江苏省泰兴市第一高级中学苏教版必修五数学《1.1正弦定理》教学设计

1、1.1 正弦定理江苏省泰兴市第一高级中学李琴教学目标：.掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量 问题；.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自 主探索能力；.提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣.教学重点：正弦定理及其证明过程.教学难点：正弦定理的推导和证明.教学过程:一、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量， 从大禹治水到都江堰的修建，从 天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算.测 量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等 等，所有这些问题，都可以转化为

2、求三角形的边或角的问题， 这就需要我们进一 步探索三角形中的边角关系.探索1我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在 Rt ABC中，设ba一 ,cosB 一 , cosC 0 , ccC 90,那么边角之间有哪些关系?abcsin A - , sin B 一, sinC 1 - , cosA ccc1 tan B-b-对于任意三角形,sin B sin C, 八 atanA 一，sin A cosB ,sin B cosA ,tan A b探索2 在Rt ABC中，我们得到-a- sin A这个结论还成立吗?二、学生活动把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论 对于

3、钝角三角形是否成立.学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立.教师再通过几何画板软件进行验证(如图 1).对于验证的结果不成立的情况, 指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的.引出课题一一正弦定理.m ABsinimilDCF)m BC=8.82 川！*与in，e-DAE)m CAsin( E EBF =8,82座米m BC = 7.68 万兆 m CA = 7,36 川！米; miDAE = 60.61 mlDCF = 627- mEBF = 56.62、建构数学探索3这个结论对于任意三角形可以证明是成立的.不妨设 C为最大角,若C为直角，我们已经证明结论成立，如何证明

4、 C为锐角、钝角时结论成立?师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为 直角三角形，进而探索证明过程.经过讨论，可归纳出如下证法.证法若C为锐角(图 2 ( 1),过点A作AD BC于D ,此时有ADsin B ,sinCc同理可得一 sin AADb c sinC,所以 csin B bsinC,即一b sin B，所以qsin Absin BcsinCcsinC(1)(2)若C为钝角(图2 (2),过点A作AD BC,交BC的延长线于D,此时, ADAD一有sinB AD,且sinC AD,同理可得成立.sin A sin B上.综上可得，结论 sin C证法二 利

5、用三角形的面积转化，先作出三边上的高AD、BE、CF ,则AD csinB, BE asinC , CF bsinA.所以Svabc得3上 sin A sin B1111-bcsinA = acsin B= - bcsinA , 每项同时除以 abc,2222csinC探索4充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢?uuur uur uur在 ABC中，有BC BA AC ,设C为最大角，过点A作ADBC于D，(图uuur uuur 是 BCgADuuu uur uuir imruuiruuirBAgAD A

6、CgAD，设AD与AC的夹角为 ，则C为锐角或者直角时,uui uuruuur uurBAgAD gcos(90o+ B)+ AC gAD epos90o C ;当 C为钝角时， C 90o .故可得csinB bsinC 0,即-.同理可得sin B sinCsin A sinCsin A sin B sin C这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式， 我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理.探索5这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题?a b b c a c，sin Asin Bsin BsinCsin Asin C每个式子中都有四

7、个量，如果已知其中三个可求出第四个.正弦定理可以解决两类三角形问题：(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角(两角夹一边需要先用三角形 内角和定理求出第三角，再使用正弦定理)；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他 的边和角).四、数学运用 例题在ABC中:(1)已知a(2)已知a16, b 26 , A 30,求 B , C , c ;30 , b 26 , A 30,求 B , C , c ;(3)已知a25, b 11, B 30,解这个三角形.(1)由正弦定理得asin A需即凝嘉因此26sin 3013sin B 1616所以B1 54.3,或 B2 18

8、0 54.3 125.7.由于B2 A 125.7 30 155.7 180故B2也符合要求，从而本题有两个解 B1 54.3或B2 125.7.当 B1 54.3 时，C1 180 (A B1) 180 (54.3 30) 95.7,a sin C1sin A16sin 95.7sin 3032sin 95.731.84 .当 B2 125.7 时，C2 180 (A B2)180 (125.7 30) 24.3c2a sin C2sin A16sin 24.3sin 3032sin 24.313.17 .(2)由正弦定理得sin B bsnA ,即sin B26sin 30133030所以

9、 B1 25.7WB2 180o 25.7o 154.3.由于 B2 A 154.3 30 184.3 180 ,故 B2 不符合要求, 从而本题只有一解B 25.7_C 180 (A B) 180(25.730 ) 124.3,asinC 30sin124.3sin Asin 3060sin 55.7 49.57 .由正弦定理得sin A臂笔兽25 1,所以无解.学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、 一解和无解的情况呢？巩固练习：. ( 口答)一个三角形的两角和边分别是 30和45,若45角所对边的长为8,那么30角所对边的长是.(板演)在ABC中：(1)已知 A 75,B 45,c 3应，求 C, b;(2)已知 A 30,B 120,b 12,求a, c.(板演)根据下列条件解三角形：b 40, c 20, C 25a 15, b 20 , A 108五、回顾小结本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理.正弦定理揭示了三 角形中任意两边与其对角的关系， 其关系式和谐、对称.它