第5届宇宙物理竞赛(UPhO)试题

1、第 5届 UphO 试题一、为了督促孙月月鸟同学减肥，我们把他绑在椅子上，放在x=0 处，而把冰淇凌放在遥远的x=l 处，并只考虑孙月月鸟同学沿x 轴的一维运动.孙月月鸟同学双脚不能着地，只能通过前后晃动身体，带着椅子一起蹭过去吃冰淇淋.孙鹏质量为m，椅子质量也为m，椅子和地面之间的摩擦系数为 =0.5.晃动身体的时候，可以让人体重心相对椅子变化，相对位移u 和相对速度u 以下图的方式做周期性变化.方程为u v0 1 u2h和 uv0 1 u .其中h? l，重力加速度为g 开始位于 u=h, u 0状态，每次相对运动完成半个周期，到达u= h 的时候，孙鹏就会保持相对静止休息一会，等椅子和地

2、面相对静止之后，再立即开始下半周期的运动.令 v0gh .1）为了可能吃到冰淇淋， 至少为多少？2）为了让孙月月鸟同学相对椅子往前运动时椅子不动， 最多为多少？3）求孙月月鸟同学从相对椅子- h0所花的时间t0.4）在满足（1） （2）问的条件下，一个周期内能前进的距离L 为多少？5）接（4） ，求孙鹏同学吃到冰淇淋需要花多长时间t.二、如图无穷电阻网络，每个小三角形的一边电阻为r.1）求 AB 之间等效电阻rAB；（ 2）在A、 B、 C 三点接入交流电源uA=u0cost , uB=u0cos（t +2 /3）, uC=u0cos（t +4 /3）无穷远为接地点.求 A点处电源流入的电流I

3、A（t）；（ 3）接（2）问，如果将体系视为ABC 的三端网络，则体系等效为下图. 求等效阻抗ZA；（ 4）接（3）问，如果原网络A、 B 之间的电阻断了，则（3）中的等效网络ZA 变为多少？（ 5）接（4）问，如果原网络A、 B 之间的电阻断了，则（3）中的等效网络ZC 变为多少？三、 神经元可以利用轴突将神经冲动传输到其他神经元.下面构造一个简化的轴突的膜结构的模型.正常状态膜内外会形成一个电势差.这个模型用来解释电势差的形成机制.正常状态下细胞膜内外钠、钾离子浓度各自稳定在不同的浓度.膜表面对不同离子的通透性不同 . 离子在膜内外输运过程中会形成动态平衡，即从膜外向内的流速等于从内向外的

4、流速离子的流速受到两方面的影响：一方面离子从浓度高向浓度低的地方扩散；另一方面电场力推动阳离子从电势高的地方向电势低的地方移动，两个效果造成的总的净离子流为零时即达到稳定.先考虑静息状态，此时只有K+能通过细胞膜.令K +的摩尔浓度为c1（x）， x为细胞膜中一点到细胞膜内边界的距离，细胞膜厚度为.假设K +在细胞膜内的电导率正比于摩尔浓度： 1（x）= 1c1（x）， 扩散系数为D 1（扩散导致的离子流摩尔密度为jC D dc x ） .dx假设细胞膜内外的K+的摩尔浓度为c1in， c1out（ cin 大约比cout 大 40 余倍） ，并保持稳定（因为通过表面流通的离子流很小），假设细

5、胞膜内的电场均匀分布，元电荷e=1.6 10- 19C ， 阿 伏 伽 德 罗 常 数nA=6.02 1023mol- 1 ， 理 想 气 体 常 数R=8.31J/mol?K，温度取恒温T=300K.1）定性分析，在离子流达到稳定的时候，细胞膜内外哪边电势高；2）定量计算细胞膜外与细胞膜内的电势差V1=out- in；3）我们不从动力学角度考虑，而从热力学平衡角度考虑这个问题.平衡态时，细胞膜K+ 的化学势应当相同. 假设离子浓度很低，可以引用理想气体的结果，不考虑电场时，化学势=Umol+pVmol- TSmol.考虑电场时需要再加上电势能.通过化学势相同的方案计算细胞膜内外电势差V2=

6、out- in，并与上一问结果进行比较.这个方程又被叫做 Nerst 方程 .（ 4）考虑在一般状态，细胞通透性发生改变，不仅有K +能通过细胞膜，Na+， Cl-的扩散系数和电导率分别为D2， D3， 2， 3，并且同样有 i（x）= ici（x）， i=1,2,3.假设这时电势达到稳定的条件是总净电流密度为0.细胞内外K+， Na+， Cl-的摩尔浓度分别为 c1in， c2in， c3in， c1out， c2out， c3out.定量计算细胞膜内外的电势差Vt=out- in.这个结果又被叫做Goldman 方程 .数学补充知识：多项式常微分方程y P x y Q x 的通解为P u

7、du xP u duy e00Q v e0 dv C22m 的匀质球，半径为r ，转动惯量为I mr ，放在水平地面上.5重力加速度为g. 竖直向上为正方向.水平面上建立平面直角坐标架x-O-y.初始球心位置为x(0)=y(0)=z(0)=0初始速度为vx(0)=v0=r0, vy(0)=0, vz(0)=0初始角速度为 x(0)=0, y(0)= 0, z(0)=0B.小球在球心处固定有一个电量为q 的电荷 .空间中有向- z方向的均匀磁场max；0 时，求小球的磁矩mm1 ）地面摩擦系数足够大，求之后球心的运动状态表示；2）地面摩擦系数不足够大，求出可能出现滑动的最大摩擦系数3）小球的电量

8、改为均匀分布在球的表面.当小球转动角速度为4）接（3） ，地面摩擦系数足够大，地面和球都是绝缘的.求球心的运动状态五、 缓慢导热的活塞如图是一个截面积a、总长度2L 的绝热气缸，被一个导热率十分低的光滑活塞分为体积1:3 的左右两部分，内部装有等量双原子理想气体.初始时左侧压强为3 p0，右侧压强温度C7为 p0,T0， 其中CP 7 为比热容比.建立如图坐标，原点位于气缸中点.调节导热率和活 TOC o 1-5 h z CV5塞质量使得系统各种特征时间：系统完全平衡的时间t1， 活塞来回振动的准周期t2， 左右室内气体热平衡弛豫时间t3 满足t1? t2? t3. TOC o 1-5 h z

9、 （ 1 ）从初始位置静止释放活塞，活塞第一次速度变为0 时所在的位置x1；（2）最终平衡时活塞的位置x/L= ，求；（3）最终平衡时气体的温度T/T0=，求；（ 4）从初始到最终平衡，求系统的熵增 S；（ 5）记活塞相邻两次速度为零时的距离为振幅A，初始时的振幅为A0，则当振幅衰减为1A0.5= A0 且活塞在左侧速度为零时，左边气体的温度T0.5/T0=，求；2六、两个介质的折射率分别是n1 、 n2 且 n1n2，从n1 介质这边入射的光可以在两者界面出发生全反射.发生全反射的条件是入射角1? c， 其中 c是临界角，发生了全反射，就不 TOC o 1-5 h z 会有折射光线.全反射时

10、，全部的能量都会在反射的光线中.（ 1 ）请推导出临界角的表达式 c；（ 2）电磁波法分析，我们先考虑n1 和n2介质都是半无限大的情况.电磁波理论证明了全反射时，在光疏介质一侧其实会产生隐失波 .反射光和折射光的具体情况和入射光的入射角度 1 有关，而且和偏振也有关系.为了简单起见，如图所示，我们把入射光、反射光、折射光，分别用角标i, r, t 表示.用 k 表示波矢.入射光、反射光、折射光的波矢分别为ki, kr , kt ；并且，我们建立如图所示的直角坐标系，单位矢量分别是x?, y?, z?.电磁波理论认为，单色光平面波的在某时t，某地 r 的波可以表示为E r ,t E0 cos

11、t k r 或者理解为复数表示e r ,tE0ei t k r 的实部 .其中 i 1.当然我们也可以将相位写成分量的形式：kr kxxkyykzz，在这里kx=0，ky=ksin,kz=kcos.在界面处，显然应该有反射、折射光相位相等.由此可以推出菲涅耳折射定律.隐失波请利用数学知识和刚才的题干内容，证明隐失波可以表示成e r ,tE0te zei .并且求出衰减系数（用入射角 1，折射率n1, n2，光线真空波长 0表示）；3）穿透深度1已知入射光的波长， 请求出隐失波的振幅从最大的值（z=0 处）下降到原来的1 倍， 需要e的空间距离z；（ 4）隐失波的相速度（图中红点为相速度，绿点为

12、群速度）接（3）我们分别用vi, ve表示入射光和隐失波相速度.请求出ve .vi七、如左图所示，有一个长为l 电动势为 的电池，正极负极各吸住一个小磁铁（磁矩方向相反），电池小磁铁同线圈构成一个回路.小磁铁的磁矩为m 在线圈中心.电池小磁铁整体放入螺线铜线圈中，铜线圈单位长度线圈匝数为n，半径为r ，单位长度电阻为.电池和小磁铁整体在铜线圈中运动的的阻力为f=kv.求如右图所示，电池和小磁铁整体在一个很大的螺线圈环中运动时的速度.八、 我们考虑在狭义相对论框架下的半径为R 的呼啦圈.S系中测量测量1 ）与呼啦圈相对静止的参考系记为S 系，在以速度v 向 - x 方向运动的测量，得到此呼啦圈的面积A1 为多少；2）设呼啦圈绕过圆心的轴以角速度 顺时针匀速转动， R c，呼啦圈上每个点都向所 TOC o 1-5 h z 有方向发出频