2.1.1-合情推理(归纳类比推理)

1、第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理（归纳推理）归纳推理哥德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 1037，20317，301317偶数奇质数奇质数63+3，注 一个偶数(不小于6)总可表示成两个奇质数之和； 没有发现反例 .83+5，105+5，125+7，147+7，165+11， 1 00029+971，归纳推理的定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.(部分整体)(个别 一般)归纳法又分为不完全归纳法和完

2、全归纳法. 不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严 格的证明,但它可以为我们的研究提供一种方向.示例1： 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象,它们受热后分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼此距离加大,从而导致体积膨胀. 所以,_;所有的金属受热后都体积膨胀示例2： 磨擦双手（S1 ）能产生热（P）， 敲击石头（S2 ）能产生热（P） ， 锤击铁块（S3 ）能产生热（P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 所以,_;物质运动能产生热示例3.观察下图,可以发现怎样的结论:1+3+(2n1)=n21+3

3、=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，.已知数列an的第1项a1=1，且（n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式.分别把n=1,2,3,4代入 得:归纳:(可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.)解法:示例4:归纳推理的一般步骤： 检验猜想.即: 提出带有规律性的结论，即猜想； 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；试验、观察概括、推广猜测一般性结论归纳推理的几个特点:1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.

4、3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上,提出带有规律性的结论(需证明),由此可作为进一步研究的起点,从而发现问题和提出问题.练2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分,画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.则有：(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n(n2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?累加得:分析:1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯

5、.2.仿照鱼类的外型和其在水中沉浮的原理,发明潜水艇.3.科学家对火星研究,发现其与地球有许多类似的特征: 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想:火星上也可能有生命存在.4.利用平面向量基本定理类比得到空间向量基本定理.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理,简称:类比法.2.类比推理的几个特点(1)类比是从人们已掌握的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧的认识为基础,类比出新的结果.(2)类比是从一种事物的

6、特殊属性推测另一种事物的特殊属性.(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能.1.类比推理定义 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理平面向量空间向量若 ， 则 若 ， 则 举例2.利用平面向量的性质类比空间向量的性质示例1.(2003年新课程)在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 .DABCEx1（2004广东，15）由图(1)有面积关系:则由图(2)有体积关系:图(1)图(2)类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想； 检验猜想.即观察、比较 联想、类推 猜测新的结论归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理都是根据已有的事