不定积分几种基本方法

1、微积分讲课提纲微积分（I）讲课人：朱静芬E-mail:1第二节 不定积分的几种基本方法第四章 不定积分一. 凑微分法(第一换元法)二. 变量代换法(第二换元法)三. 分部积分法2不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的. 现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法. 它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.3问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法(凑微分法)4在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理5第一类换

2、元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为定理(凑微分法)凑微分法的步骤6例 求解（一）解（二）解（三）7例 求解一般地8例 求解9例 求解10例.证明:(1)(2) (3)(4)说明以上四式可作为公式用.11(1).证(2). (3 ).12例 求解13例 求解14例 求解15例.求16例 求原式解17例 求解18例 求解（一）（使用了三角函数恒等变形）19解（二）类似地可推出20例解21说明1)用凑微分法计算不定积分,常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换. 2)有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分.例求22解例 设 求 .令23例 求解24解：25问题解决方法改变中间变量

3、的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法(变量代换法)26证设 为 的原函数,令则则有换元公式定理27第二类积分换元公式28例 求解令29例 求解令30例 求解令31说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令32说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例 中, 令33 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例 求（三角代换很繁琐）令解34例 求解令35说明(4)当分母的阶较高时, 可采用倒代换例 求令解36例

4、 求解令（分母的阶较高）3738说明(5)例 求解令当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 3940基本积分表4142解例：求积分43解例：44解：45配方解：46解：47即(1)(1)称为分部积分公式三、分部积分法48定理：49一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 幂函数与指数函数之积 指数函数与对数函数之积 一个函数难于用其它方法积分 两个函数的乘积 50说明51例 求积分解（再次使用分部积分法）总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)52例 求积分解令53例 求积分解总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .54例 求积分解55例 求积分解注意循环形式56