一元线性回归的估计

1、第三章双变量回归的估计我们在第二章已导出PRL和SPL，回归分析的目的是运用样本估计 样本回归直线SRL，使之能最大限度“逼近”于PRL.即对于总体回 归直线-PRL，即Y = E（Y|X ） + u =。+。X + u （3.1）i1 i i 12 i i利用样本形成样本回归直线（SRL），由此而提出的问题是，在什么 假定下，运用何种方法形成SRL，使SRL尽可能逼近PRL（3.1）？ 由于ui是对总体回归直线的偏差，自然地希望基于u来实现这一目的. 由于气的估计u度量了样本点Y到样本回归直线的距离（误差或偏差）, 且成为u.的主部，因此基于总体误差u.就转化于基于样本误差U。如 果直接使Z

2、 u最小，但单个的u可能有正有负，有大有小，从而导致 部分匕较大但其代数和却较小，这样产生的参数估计和对应的样本回 归直线就可能没有最大可能逼近PRL的性质。类似地，可讨论对Z|u| 求最小所产生的问题。为回避这一类问题，通过对Zu2求最小所产 生的参数估计及其SPL，才可能尽可能逼近PRL，由此形成样本回归 直线的估计，即 TOC o 1-5 h z Y = B +B X + u（3.2）i 12 i i这一种方法称为最小二乘法（OLS）。现在，我们有总体回归直线Yi=E（Yi/X=Xi）+ui=p1+p2Xi+ui样本回归直线Y =B +（3 X + u = Y + ui人日（i = 1,

3、2）（为方便，有时亦记作b）为底的估计，匕（为方便，有时亦 记作ei）称为残差,可看作*的估计，Y为E（Yi/X=Xi）的估计，为方便和 出于残差的均值为o, Y即为y.的估计：1 1ii3.1.OLS回归分析的目的是运用样本数据，求出待估参数，为此将残差平方和 表述为待估参的函数并求最小，由此求出参数估计，这一过程为OLS， 实质上是最优化问题，故这一求解问题可表述为 TOC o 1-5 h z min Zu 2 =Z （Y - Y ）2 =Z （Y 6 项 X V=f （P , P ）（3.3）ii i12 i12i =1i=1（3.3）表明，残差平方和为待估参数的函数，因此对其求最小，能

4、 解出这些参数。我们从代数或统计中已学习，求（3.3）即是对其求偏导并令为0，即 TOC o 1-5 h z a ( u 2 )/ap = a(r - 8 - 8 x )2)/ap = 0 i1i12 i1a(u2)/ap =a(r -p -p x )2)/ap = 0 i2i12 i2有(r -P -P X )2)/郎=-2(r -pP -B x ) = -2u = 0i 12 i1i 12 ii2 (r - B - B X )X = -2 u X = 0i 12 i ii i一 一一Q Q4a ( u 2)/ap = a(乙 i1i 1 2 i1a( u 2 )/aB =a(r-p -B

5、x )2)/aB = i2i12 i2由此得到(3.4)-2 (r -B -B X ) = (-2 u ) = 0 n 1 i i r = + B 2 x = 0-2 (r -B -B X )X = (-2 u X ) = 0 n(3.5)v i p 2i i乙rx =px +p 乙x2 = 0, 一 求解有 x r 切(x - X)(r - r) 联立上述两个方程(记X - X = X , Y - Y = y )nxy 二二二、L = 旦= XT iyi (3.6)N X2 ( X )2 (X _ X )2 * 2AAP广 r 一2 X(3.7)对于(3.6)和(3.7)所得到的样本回归直线

6、的参数估计，由此得到OLS 样本回归直线(3.6)中，x,y分别为样本的均值，所以X -X,y -y为对样本均值 的离差，度量第i个观测值X和y对其均值的偏离。上述推导中，N 为样本点个数或样本长度，为方便，以后以小写的表示。将(3.6)代 入(3.4)中,有r=8 +8 X +u =r+ui12 i i i i对于上一章的例子和样本1,运用OLS所得到的SRL如下图，SRL具有性质：参数估计由样本信息所形成；这二个估计称为点估计(稍后将讨论区间估计)，即给定一组样本河 得到相应的参数估计值,它们是对于总体参数(P)的一个点估计，不同 的样本，得到的估计可能不完全相同，不同的样本所得到的估计，

7、均是 对总体的一个点估计；由样本得到参数估计即得到了 SRL,样本回归直线具有性质：（1）. SRL通过样本均值点（X, y ）（由B =Y-B X n Y = B +6又,. .一 . 1 .一 212即样本均值满足样本回归直线，所以通过样本均值点）,如图.Intro to EconometricsRegression basics slide 16图3.1样本回归直线SRF:Y =24 +(0.5 y1) X,_j|ofmeains (X=170Y=111).（2）. y.的均值等于样本均值，即（3.9）?（= Y / n） = Y（= Y / n）ii这一性质是指，回归直线上的点的均值等

8、于样本均值。证明：由 Y = B +B x =(Y-B X)+B x = y+B(X -X) i 12 i22 i2 i故 EY /n = EY/n + (&2(X. - X)/n (X - X) = 0i所以Y = Y 残差的均值治0，即亦=( ui)/n = 0证明：由(3.4)2 (Y -P - B X ) = (-2 U ) = 0 n U = 0i 12 iii利用上述性质1，2, 3, SRL可以表述为离差形式。对于 TOC o 1-5 h z -6 +B X + u nN一涕 +B ZX +Zu ni 12 i ii12 iiY = 6 + B X n Y - Y = B (X

9、- X) + u (3.10)12i2 ii最后一步是将样本点表示(3.2)Y =6 +6 X + u（3.2）i 12 i i减去所得到的Y = 6 +6 X的结果。这样（3.10）即为样本离差形式12 一-即 X - X = x ,Y - Y = y，所以（3.10）为ii ii /一, 人y =6 x + u （3.11）i 2 i i于是，SRL可写为人yi =6 2Xi（3.12） TOC o 1-5 h z （3.12）实际上是将原有含截踞不过原点的直线平移至过以（x , y ）为 原点的直线。（4）残差与预测或估计的Y不相关，这一性质需证明Z u y = 0。 对于相关的概念，我

10、们这里暂不从数学上说明，只是理解不相关的含 义为，两个变量没有线性关系，相关的严格定义在以后给出。我们这里说u与旧不相关，等价于u与y（=（Y -歹）=Y -Y）不相关。这 tr、.i Ii i ii是因为Z u Y =Z u（Y-Y+Y ） = Z u y +Z u y=Z u y i ii ii iii iy, = 6 2 Xj n日 Zyu =ZB xu = 6 Zx(y -B x)证明： .，寸2寸 2 i i 2 i=6 Z x y 一6 2Z x 2) v i i i=B 2 Z x 2 6 2 Z x 2(= 0)2 i 2 i因为(5). u与X不相关，即Z u x = 0，它

11、等价于Z u x = 0 o_Zu X =Zu (X - X + X) = Zu x +Zu X =Zu xi ii ii iii i这一性质由（3.5）给出.3.2. OLS的基本假定以上我们仅得到了估计以及相应的样本回归直线，尽管从估计的角度 看，运用OLS已经能求出参数的估计。但没有对残差的分布和变量 X作出任何假定，因此我们无法对这种估计或SRL作出评价和推断， 而回归分析的目的不仅要求出参数的估计，还需对总体作出推断，即 对于PRL= E(YIX ) + u =P +P Xi1 i i 12 i通过上述OLS方法，得到了 SRL= B +(3 x问题：SRL是否为PRL的一2个无偏估

12、计？如何定义无偏？这一问题 归结为估计量日(i = 1,2)在期望的意义下是否与总体参数p有偏差？ 也就是说，从SRL能否推断PRL的真值？解决这一问题的途径是对 总体的残差作出分布假定，然后讨论估计量的分布性质，基于此讨论 估计量是否有偏等一系列问题。另一方面，从PRL可知，Y依赖于 X和扰动，只有对X和扰动作出相应的假定，才可能对Y和参数作 出统计推断，亦即对模型作出评价。经典线性回归模型(CLRM)或 称为高斯或标准直线回归模型具有10大假设，构成了计量经济学理 论基础。在这10大假设下，SRL具有对总体无偏等性质。这些假定 有下述10条。线性回归模型，即模型对参数而言是线性的。这一假定

13、强调的是 对参数，而不是变量。如Y=P+P2X+uY=p1+p2X1+p3X2+u为线性模型(对参数而言)，但Y=p1+p2X1+p 1 p2X2+u对参数而言就是非直线模型，如果设定这样的非直线模型，则违反了性 线回归模型的假设.在重复抽样中X是固定的，或X是非随机的。这一假定难以理解， 对于表2.1所假定的总体，对于X=80，随机抽取一个家庭，其Y= 70，直至X=260,随机抽取Y=150,在第二次抽样时，仍将X固定在X =80，再次抽取一个样本Y=55，直至X=260,随机抽取Y=175.这种 重复抽样的过程是将X固定在X=80直至X=260.在重复抽样过程中， 将X固定或不变，从这个

14、意义上说，X是非随机的,X固定后，随机 抽取相应的Y。干扰项或随机项的均值为0，即E (u X ) = 0这一假定是对于固定的X，如X=80，指偏离总体条件均值的和为0， 无论个别的偏差有多大(小)，是正还是负，其和为0.回到表2.1，X =80，总体为5户家庭，Y的均值为65，第一个家庭的Y为55，偏 差为一10，第二个为60，偏差为一5，等等，这些偏差相加应为0，也就是说，正和负的偏差相互抵消。图3.3P49所示。 由上述性质2和3,回归分析是建立在条件回归的基础上。随机项的同方差或扰动的方差相同。即var(u |X.) = E(u -E(u )|X.)2 = 2Vz由P50的图3.4所示

15、.图3.2.扰动(以及Y的同方差 与之不同的是异方差，如下图所示.图3.3.扰动(以及Y的异方差 这是因为由假定3即扰动的均值为0，var(u IX ) = E(u - E(u )|X )2 = E(u X )2 i iii ii i=E(Y X ) - E(Y X )2 = var(F |X )=扰动之间无(自)相关。即给定任意的X的两个值，对应的扰动没有自相关。基于相关和协方差的定义，不相关与协方差为0等价。 即 f , 1cov(u ,u X , X ) = Eu - E(u ) X )1(u - E(u ) X i ji i i j J ji i jcov=E(uXi )(uj|Xj)

16、 = 0,Vi, j, i 卫 j其中的记号co；表示协方差。回到例2.1，如 X = 80和X=100两个 不同的水平，与总体均值的偏差不相关。协方差正是针对不同水平之 间而定义的。这一性质所强调的是，所有的与总体均值的偏差(误差) 之间不相关，而不仅仅是对给定某一水平(如X=80 )之下的误差而 言。与之不同的是残差的相关，即残差之间具有某种变化的规则. 对这种相关性，目前只能作直观的解释。我们在分析表2.1所示的总 体中，如果与u正相关，总体函数为Y =p +p X +u，Y不仅依赖 于X，也依赖于；，而u依赖于u。 t 12 t 扰劫与X不相关，或但们之间时协方差为0。E (u iii

17、.-E(X )E(u ) = 0/ E(X )non - schastic11 E (u ) = 0icov(u ,X ) = Eku -E(u )1X. -E(X.)1 =E(u )X即：=E(u X ) - E(X ) E(u )=E(u X )=0这观赢的雾的长E度大摆临宸是一个数。X值要有变异性，即对于一个给定的样本，X的值不能全部相同， 也就是说，X的方差必须是一个有限的正数。反之，若X在一个样 本中取相同的值(无变异性)，方差就为0,无法估计参数。正确设定了模型，或者说，所用的模型不存在设定误差。所谓设定问题，在本书中包括：模型应包括哪些变量，模型的函数形式(如线性还是非线性)，对

18、模型的变量和扰动应有哪些假定等。以后我们还应看到，设(1)(2)(3)定问题还有更多的内容。所谓设定误差即是指，当模型应包括但没有包括某一个变量而引起的 误差;当模型应为线性而将其设定为非线性(或反之)而引起的误差 等.以线性和非线性菲氏曲线为例，菲氏曲线理论所陈述的是，货币工 资变化率(或通胀率)与失业率彼此消长的关系，即yi=P1+P2(i/xi)+ui若将菲氏典线模型设定为Yi=P1+P2Xi+Ui则y.=p1+p2x.+u.具有设定错误，或不当设定.以上的假定就是全部关于经典线性回归(CLR)的假定，这些假定是 对总体作出的假设，不是对样本回归函数的假定。但是，OLS的一些 性质，与上

19、述某些假定类似。如OLS的均值为0与扰动均值为0相 似，即 it /n = u = 0 与 E(wJX.) = 0 U X = 0 与 cov(u X ) = 0但是一个是对样本，另一个是对总体。我们特别说明，这些假定并不 一定全部成立，但在这些假定之下，所得到的回归和SPL，为以后的 分析建立了一个框架，或镜子，违反这些假定的任何一条，将得不到 这些假定之下的估计量的性质。因此，计量经济学正是对这些假定的 逐步取消或在某些假定之下能导出仍然有效的估计或统计推断而不 断将研究的问题深入和逼近现实。10.解释变量之间没有完全的共线关系。回忆线性代数中关于共线的 定义，对于向量X和Z,若存在常数8

20、】和,使得对于81X+52Z=0,有 X=(S 1/5 2)Z，称 X 和 Z 共线.在计量经济模型中，对于模型Y=p1+p2x+p3z+u若X和Z的样本，使得X=(8 1/8 2)Z,即称它们完全共线,我们以后将会 看到，在这种情况下,OLS将无法估计模型.3.3.OLS的精度：标准差我们在前面有关异方差的讨论中已说明，方差越小，与总体的偏离 就越小，对这一问题的正式分析即为标准差。从OLS可知，估计量均为样本数据的函数，如何评价估计量的可信度或精度？工具就是所谓标准差。对于样本回归直线其参数估计为Y =B +(3 Xi 12 i其方差定义为var(p ) = E(P22标准差定义为-E (

21、 P )2 = E ( P -P )2 = E (E (x / x 2)u )2 =b 2/E x 2222ii ii同理，有se(P ) = v var(P ) =b / 飞： x222* i（3.12）var(P )与c 2 n se(P ) 2 与，1一21：乃, x2（3.13）以上的参数估计的方差和标准差都含总体扰动的方差和标准差，而总体扰动一般是不可观测的，即总体方差c 2和标准差c是未知的，故需 要用样本予以估计，我们以下予以推导。从Y = P + P X + u n Y = P + P X + uy = P x + (u u)12 i i12i 2 i iu = y P x y

22、Tu = P x + (u u) P x n u = (P P )x + (u u) n ii2 ii2 ii2 ii22 ii八/OOxz、u = (P P ) x + (u u) yt q2 人 2 i niE Z/2 = ( P P )2 E x2)+ E (u - u )2 E(Eu2) = E(P P )2)E x2) + i-2( P 2 P 2)E x (u u)君_ P )2)E x 2) + E(E (u u)2) 2E【(P P )E 22c 2 +i(n 1)c 2x (u u)2- 2 i i2c 2 = (n 2)c 2若定义E,、 u 2 c2 =L n E(c2)

23、 = c2(3.14)E所以定义c2匕,则它是总体方差的无偏估计。进一步，标准差的 估计即为方差估计开平方。即总体的估计的标准误差为c =工，（3.15）n 2这一估计量所度量的是，样本Y对估计的回归直线的离差的平方的 标准差。注意的是，b2所度量的是，所有的Y与总体直线的偏差的 平方，而b 2仅是它的一个无偏估计，度量的是与估计的直线即样本 回归直线的偏差的平方。图示。观测值与总体直线和回归直线的偏差。 对于上述所估计的参数的方差即（3.12）和（3.13），有如下特点：（1）由var（B= b2/EX2可知其特点，即它与b2正比，与股反 比，因此，对于给定的。2，度量X值变化的xf越大，v

24、aMj越小， 说明p 2的估计越精确，因此我们假定X要有变异性。另一方面，随 着样本长度增加，Ex2变大（相对于小样本而言），从而使估计越精 i确。同理分析p 的方差。（2）B（，= 1,2）是样本估计量，故不同的样本所得到的估计不一定相同，对于同一样本，它们还可能是相互依赖的，或是相关的。 这种相互依赖性由它们之间的协方差所度量，可推证其协方差为cov（B ,pp ） = Xvar（B ） = X（b2/x2）（3.16）122i如何利用估计量的方差来评价这些估计量的可靠性，这即是统计推断 问题。3.4. OLS估计量的性质：高斯一马尔可夫定理估计量关于X是线性的。即& （i = 1,2）是

25、关于K的线性组合，由于y 为随机变量的一个样本，所以估计量也是一个随机变量。作为例子，1.2.在给定上述假定条件，由OLS所得到的估计量所具有的性质:.ExxEEp =2_L_L = i y 三乙k y ,(k = x /乙 x2)2E x 2E x 2 i i i i i ，一 1a 一估计量是无偏的，即E(p ) = p (i = 1,2)。例子 i iE(p ) = E(k y ) = E(k (Y Y) = E(kY )(v k = 0) n TOC o 1-5 h z 2 E(p ) = EE (k (p +p X + u ) = El p Ek +p EkX +Eku /=2、i

26、1 、2、 i i1 i 2 i ii ip +EE(ku ) = p ( EkX = 1,E(ku ) = 0)2i i 2i ii i3. B （i = 1,2）在所有线性无偏估计量中具有最小方差（具有最小方差的 估计量称为有效估计量）.高斯一一马尔可夫定理:在给定经典线性回归模型的假定下，OLS估计量，在无偏线性估计量中，具有最小方差，即OLS估计量是最优 线性无偏估计量(BLUE).注意：有效估计量强调最小方差，即对所有线性和非线性估计量，只 要是最小方差，就称为有效估计量。一般而言，这一定义对于大样本 而定义的。而BLUE是定义在所有线性估计量中，方差最小的估计量称为BLUE。 也就

27、是说，对于其它任何线性无偏估计量，日( = 1,2)的方差均比它们 的方差小。因此，证明BLUE的方法是假定有一个线性无偏估计p*， 需证明.var( P *) var( P )2由于p *的任意性，即B具有最小方差。如图P59所示，由于&和p *均 为线性无偏，所以它们的分布图都对称于真值p 2，即 E (p ) = E (P *) = P，但由于var( P *) var( p )，故p的分布图比p *的分布 2.222图更集中于总体p。3.5.判定系数：拟合优度的一个度量1.以上所讨论的是关于估计量的性质，即线性无偏且方差最小,因此, 样本回归直线是总体的一个无偏且具有高精度(方差最小)

28、的估计，但 由于总体一般是未知的,所以以下的分析针对样本回归直线。但对于 所谓尽可能逼近还没有正式定义和度量，所谓尽可能逼近，其定义和 度量之一是，围绕样本回归直线的偏差(残差)尽可能小，即样本数 据尽可能拟合SRL，度量这种拟合程度即为判定系数，或拟合优度， 记为尸2(R2)。基于对SRL的残差尽可能小，我们以下导出拟合优度的公式。Y = Y + u n y = y + ui y u i = 0)由!X y 2 =Z y 2 ；Z u 2 + 2Z y u =Z y 2 +Z 必(. Z=6 2 乙 2+Z u 2(. y =6 育 2 ii i 2 i(3.17)在(3.17)中，定义(3

29、.18)TSS = S y 2 =E (Y - Y )2 =E (Y - V )2 ii ii i(3.18)所度量的是所有观测值(样本点)与其均值(或总体均值， 因为= Y)的总变异(y -Y)，故称为总变异或总平方和，记为TSS。 而解释平方和ESS定义为ESS = X 2 =X (Y Y )2 =X (Y ? )2i i i i i(3.19)=& 2 X %2由于在ESS中，X (Y -Y)2表示回归直线上的点与样本均值(等于总 体均值)的总离差，因此它度量了回归直线与总体均值的“逼近”程度， 故称为解释平方和，或由回归解释的平方和，即在TSS (总变异)中， 由回归所解释的变异。而残

30、差平方和RSS定义为RSS = X U2(3.20)i这一项称为残差平方和。这样TSS就分解为TSS=ESS+RSS(3.21)其意义如上所述，图示如P61图3.10.图3.3. Y的总离差分解图对(3.20),有1=ESS/TSS+RSS/TSS拟合优度的定义即是在总变异中，由回归所产生的变异占的比重(3.22)ESS X(Y - Y)2RSSXu2TSS X(Y - Y)2 i r2(R2)可表示为r 2 = _i= 1 一匚TSS X(Y - Y)2i显然，有0 r2 1，经简单推导，ESS 奂人乙2但)r 2 = V i = P 2 W i = 一TSS 乙 y 2)2 Y2 -( Y

31、 )2 1 乙 y 2 乙 x 2 乙 y 2iii i进一步，将TSS=ESS+RSS用r2表示，有y2 = r2y2+ (1 - )y2iii图示：用园表示变异,r2的大小可直观表示为下图.8. Precision of estimates and fit.Venn diagram view of fit:r2:=0CDr2 =:0.5Intro to Econometricsr2 =:0.9Regression basics slide 243.相关系数X和Y的相关系数，度量这两个变量之间的线性相关程度，这 是与拟合优度相关但不相同的一个概念。定义：X和Y之间的相关系数，定义为X2 (

32、X )（3.22） xyr L( X2)2( y2)2)、 iiVn XY - ( X )( Y)这一相关系数称为样本相关系数。我们前面所讲的拟合优度的意义是X的变异对Y的变异的解释程度，即r2=ESS/TSS但相关系数r所度量的是线性相关程度，尽管它们之间的关系为r = ： r 2相关系数r的性质：1. -1 r 0,b0,a,b,c,d 为常数;4. X 与 Y 独立，则它 们之间的相关系数为0,反之，不相关，即相关系数r=0不等于它们独 立；5.相关系数r仅是线性相关(或线性相依)的一个度量，不能用于度 量非线性，如X与Y之间有非线性关系Y=X2,即X与Y没有线性相 关，故相关系数r=0

33、; 7.相关系数r不能度量X的变异解释Y的变异 的程度.P64图3.11所示的是正负相关和不相关的图解，当X的变化 与Y的变化成比例，X与Y有正或负相关，而当X与Y呈现出近似 的比例变化，r接近于1或一1,而r=0表明X与Y之间没有线性相 关而是具有确定的非线性的函数关系。 TT3.6数值例子。关键概念，MPC，估计，注意S =一， n - 2从表3.2中读取数据X.和Y.后计算x.=X.-又,*=匕-Y和x2.,x.y.(i=1,2,_10)等数据，按定义计算T。2 = T = 0.5091,0 = Y -。2X = 24.4545iSr计算 Y = 24.4545 + 0.5091X n

34、U = Y - Y n YU 和 S =J=42.1591, ii i i i i i 10 2进一步，计算参数估计的方差和标准差：var(0 ) =6 2 /Sx2 = 41.137,se匕)=6 /(Sx2)1/2 = 6.14. T x 2.-Txtvar(。) = 62 = 0.0013,se(0 ) =ey | v z = 0.0357110乙 x 2110乙 x 2i1icov(6 , B ) = -X6 2 /T x2 =-0.217212再计算TSS,ESS和RSS和拟合优度TSS = 1(Y - Y)2 =Z y2,ESS =-Y)2=四y2, TOC o 1-5 h z i

35、iii=1i=1i=1i=1RSS = Z(Y - Y )2 =1Lu2, r2 = ESS/TSS = 1 - (RSS/TSS) = 0.9621, r = 0.9809ii=1i=1基于以上的计算所得到的回归直线为人= 24.4545 + 0.5091Xii其样本表示为= 24.4545 + 0.5091X + U.图形为：Intro to EconometricsRegression basics slide 16SRF:Y =24 +(0.5L1) X*gofmeains (X=170Y=14nJ对于以上的计算(估计)结果的解释：样本回归直线是总体回归直线的一个估计，即对于任一 X(

36、如 X=100),从样本回归直线上可找到相应的点 Yx_100=24.4545+0.5091*100=75.46 它是总体 E(Y/X=100)的估计，一般 地，Y为E(Y/X=X.)估计，由于E(Y/X=X)为条件均值，所以Y为Y的期 望(均值)的估计；12.& = 0.5091表示在X=80至260这样的极差变化的范围内，周收入X2每增加一美元，将使每周消费增加0.51美元，即MPC=0.51,p = 24.4545可机械地解释为当收入为0时，每周消费平均需24.4545,1由于X的值不包括0,故上述解释是强行令X=0，故这种解释是机械地 解释.另一种解释是,模型仅包括收入变量，故截距的估

37、计可解释为没 有包括在模型中的变量对消费的平均影响.拟合优度为0.9621,表明样本回归直线对数据拟合的程度很高，从 图形看，样本数据Y没有偏离样本回归直线较远，且有两个点落在直线 上，说明每周消费的变异约有96%被X所解释。3.7例子例1.美国咖啡需求：替代品与模型设定，即咖啡的替代品（水，茶等） 可能对咖啡需求产生影响，如考虑替代品的影响，需用多元模型。我 们这里用二元模型研究需求与价格的关系（可能导致模型设定偏差）， 作为例子，用每人每日杯数和每杯价格分别作为应变量和解释变量， 故模型为yi=Pi+P2xi+Ui例2.消费函数与关于总体和样本的例子不同，本例研究总量个人消费支出（PCE,

38、记 为Y）与GDP（度量总量收入，记为X）的关系，基于消费理论，有Yi=Pi+P2Xi+Ui运用EVIEWS,第一步，输入数据；第二步，根据所设定的模型进行 估计，命令：LS Y C X,产生回归结果；第三步，报告和分析回归 结果.数据如图80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91回归：LS Y C XDependent Variable: Y Method: Least SquaresDate: 09/05/04 Time: 18:31Sample: 1980 1991Included observations: 12VariableCoefficientStd.

39、 Errort-StatisticProb.C-231.79510357694.5275-2.45210.03413X0.7194334726580.0217433.07801.5051e-11R-squared0.99094334525Mean dependent var2880.6Adjusted R-squared0.990037679775S.D.dependent var314.4417S.E. of regression31.3848778159Akaike info criterion9.8815Sum squared resid9850.10555522Schwarz crit

40、erion9.96235897529Log likelihood-57.289247202F-statistic1094.16045179Durbin-Watson stat1.28418254948Prob(F-statistic)1.50516803291e-11基于以上的回归结果，有Y = 231.8 + 0.719 Xiise（6 ） = 94.53se（B ） = 0.02212r 2 = 0.993.8 .要点：1.CLRM，方差标准差及其估计性质，无偏估计，最优无偏估计，评价数据对模型的拟合优度，BLUM的假定与估计性质，概念：方差与变异，自由度，相关系数，独立。第四章 正态性假

41、定：经典正态线性回归模型在前面的分析中，我们对扰动作出了一系列假定，但没有假定分布, 相应地，对估计量也就没有讨论分布问题，因此,我们也无法对估计量 进行推断.本章将继续讨论推断这一问题.对于模型Y = P +P X + u（4.1）i 12 i i我们首先讨论扰动u的分布。4.1. u的概率分布.前述对（4.1）作OLS时，对扰动的分布没有假定。也就是说，无论 扰动的分布为何，对（3.1）作OLS，所得到的估计量，在前面10 条假定之下，均为BLUE，如果研究的目的仅是估计参数，OLS方法 就可实现这一目的。但是，没有分布假设，不可能对估计参数作出任 何推断，也就不可能对估计作出有意义的评价，而且也不可能对任何有关总体的假定作出检验。对的概率分布作出合适的假定，即假定 为正态分布，能解决上述问题4.2. u的概率分布假定为正态分布iE(u ) = 0E (u 2) =c