沪教版高三C专题(二轮复习-圆锥曲线中的类比思想4星)

1、 专题：圆锥曲线中的类比（）课堂引入当鲁班的手不慎被一片小草割破后，他通过仔细观察发现小草叶子的边沿布满了密集的小齿。于是便产生联想根据小草的结构发明了锯子。鲁班在这里就运用了类比思想”。所谓 类比思想”就是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。类似的故事还有叩诊法”的发现。18世纪中叶，奥地利医生奥恩布鲁格，从制酒商经常用手指关节敲叩木制酒桶，凭着叩声的不同，就能准确地估计出桶内还有多少酒。由此他联想到，是否可以把人的胸腔类比作酒桶，根据用手指敲叩患者胸部所得的不同音响来作出诊断呢 ？由此他发明了 叩诊法”此法至今仍是临

2、床医疗中常用的诊断方法之一。教学目标1、掌握圆和椭圆的类比原则4min.2、掌握椭圆和双曲线的类比原则知识梳理椭圆与双曲线的标准方程和性质（类比）椭圆双曲线定义判断焦点位置标准方程图象a, b, c的关系焦点坐标范围对称性顶点渐近线无草图的回法焦点到渐近线 的距离无待定系数法求 方程等轴双曲线无典例精讲36 min.例1 ()已知两个圆：x2 y2 1 ,22与x (y 3)1 则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.分析 将题设中所给出的特殊方程、推广归纳到一般情况： TOC

3、 o 1-5 h z 222设圆的方程为(xa)(yb)r,.222与(xc)(yd)r 其中a c或b d ,则由式减去式可得两圆的对称轴方程.评注本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。例2 ()已知椭圆具有性质：若 M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线pm、PN的斜率都存在，并记为 kpM、kpN时，那么kpM与kpN之积是与点P的位置无关的定值.试对双2曲线，a2J 1写出具有类似特性的性质，并加以证明 b22分析类似的性质为：若 M、N是双曲线a2y-r 1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当b2直线PM、PN的斜率都存

4、在，并记为 kpM、kpN时，那么kpM与kpN之积是与点P的位置无关的定值证明：设点因为点M、P 的坐标为(m,n)、(x,y),则N( m, n).则 kPM kPN22ynynyn22xmxmxm.222bxm-2 -22 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document axmb2(定值).aM (m,n)在已知双曲线上，所以 n2 1m2a评注 本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力。例3 ()圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦2称之为曲线的垂轴弦。已知椭圆

5、 C： y2 1。4(1)过椭圆C的右焦点作一条垂直于 x轴的垂轴弦MN ,求MN的长度；(2)若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E(xe,0)和点F(xf,0)(如右图)，求xE xF的值;2, ,x(3)在(2)的基础上，把上述椭圆C 一般化为 a2 y_ b21 (a b 0) , MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦,明)；请你并证明你其它条件不变，试探究xe xf是否为定值？(不需要证22x y给出双曲线2 1 (a 0,b 0)中相类似的结论, a b的结论。 TOC o 1-5 h z 答案：(1)由条件可知右焦点的坐标为(J3,

6、o).1分x22一 1x J3代入椭圆C的方程一 y2 1 ,得y 一 42所以MN 1 .4分(2)设 P(x0,y0),M(0,1), N(0, 1),则1MP ： y 1y。 1XX0令y 0,则xEX0 y0 1.7分同理可得：XFX0y 1XeXf2X-2 V。.8分Q M ,P在椭圆2xC: 41上,2y。则 Xe Xf2X02X0(3)点P是椭圆C(12X01( %2)4.10分2 y_ b21(a b 0)上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(Xe,0)和点 F(Xf ,0),贝U Xe Xf a2。12分2 X点P是双曲线C: -

7、2 a2y3 1(a 0,b 0)上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点 F(xF ,0),贝U Xe Xf.14分证明如下：设 M(m,n),N(m, n),P(x0,y)则 Imp ： y nyn(x m) X m令y 。，则Xemy nx0y0 n同理可得:Xfmy0 nx0 ,y0 nXeXf2m V0222n x02V。Q M ,P在双曲线C:2y1卜,21b22 mb ( 2a1),y0222 X0b At 1)，a22, 2 z X0 m b (-2-贝U Xe Xf22/X0b L a21) b2(mra_ 2 2,m

8、1) b ( a1)X02b2(x02m2)1)X02 m2).18分巩固练习() 我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线 与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。(1)2 x F1、F2是椭圆M :252 1的两个焦点，点F1、F2到直线L : 2x y 590的距离分别为di、d2,试求di d2的值,并判断直线 L与椭圆M的位置关系。(2)设L : mxnyp 0 (m、n不同日为0)的距离分别为 di、d2,且直线L与椭圆M相切，试求d1 , d2的值。22Fi、F2是椭圆M :x2 Yy 1(a b 0)的两个焦点，点F1

9、、F2到直线a2b2(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明)解：(1) d1 d2| 4,25| |4 2,5|9;联立方程 25.2x消去 y可得 59x2 50v110 x 100 0;0(50.10)259 100 0,所以直线L与椭圆M相交。(2)联立方程组2x-2amx2 y b2ny消去y可得(a2m2 (2a2mp)2即 p2a2m2因为椭圆焦点2 2b2n2)224(a m2-nb n .22 a mpx2 22b n )a (222 2a (p b n ) 0, (*),

10、2 2b n2 2 2222 2)4a b n (a m b n6分P2)0d1 d2(c,0),F2(c,0),其中| mc p | | mc p |222.m n m_2_22 _2 .b n m c |22m n2a2 2m cnb2；(3)设F1、F2是椭圆b2.10分b21(ab 0)的两个焦点，点F1、F2到直线L : mx ny p 0(m,n不同时为0)的距离分别为d1、d2,且曰、F2在直线L的同侧。那么直线 L与椭圆2di d2 b ;直线L与椭圆M相相交的充要条件为：d1 d2 b2 ；直线L与椭圆M相切的充要条件为:离的充要条件为：d1 d2 b2证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交(*)中2n2b nd1 d22mc p mc p p2 2m c2n2-b2；同理可证：直线L与椭圆M相离 直线L与椭圆M相切 di d2 命题得证。di d2 b2.b21盼（4）可以类比到双曲线：设2 XFi、F2是双曲线M :二 a2y21的两个焦点，点Fi、F2到直线b2L : mx ny p0（m,n不同日t为0）距离分别为di、d2,且Fi、F2在直线L的同侧。那么直线