对应高数极坐标与极坐标中的积分计算

1、极坐标与极坐标中的积分计算一、何谓极坐标？你大概也看过一些冷战电影，熟悉这样的情节:美国的潜艇在深海中潜行，而就在50英尺外，有艘苏联潜艇，所以在场的每一个人都得非常安静不可，深怕一不小心杯对方发觉，朝自己射鱼雷。这时屏幕上就出现了一位海军少尉，坐在雷达显示器前面，而显示器上有一条绿色亮光线，像时钟指针般不断打描。然后，镜头扫到了潜艇上的军官，每一个人能都汗流泱背，因为潜艇里拥挤得像沙丁鱼罐头，根本没有空间让船员把止汗除臭剂带上船。接着，艇长压低了声音说：“安静，任何人都不许出声”，而描述这些细节的同时，雷达显示器上的两线仍是一直转个不不停，而且每转到差不多同一位置，就会出现一个大亮点，指出敌

2、人潜艇的方向跟位置，而且媚扫过那一点，雷达显示器就会“哗”地发出一声怪叫，就想三更半夜的闹钟响。这时候你坐在电视机前，不由得奇怪，那些俄国人怎么听不见这个哗声？难道耳朵里塞了耳塞？还是他们把美国人潜艇发出的哗声，跟他们自己的搞混了？当然都不是，那哗声响亮到可以把死人吵醒，所以艇长叫大家不得出声，根本是在欺骗没有上过潜艇的老百姓！于是，你坐在自己的家庭电影院里，对着电视告诉艇长：“你根本不用压低声音说话，雷达显示器不可能传递声音。”而且即使你在这边敞开喉咙人唱：“天佑美国”。俄国人也稚嫩恶搞在那边说：“同志，你听到了什么声音？”或是“同志，我从他妈的雷达显示器上啥也听不到！”当然，这类电影的场景

3、，至少有80%发生在北极冰帽下面。原因是美苏两国的潜艇最容易在那儿碰头。难怪雷达显示器上所用的坐标，可叫做“极”坐标。稍后，显示器前的少尉也说悄悄话的样子，人声向艇长说（不然就会被显示器的哗声压得根本听不见）：“报告艇长，对方似乎是一搜C级核动力突击艇，上面看来载有37个男人，12个女人，和一只放养鸡，它的位置离我们50英尺，现在正在接近中。”然后这位雷达官加上一句：“它在37度方向。”意思是说，对方在50英尺外，方向跟x轴之间的夹角为37。若是用极坐标来表示，我们该说点的坐标是（厂,8）=（50,37?）当然，我们跟海军不同。我们使用弧度，这是因为所有的数学家都同意，弧度计算起来比较方便。如

4、果你只是为找到鱼雷的位置，用“度”也还算方便，不是一旦涉及到积分、微分运算，你就必须用弧度了。为了用极坐标来表示平面上的一点，我们得先说出该店跟原点之间的距离，此距离称为r,然后是它与圆点的连线，跟正x轴之间存在反时针方向的夹角0.如此一来，我们就把一点表示成（厂,8）而不是（x,y）.如图1所示图1在极坐标上，对同一点不止一个表示方法，就拿直角坐标系（x,y）上的点（1,0）为例，它离原点的距离是1，而跟正x轴之间的夹角为0弧度，所以用极坐标表示词典它是（八6）=（1,0）,但是我们也可以写成，（1,2龙）=（1,4龙）等等，这还不算桶奇，除了（0,0）还可以写成（04）、（0上、（0,7.

5、3龙）等等2丿如果r是负值，表示从原点走出去时朝着负x轴的方向走。所以说如图2所示,（）=（一1,兰这一点，跟（1,2/事实上为同一点.I4丿4从图3以及勾股定理，我们可以得到几个换算直角坐标与极坐标的基本关系式框框里的4个方程式，值得知道，但是不须硬背下来。原因是你只要记得图3,就能非常容易从图上看出了，现在让我们画一些极坐标方程式的图.例题1：试绘出尸3解:你一定会喜欢这题！题目是要我们把平面上满足尸3所有的点（几0）找出来，由于方程式中根本没有0，表示0可以等于任何值；但是1-不然，它固定在3这个距离上。因此，我们得到的图形就是以原点为圆心、半径为3的圆。图4显示的就是这个图形。33反过

6、来说，这个圆的极坐标方程仅仅是尸3,比直角坐标圆方程x2+r=9简单得多。这正是数学家喜欢极坐标方程的一个原因；这种方程式人大简化了某些常用图形表示方法，特别是是以原点为圆心的圆.例题2试绘出i-=2sm0解:方法1：标出一些点，然后连起来。在绘图时，这是一个经久不衰的传统方法。当你不是很确定，或是杯五花八门的“捷径”弄得迷迷糊糊、不知所从，这时最靠得住的方法就是返璞归真，把一些点标示出来，然后一个个连起来.004n73斤Tn002720吧以上这些点连起来之后，就会得到图5所示的圆。请注意，如果我们让0从0变化到2n,我们实际上饶了图中这个圆2次。方法2:上述描点非常机械化，我们不防变化一下，

7、换个解题方式。首先，在等号两边各乘rr=2rsin,我们知道y=rsmx2+y2=2y=x2+(y-l)2=l这不就是半径为1、圆心在(0)的圆吗?图 图5由此，我们很容易看出：一个半径为0,圆心在(04)的圆，极坐标方程为r=2asm0同样地一个半径为o,圆心在(a,0)的圆，极坐标方程为r=2acos0如图6所示例题3试绘r=l+sin0解:这题比较诡诈。如呆我们依照上题的办法，试图把原方程转换成直角坐标，恐怕会弄得一团糟。所以，我们还是老老实实的描绘点比较好.00兀47173龙715/r3龙7龙2兀i-1+siii011.70721.70710.29300.2931图7把这些点连起来后，

8、得到图7.这个图形和心脏的外形相似，所以命名为“心脏线”。西洋情人节期间满街可看到“心形”，根真的心脏比起来，长相根本就差了一大截，图7这个图形,才是真正的心形-因为它有个拉丁名字！凡是形式为厂=（1土sin。）或r=a（l土cos。）的方程式，画出来的图形都是心脏线。中国人常说：“某某人胸怀人志洋人则说：“Shehasaheartasbigasthegreatoutdoors.（他得心脏很人）”指的就是a的人小，a愈大，心脏也愈人。方程式用的三角函数是sm还是cos,决定了这个心脏线是竖着还是横着，至于方程里的正负号，决定了凹进去的部位是朝下还是朝上以上这几题，可以说是极坐标方程里最著名的方

9、程式，而且经常在考卷上露脸，所以若要得到好成绩，最好弄得一清二楚。二、极坐标中的面积如同直角坐标中的曲线“怜I住”一块面积，极坐标中的曲线也闱住了一块面枳。我们已经学图 过，如何求直角坐标中两条曲线之间的面积，所以原则上，我们可以吧以极坐标表示的曲线,先转成直角坐标，然后求面积。不过，这有点像吧美国诗人RoberFrost写的诗，先译成俄文，然后才去决定我们喜不喜欢。因此我们最好还是来瞧瞧，如何在极坐标上直接求面积。假设我们要知道的面积，夹在两条径向线o=Q根以及曲线r=/(6)之间，而0的范围当然是Q5050图8所示图8一看到这个图，你可以把它当做一块派或比萨，分切成许多等份，来估算它的总面

10、积。说道派，数学系聚餐时常有一道饭后甜点就是柠檬派，每当柠檬派分送到每个人面前，人家所做的第一件事，就是议论应该如何计算面前这块派的面枳（每个人心里想的，实际上是究竟是谁拿到了最大的那一块）。如果这块派的半径为r,圆心角为e,就像图9那样，那简单地说，整个派的面积就是匕而你面前的那一份是整个派ude2n分之氛也就是说，你的那一块派面积等于龙尸x_乞=丄尸02兀2如果你搞不清楚数学系聚餐是怎么回爭，现在你心里应该有点谱才是，当然好戏还在后头,等到吃完了饭要付帐的时候，你就会大开眼界啦！闲话少说，言归正传，让我们回到图8的问题11-40X图10现在看看图10.我们吧介于到B的这个角分成n个等分，每

11、一等份的人小为0，而在每一个等分角中，我们再任选一个角$来代表它的角度位置，那么第1个楔形小块的半径就是厂/何）,而面积就等于A=刁（丐）&=，（/（*）&所以，整个区域的面积约等于这些小块派的面积和，写成数学式子就是:EM4x（/何）/=!Zr=l如果我们吧派饼分得更细，然后取其极限，那么这个总和变成从a到B的积分，我们也就出了整块派的面积：例题1:(看不透挡风玻璃的问题)话说你要去球场看少年棒球赛，正沿着球场旁边开着车,这时不知哪个乡巴佬有意无意的吐了一11槟榔汁，一滩血似的东西正巧落在你的挡风玻璃上。修养到家的你，一句恶言也不发，马上启动雨刷，来回刷了几下，结果是挡风玻璃上的“血渍”就散

12、开来，成了一块介于&=0、。=彳，以及21+COS&的区域(r的单位是英尺)那么请问，你那片看不同的红渍印的面积究竟有多人？解：那片血渍的形状如图11所示。利用前面方框里面的公式:A=2-(1+cos)2de1=2(i+2cos+cos2e)dedO=眾1+2沁+呼1/=O+2sm&+匕+1(3龙.7tsinA=+2sin+424)=+12.1788看样子，你只有赶紧去找家洗车点喽曲线所闌成的面枳也许你也曾注意到，挡风玻璃上的雨刷，并非每次都会回到雨刷从车体伸出来的地方。从实用观点来看应是好事，因为那地方刮了不但没啥效果，雨刷也比较容易磨损。不管道理在哪儿。结果是我们得知道，如何求两条极坐标曲

13、线之间的面积。假设我们相求,由两径向线o=q根o=b以及两曲线厂=/（&）跟厂=g（e）所围城的面积（其中，对a跟B之间的所有。来说,0/（9）（6）,如图12所示图12由于两条径向线跟曲线r=/（6）所围城的面积扌（/（&）d。，而两径向线跟另一条取下你r=g（0）所围城的面枳鳥（g（对d。,则两条曲线间的面积，就等于关于前者减去后者:心行（g（对込匸扣（对（对一（门对网例题2试求在圆尸2cos0之内却在圆尸1之外的区域的面积解:第一步：把题目做个图解，圆r=l很简单，尸2cos0借助前面的公式课的是一个圆心为（1,0）半径为1的圆。如图13所示图13所以这个题目就是要我们求出途中那块弦月的面积第二步：我们需要找出两个圆的交点，由于