虑的振动就是这种稳态振动，而在刚受到外界激励时，系统的响应则是上述两种振动之和。可见，系统受简谐激励后的响应可以分为两个阶段,开始的过程称为过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失这时进入过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失，这是进入稳态阶段。将方程（2-15）的两端同除以质量m，并且令二22（2-18）mn其中G为相对阻尼系数，为相应的无阻尼系统的固有频率，则n方程（2-15）成为X+2wx+w2x=-Posint（2-19）nnm上述方程特解可以通过x=Bsint-Q）或者x=Acost+Bsint来求得，这里介绍用复数方法求式（2-19）的特解。先将式（2

9、-19）写为下列的复数形式x+2grnx+2x二0e（2-20）nnm(2-21)其中x(2-21)x二Be；其中B称为复振幅，其意义是包含有相位的振幅。将式（2-21）代入（2-20），解得(2-22)-P(2-22)B=rm22+i2gnn记X为频率比，它定义为(2-23)则式（2-22）可以写成(2-24)B=P(2-24)k1九2+九k(12)2+(2X)2式中B二旦=（2-25）k丫（1兀）2+（2X）2tg-1芋（2-26）1X2将式（2-24）代入（2-21）,得到复数形式的特解为(2-27)x=Bei（-申(2-27)比较方程（2-17）与（2-18）,可知（2-19）中的位移

10、x是（2-20）中复数x的虚部，因此（2-25）的虚部就是方程（2-12）的特解，即有(2-28)x=Bsin(t一甲(2-28)其中B为振幅，申为相位差。由式（2-26）、2-23）及（2-24）得出稳态强迫振动有如下的基本特点：1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激励频率而相位滞后与激振力的简谐振动；2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质和激振的频率及力幅，而与系统本身进入运动的方式无关。无阻尼系统对简谐激励的稳态响应可以从式（2-26）得出。当时，得到X1,屮=兀，这时nP1x=0sin（t-兀）（2-23）kX21式（2-21）也可以写成（2-22）的形式，这时相

11、位差反映在振幅的符号中。上述结果也可以由直接设x=Bsinot并代入下列方程而得到:mx+kx=Psin&t(2-24)0为了具体讨论影响稳定响应的振幅和相位差的各种因素，记PB=(2-25)0kB实际是质量块在激振力幅静作用下的最大位移。再引入无量纲的振幅放大因子0，它定义为P=1(2-26)B0W-S+0)2由式(2-26)和(2-19)可以分别画出以相对阻尼系数G为参数的曲线一一0-九曲线与*-九曲线，前者称为幅频响应曲线，后者称为相频响应曲线如图所示程序如下forkesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0lamda=0:0.01:5.0;beta=

12、1./(sqrt(1-lamda.人2).人2+(2*kesai*lamda).人2);plot(lamda,beta)holdonendaxis(0503);偏心质量引起的强迫振动振幅放大因子(2-27)MB_(2-27)me.(I九2)2+(2詼)2程序如下:forkesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50lamda=0:0.01:5.0;beta=lamda./(sqrt(1-lamda.人2).人2+(2*kesai*lamda).人2);plot(lamda,beta)holdonendaxis(0503);支撑运动引起的强迫振动振幅放大因子(2-28)

13、B_：1+(2-28)_a一：(1-2)2+(2gX)2程序如下：forkesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0lamda=0:0.01:5.0;beta=sqrt(1+(2*kesai*lamda).人2)./(1-lamda.人2).人2+(2*kesai*lamda).人2);plot(lamda,beta)holdonendaxis(0503);子因大放幅振5055子因大放幅振5055154算例利用MATLAB,绘制弹簧-质量系统在简谐力作用下的响应曲线。已知数据如下：m二5kg,k二2000N/m,F(t)二100cos30tN,x二0.1m,

14、X二0.1m/s。00系统全解形式如下：x(t)=ssint+(x-0)cost+0costn022n22nnn式中，F100F1000=m5=20rad/s,=30rad/s利用MATLAB绘制解曲线上式的程序如下：%Ex3_ll.mF0=100;wn=20;m=5;w=30;x0=0.1;x0_dot=0.1;f_O=FO/m;fori=1:101t(i)=2*(i-1)/100;x(i)=x0_dot*sin(wn*t(i)/wn+(x0-f_0/(wnA2-wA2)*cos(wn*t(i)+f_0/(wnA2-wA2)*cos(w*t(i);endplot(t,x);xlabel(t);ylabel(x(t);title(Ex3.11)Ex3.11小结基于MATLAB对单自由度自由振动绘制振动图像，进行粘性阻尼，强迫振动振幅放大因子绘图进行数据分析，使振动数据更加明显。总结与心得经过多天的工作，我们四人小组终于完成了这个项目。期间经历了很多，首先在确定题目时就产生了分歧，但我们静下心来，通力合作，激烈讨论，以解决问题。选择了单自由度这个题目，虽然简单，但却代表了结构动力学对大体内