直线的点斜式方程计算和应用

1、直线的点斜式方程计算和应用A(x1,y1)、B (x2,y2)的直线的斜率k_温故而知新1.直线的倾斜角与斜率k的关系是 _3.简述在直角坐标系中确定一条直线的几何要素.（1）直线上的一点和直线的倾斜角（或斜率）（2）直线上两点(90)小结：两直线的平行:(1)当两条直线中有一条直线斜率不存在时：当且仅当另一条直线的斜率也不存在，两直线互相平行； (2)当两条直线的斜率都存在时：小结：两直线的垂直:(1)当两条直线中有一条直线斜率不存在时：当且仅当另一条直线的斜率为0时，则两直线互相垂直(2)当两条直线的斜率都存在时：练习判断下列各直线是否平行或垂直(1)(2)平行垂直试试自己的能耐 直线 l

2、 过点P(2，1)，且斜率为3，点Q(x,y)是 l 上不同于P的一点，则x、y满足怎样的关系式？相信这个也难不倒你 直线l经过点 P0(x0,y0) ,且斜率为k，点P(x,y)为直线l上不同于P0的任意一点，则x、y满足的关系式是_l上的点都满足这个方程吗？l上吗？点斜式方程 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经过的一个点 和斜率 ，能否求出该直线l的方程呢？问题问题引入xyOlP0 直线经过点 ，且斜率为 ，设点 是直线上不同于点 的任意一点，因为直线 的斜率为 ，由斜率公式得：即：问题引入xyOlP0P （1）直线 上的点，其坐标都满足方程 吗？ （2）坐标满足方程 的点都在过点

3、，斜率为 的直线 上吗？ 经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是过点 ，斜率为 的直线 的方程探究概念理解 方程 由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式直线的点斜式方程xyOlP0（1） 轴所在直线的方程是什么？，或当直线 的倾斜角为 时，即 这时直线 与 轴平行或重合，xyOl的方程就是问题坐标轴的直线方程 故 轴所在直线的方程是:（2） 轴所在直线的方程是什么？，或当直线 的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时直线 与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示这时，直线 上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程就是xyOl坐标轴的直线方程问题 故 轴所在直线的方程

4、是：学会自己探究 直角坐标系上任意直线都可以用直线的点斜式方程表示吗?y-y0=0, 或 y=y0 x-x0=0,或x=x0(1)当直线l的倾斜角为0时, tan0 =0,即k=0这时直线l与x轴平行或重合,那么l的方程就是:(2)当直线l的倾斜角为90时, 斜率不存在这时直线l与y轴平行或重合,那么l的方程就是:所以:只要直线的斜率存在,直线就可以用点斜式方程来表示 例1 直线 经过点 ，且倾斜角 求直线 的点斜式方程，并画出直线 代入点斜式方程得： . 画图时，只需再找出直线 上的另一点 ，例如，取 ，得 的坐标为 ，过 的直线即为所求，如图示 解：直线 经过点 斜率 y1234xO-1-

5、2l典型例题当堂反馈：（1）经过点A（3，-1），斜率是（2）经过点B ，倾斜角是30（3）经过点C（0，3），倾斜角是0（4）经过点D（4，-2），倾斜角是120P95 1、2、3、4 2.填空题：(1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么，直线的斜率为 _,倾斜角为_.(2)已知直线的点斜式方程是 那么，直线的斜率为_,倾斜角为_. 1练习2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角：练习D练习(3)直线方程可表示成点斜式方程的条件是（A）直线的斜率存在 （B）直线的斜率不存在（C）直线不过原点 （D）不同于上述答案A练习A例四：1.下列方程表示直线的倾斜角各为多少度？ 1) 2)

6、 3) 2.方程 表示( ) A)通过点 的所有直线； B）通过点 的所有直线； C）通过点 且不垂直于x轴的所有直线； D）通过点 且去除x轴的所有直线.C（3）一直线过点 ，其倾斜角等于直线 的倾斜角的2倍，求直线 的方程.由直线的点斜式方程，得：则：解：设所求直线的斜率为k,直线 倾斜角为练习4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程解：直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得y(5) =2 ( x3 ) 即 2x + y 1 = 0自我巩固一下练习：写出下列直线的斜截式方程（1）斜率为 ，在y轴上的截距为2；（2）斜率为2，与

7、y轴交于点（0，4）拓展2:过点(1, 1)且与直线y2x7平行的直线 方程为_过点(1, 1)且与直线y2x7垂直的直线 方程为_思维拓展数学运用：例三：求过点A（1，2)且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。解：即：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形由直线的点斜式方程得：又直线过点（1，2）OyxA 如果直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 ，代入直线的点斜式方程，得： 也就是：xyOlb 我们把直线与 轴交点的纵坐标b叫做直线在轴上的截距 该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式直线的斜截式方程 观察方程 ，它的形式具有什么特点？我们发现，左

8、端 的系数恒为1，右端 的系数 和常数项 均有明显的几何意义： 是直线的斜率， 是直线在 轴上的截距直线的斜截式方程问题学习数学要善于发现问题 比较直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)与一次函数解析式：y=kx+b，你有什么发现？斜截式方程:斜率截距系数为1 方程 与我们学过的一次函数的表达式类似我们知道，一次函数的图象是一条直线你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？一次函数中 和 的几何意义是什么？ 你能说出一次函数 及 图象的特点吗？问题直线的斜截式方程5写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是2，在y轴上的截距是3；(2)倾斜角是60，在y轴上的截距是6；(3)倾斜角是30，在y轴上

9、的截距是0.3.写出斜率为 ,在y轴上的截距是-2的直线方程. 1y =x-2 例2 已知直线 ，试讨论：（1） 的条件是什么？（2） 的条件是什么？ 解：（1）若 ，则 ，此时 与 轴的交点不同，即 ；反之， ，且 时， （2）若 ，则 ；反之， 时， 典型例题 例2 已知直线 ，试讨论：（1） 的条件是什么？（2） 的条件是什么？ 解：于是我们得到，对于直线：,且 ；典型例题拓展1:过点(2, 1)且平行于x轴的直线方程为_过点(2, 1)且平行于y轴的直线方程为_过点(2, 1)且过原点的直线方程为_过点(2, 1)且过点(1, 2)的直线方程为_思维拓展（1）直线的点斜式方程：（2）直

10、线的斜截式方程:xyOlP0知识小结xyOlb注意：直线上任意一点P与这条直线上一个定点P1所确定的斜率都相等。 当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x-x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1），而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。 如直线l过P1且平行于x轴，则它的斜率k=0，由点斜式 知方程为y=y0;如果直线l过P1且平行于Y轴，此时它的倾斜角是900，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线上任一点的横坐标x都等于P1的横

11、坐标所以方程为x=x1 P为直线上的任意一点，它的 位置与方程无关OxyP1P 例1已知直线l过点A(2，3) (1)若l与过点(4,4)和(3,2)的直线l平行，求其方程； (2)若l与过点(4,4)和(3,2)的直线l垂直，求其方程 思路点拨首先由斜率公式求出直线l的斜率，再由直线平行与垂直的条件求出直线l的斜率，最后由点斜式写出直线方程1直线l的点斜式方程是y23(x1)，则直线l的斜率是 ()A2B1C3 D3答案：C2写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45；解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y54(x2)(

12、2)直线的倾斜角为45，此直线的斜率ktan451.直线的点斜式方程为y3x2.解： (3)直线与x轴平行，倾斜角为0，斜率k0.直线的点斜式方程为y10(x1)，即y1.2写出下列直线的点斜式方程：(3)经过点C(1，1)，与x轴平行 例2已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程精解详析由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又ll1，l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.3已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为2，则直线l的斜截式方程为_4直线l的方程为ya(a1)(x2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a_. 例3（12分)直线l过定点A(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程 思路点拨本题可设出直线l的斜率为k，得出其点斜式方程分别令x0，y0求出直线在x轴、y轴的截距，利用其面积为4进行求解7光线自点M(2,3)射到y轴的点