一般总体均值的假设检验

1、7.4 般总体均值的假设检验一、一般总体均值的大样本假设检验一个总体均值的大样本假设检验设样本(X1,X2,Xn)取自非正态总体X，记总体均值E(X)=日。样本均值及1样本方差分别为X = - Y X , S2 = 寸(X - X)2。 n in 1 . 1如果我们要做双侧检验：H0 :卜日0 H *。日0，在大样本情况(样本容量 X u,n N 30 )下可选Z = s /寸为检验统计量，由中心极限定理知，它在H0成立时近 似服从N(0,1)。检验的p值近似为2P(Z zo I U = U0) = 2(1(I % I),其中检验 x u统计量z的观测值为zo = n。例7.4.1 一种机床加

2、工的零件尺寸绝对平均误差为 1.35mm。 生产厂家现采用一种新的 机床进行加工以期降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否 有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。50个零件尺寸的绝对 误差数据(mm)如下所示：1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.101.12 1.031.16 1.121.12 0.951.021.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03 1.981.97 0.911.22 1.061.11 1.541.

3、081.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86利用这些数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低？(a = 0.01) 解：这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低，也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望E(X) = U是否小于1.35, 因此属于单左侧检验。提出的假设如下：H0: u 1.35 H1: u 1.35现在n = 50 ,检验统计量可选为Z =又三 知35 N(0,1)；S / 5由数据得：X = 1.215, s = 0.366 ,故检验统计量Z的观测值

4、为1.215 -1.35zo - 0 366/元 2.608，所以检验的P值近似为P(Z 2.608|u = 1.35) n (2.608) = 0.0046。因为P 1 z 1此=匕)=2(1(I zl),其中:-为检验统计量z的观测值。js2 ：n + s2 n例7.4.2 一个随机样本由居民一区的100个家庭组成，另一随机样本由居民二区的150 个家庭组成，这两个样本所给出的关于目前住房中居住了多长时间的信息如下：无=41个月，-=49个月，s; =900，s;= 1050。这些数据是否提供了充分的证 据，说明一区家庭在目前住房中居住的时间平均来说比二区家庭短？(设a = 0.05) 解

5、：建立假设H :日2日 H :日日012112N (0,1)本题的样本容量足够大，气=100， n2 = 150，检验统计量为 z = _ i (S2/n +S2/n， 一 ,41 49-，.其样本观测值为z0 = 900100 1950 = 2。此题属于左侧检验，检验的P 值近似为P(Z 30且 min( np , n(1 p ) 5 )下可选 Z = : % 或 Z* = , X 乙 为检00%X(1 X)/nvp0(1 p0)/n验统计量，由中心极限定理知，它们在H成立时都近似服从N(0,1)。所以检验的P值 0近似为 2P(Z 1 z I H )任 2(1 0(1 z I)或 2P(Z

6、* 1 z* I H ) = 2(1 O(I z* I), 0 I 00000其中z =. x po和z*= . x _ p0 =分别为检验统计量Z和Z *的观测值。0侦 X (1 X)/n 0 vp0(1 p0)/n例7.4.3 某企业的产品畅销于国内市场。据以往调查，购买该产品的顾客有50%是30 岁以上的男子。该企业负责人关心这个比例是否发生了变化(无论是增加还是减少)? 于是委托一家咨询公司进行调查，这家咨询机构从众多的购买者中随机抽选了 400名进行调查，结果有210名为30岁以上的男子。该厂负责人希望在显著性水平a = 0.05下检验“50%的顾客是30岁以上的男子”这个假设。解：

7、提出假设：H : p = p = 50% H : p。p由于样本容量n = 400 30，且min(np0,n(1 - p0) = 200 5，所以可以使用X pX p正态分布进行检验。检验统计量为Z = ,_9或Z * 0 ，它们VX (1 X)/n 1.001 H ) = 2(1(1.001) 2(1 0.8416) 0.3168 或 2P(Z* 1|H0) = 2(1 0(1) 0.3174。因为检验的P值都大于显著性水平0.05，故不拒绝H0，即没有充分理由认为比例 发生了变化。2.两个总体比率的大样本假设检验设两独立样本X1，,Xn1和七,七分别取自0-1分布总体X和S总体均值 记为

8、E(X) = p和E(Y) = p )，样本均值分别为X 1冲X , Y 2 Y。12n . 11n 如果我们要做双侧检验:X YZ = .气. p(1 p)(1 / n +1/n )H0 : p1 = p2H1 : p产p2，在大样本情况下可选 n X + n Y、(这里p- )为检验统计量，由中心极限定n + n理知，它在H0成立时近似服从N(0,1)。所以检验的P值近似为 2P(Z 1 z I H ) = 2(1(I z I)，其中 z : 为检验统计00OO.p (1 p )(1 / n1 +1/n2)量Z的观测值。例7.4.4甲、乙2公司属于同一行业，有人问这2个公司的工人是愿意得到

9、特定增加的 福利费，还是愿意得到特定增加的基本工资。在甲公司150名工人的简单随机样本 中，有75人愿意得到增加基本工资；在乙公司200名工人的随机样本中，120人愿 意得到增加的基本工资。在每个公司，样本容量占全部工人数的比率不超过5%。 试问:可以判定这2个公司中愿意增加基本工资的工人所占比例不同吗？(a =0.05)H : p = p H : p。p 012112_X - Y解：建立假设现在是大样本情形，检验统计量为Z = .一(这里.p(1 - p )(1/ 七 +1/n2)p = (nX + n Y)/(n + n2)，它在H0成立时近似服从N(0,1)。由样本观测值知，x = 75

10、/150 = 0.5， y = 120/200 = 0.6，八_ 75 +1200.5-0.6 TOC o 1-5 h z P 150 + 200 .，10.557(1 0.557)(1/150 +1/200) ，所以检验的 P 值近似为 2P(Z 1.864H0) = 2(1 -(1.864) = 2(1 - 0.969) = 0.062。由于P 0.05，所以不拒绝原假设H0，即没有充分理由认为这2个公司中愿意增加基本工资的工人所占比例不同。有时我们要检验两个总体比率之差是否为某一个不为0的常数d0，即要检验假设: H : p 一 p = d H : p 一 p。d ， 0120112_

11、0 _在大样本情况下可选z = ,_ F-Y-4 _,为检验统计量，由中心、:X(1 - X)/n + Y(1 - Y)/nL12极限定理知，它在H0成立时近似服从N(0,1)。所以检验的P值近似为 ,x-x-d2P(Z l 乙。I H0) n 2(1 -(I 乙。I)，其中气=x( _； f _.为检验统计量Z的观测值。例7.4.5某厂质量检验人员认为该厂一车间的产品一级品的比率比二车间产品一级品 的比率大5%。现从一车间和二车间分别抽出2个独立随机样本，得到如下数据： n1 = 150，其中一级品数为113； n2 = 160，其中一级品为104。试根据这些数据 检验质量研究人员的观点。(

12、设a = 0.05) 解：建立假设H : p 一 p 0.05 012112检验统计量为 rX - Y - 0.05Z = . _，x (1 - x )/n+y (1 - y )/%它在p1 - p2 = 0.05成立时近似服从N(0,1)。由观测值可知，X = 113/150 n 0.753，y = 104/160 = 0.65，于是检验统计量Z 的观测值为z =0.753 -0.65- 0.05n 1.027。这是右侧检验，所O v 0.753(1 - 0.753)/150 + 0.65(1 - 0.65) /160以检验的P值近似为P(Z 1.027p1 - p2 = 0.05) Q 1

13、 -(1.027) = 1 - 0.848 = 0.152。因为P 0.05,故不拒绝原假设，即现有数据不足以支持该厂质量检验人员的观点。单个总体比率的精确检验上面讨论的都是大样本情形下的近似检验。事实上，在实际工作中，只要知道总体 的分布类型，我们就完全有能力利用计算机强大的计算功能或直接应用统计软件考虑精 确的检验方法，下面以单个总体比率的检验为例。设样本(XX2,X)取自0-1分布总体XB(1,p)，对右单侧检验问题：nH0 : p p0 ,检验统计量我们可以选为T = 乂疽它在p = p时i=1服从 B(n, p )。所以检验的 P 值为 P(T t p = p ) = 1 P(T p

14、 = 60% I H : p 30,而且min(np0,(1一 p0) = 24 5，可以用正态分布X pX p进仃检验。检验统计量为 Z = _0或 Z* = . 0,它们在 p = pVX (1 X)/ nvp0(1 p0)/ n0现在x = 33/60 = 0.55，检验统计量Z和Z *的样本观测值分别为0.55 0.60.55 0.6时都近似服从N(0,1)。z= q 0.778和z* =q0.791。检验的 PoJ0.55(1 0.55)/60。 v 0.6(1 0.6)/60值近似为P(Z 0.778H ) q 0.218或P(Z* 0.791|H ) q0.214。因为检验的P值都大于显著性水平0.05，故不拒绝H0，即没有充分理由认为遵守法则的工厂的比率不足60%。尽管观察的样本比率小于60%，但它并未显著地低于60%。n法二：采用单个总体比率的精确检验方法。检验统计量为T = W X = nX，它 ii=1在 P = P 时服从 8(60,0.6)。0现在T的样本观测值为to = 33，故检验的P值为P(T 33|p = p= 0.254。因为检验的P值大于显著性水平0.05，故不拒绝H0，结论与法一同。例7.4.7某厂生产的产品次品率为10%。近期抽查