一个线性代数证明题

1、为nxm 实矩阵，如何证明A.而和加. A的非零特征值相同？证明方法1（侯鑫）:同理可证AA的特征值也是AA的特征值证明方法2 （sugar）:From the SVD A = UEV;, we see thatA A = UDUJ . Dj = XX7 = Diag（abj 0,0）m p 2erosA A = VDV. D? = XX = Diag（b.匕二）n p zeros所以，由于U和V是酉矩阵，所以a 2 ,a 2是AAr的特征值，也是而A的特征值。 1p注意如果A是方阵那么A的奇异值气，. a不一定是A的特征值。如果A可对角化但是不是 也不一定是A的特征值（可以用matlab试验

2、下）。只有当A可正交对角化时，A的奇异值气， a才 为矩阵的奇异值均定义为正值）。I 定理5.4设Ae：；mXfl的秩mnk A = rf则存在m阶酉知阵P和丹 阶酉矩阵U,使A二四，其中&= ： :,5 =击明（队/八）/i 33尹0本截图来自熊洪允应用数学基础5.3节矩阵的奇异值分解。证明（I）构造。.因为A是mx/i矩阵，所以AhA是h阶正定或半正定的 矩阵.又因为rank（#）=runk A = r，所以AUA有、个正特征值，不 妨设为m礼0,而Ah4l =- =0是AhA的昕-r个零特征值必设心，码分别是妃顶的对应于特征值“，力的标准正交 特征向量，于是1/ = ut 虬是阶酉矩阵.

3、若记t/r = 码.1,% = 3小 叫,则v = u.构造乩 只需证Ax 5与AhAx0同解（从而解宇间雄教相同iHQms显然,Ax = 0的解都.是4Ac 0的解反之若jt墨一矽心=。的任-解.则,Ax, Ax r： 次= 0,即/U =9.所以x也是4r =。的解.liWai的=/相,g = yOl |S = diagtg!必,g .则 S 可逆，且叫WA W =r.JF=妙XAh4(一.Al,AurrII+ml【Li AfMr 矿站虬应次AruJ ur-7 ? 2 T，r lrU?Wr= diagCAj tAJ? -3J =他渚，忒)=S3-构造V.作矩阵h“hs. g,并将it按列分

4、块为研=3 r3t 一因为X 比=以5 $T 尸(A0 W)= $ 矿二1145 S1=S s25f = t故列向最狙I，甘，是阈维标准正交向斌组，于是可将其1T充成5 的标准正交基怯.皿h %，。E .令1,=3 叫口小 PH1r vt F打，则V rft阶西翁阵一证明 VS.U=At因为叽L，M.是 g 的时应卜,特征值的特征向最,于是府于i= r +匚r,有 % 仙,=0,宓用数学基咄即 4虬=0.故 AU2 = Aw-i Aun =0. 所以vsouu =k JI 17, %项匕s 01 斜=SlSUl； vAU2UAU l/；1 + uz u?） 7|1= /HM U2 H =/1UUh=A.证毕,1,（/2定义5.4 定理5一4中的A = VS. U1称为矩阵A的奇异值分解, 卜=JX、=/）.称为A的奇异值.由定理3.4的证明过程可知.在4的奇异侦分解建=V5o/h中， = i 、,而，虬分别是泌通的对应于特征值，, An的标准正交特征向febS。可由4的奇异值人=/!,出=/无 构造而