大梦杯福建省初中数学竞赛试题

1、“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，CD的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）TOC o 1-5 h z1.设a=：2*3*2,3，则a+的整数部分为（）aA1B2C3D4【答案】B【解答】由a2=2+朽+22+朽2-朽+2-朽二6，知a=屈。于是a+=6+,（a+丄）2=6+2+=8+,4（a+）2t），则tt的值为（）122121A.3B.2朽C.2j2D.2迈【答案】D【解答】依题意线段AC的中点M的坐标为（f，匕2）。22t亠t1

2、2亠12由BMy轴，且BM二2，知B点坐标为（一2,一2-2）。22由点B在抛物线y=x2上，知1；!2=（1）2。整理，得2t2+2t28=12+2tt+12，即(tt)2=8。12112221结tt，得tt=22。21214.如图，在RtABC中，ZABC=90。，D为线段BC的中点，E在线段AB内，CE与AD交于点F。若AE=EF，且AC=7，FC=3，则cosZACB的值为（）A.3B.2丽C.丄D.迈77147【答案】B【解答】如图，过B作BKAD与CE的延长线交于点K。则由AE=EF可得，ZEBK=ZEAF=ZAFE=ZBKE。（第4题）EK=EB。又由D为BC中点，得F为KC中点

3、。AB=AE+EB=FE+EK=KF=FC=3。KJcosZACB=BC=2AC7BC=pAC2AB2=7232=2*10。得，BDCFEADCTEZB或解：对直线AFD及ABCE应用梅涅劳斯定理由D为线段BC的中点，知BD=DC。又AE=EF，因此，AB=CF=3。结合AC=7，ZABC=90。，利用勾股定理得，BC=。所以，cosZACB=BC=。AC75.如图，O为ABC的外接圆的圆心，R为外接圆半径，且R二4。直线AO、BO、CO分别交SBC的边于D、E、F，则AD+BE+CF的值为()ADBECFSABC又OA二OB=OC=R=4，111ADBECF21二、填空题(共5小题，每小题7

4、分，共35分)6.记函数y=x2-2x+3(-1x2)的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为。【答案】8【解答】*.*y=x2-2x+3=(x一1)2+2，-1x0)的图像与x轴交于不同的两点A、B，C为二TOC o 1-5 h z次函数图像的顶点，AB=2。若ABC是边长为2的等边三角形，则a二。【答案】v3【解答】依题意ax2+bx+c=0有两个不同的实根，设为x，x，则AB=x-x=2。1212bcx+x=-，xx=，12a12a(x-x)2=(x+x)2-4xx=(-)2-4x=_=4，艮卩b2-4ac=4a2。121212aaa2又由y=ax2+bx+c=a(x+)2-+c,及a0

5、,知-+c=一*3,即b2-4ac=4：3a。2a4a4a4a2=4J3a,a=3)的图像与直线y=2-x在y轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有a的值的和为。【答案】|9【解答】依题意，关于x的方程x2+(4a-3)x+3a=2-x，即x2+(4a-2)x+3a-2=0恰有1个负根或者两个相等的负根。有下列三种情形：1)方程有两个相等的负根。则I=(4a-2)2-4(3a-2)=0|x+x=-(4a2)433因此，a=1，a=符合要求。42)方程两根中一根为零，另一根为负数。22，解得a=3。满足a3xx=3a-2=012x+x=-(4a2)0122因此，a=2符合要求。3(3)方程两根中一

6、根为正数，另一根为负数。TOC o 1-5 h z22贝Uxx=3a-20，解得a2)。12341由正整数n恰有90个正因数，知(a+1)(a+1)(a+1)(a+1)xk=90，其中k为正整数。1234而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：90二2x3x3x5。k=1,(a+1)(a+1)(a+1)(a+1)=90=2x3x3x5。1234n的最小值为24x32x52x7=25200，此时n有连续正因数1,2,3,4,5,6,7。三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)11.求方程x2+2017y2二2018x的正整数解。【解答】方程化为x2-2018x+2017y2二0

7、。数。将方程视为x的方程，得二20182-4X2017y2二4(10092-2017y2)为完全平方5分10092-2017y2为完全平方数。设10092-2017y2二12(t为非负整数)，则10092-12二2017y2。(1009-1)(1009+1)二2017y2。2017为质数，TOC o 1-5 h z2017|(1009-1)，或2017|(1009+1)。10分又t为非负整数，且t6)使得I2+4+6+j二3成立，其中x=x-x,x为不超过x的最大整数。求p的最小值；当p取最小值时，求使j2j+jnj+j舟j+j-j=3成立，且n2017的正整数n的个数。【解答】(1)J对任意

8、正整数n,|2|2,jnj4,jnj5,InJ耳。5分对任意正整数n,jnj+n!+|nj6）使得=3成立,存在正整数n，使得10分-3-12=12n=12k+11（k为非负整数）。当p取最小值12时，当且仅当n=12k+11（k为非负整数）时，+j6H令卜3成立。15分20分由n=12k+112017知，k167。因此，符合条件的正整数n有168个。14将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：（1）对任意正数a，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段；（2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直

9、角三角形？【解答】（1）在平面内任作一个边长为a的等边ABC。则ABC的三个顶点A、B、C中必有两点同色。所以，存在两端点同色，且长为a的线段。因此，对任意正数a，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段。5分（2）对任意正数a，如图，设A、D同色，且AD二a（由（1）知，A、D存在）。FE以AD为直径作圆O，设ABCDEF为圆O的内接正六边形。若B、C、E、F中存在一点与A、D同色，不妨设点B与A、D同色，则AABD为直角三角形，其中ZABD二90。，ZADB二30。，且三顶点同色。10分若B、C、E、F都与A、D异色，则B、C、E、F四点同色.则BCE为直角三角形，其中ZBCE二90。，ZCEB二30。，且三顶点同色。因此，无论如何染色平