弯曲变形横力时的正应力

1、)(y 横力弯曲时的正应力I z横力弯曲时的切应力SF Szmaxzzd A矩形截面梁切应力分布：yy1y弯曲内力在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。在外力作用下，弯曲变形空间位置的变化规律。研究弯曲变形的目的:刚度计算； 解简单的超静定梁。材料力学解决问题的步骤：强度条件应力外力内力刚度条件变形工程实际问题解决超静定强度、刚度校核截面尺寸设计载荷确定弯曲变形6-36-4用叠加法求弯曲变形梁的刚度校核6-5 简单超静定梁6-1 扰曲线的微分方程6-2 用积分法求弯曲变形6-1扰曲线的微分方程1、挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线

2、在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。w =f (x)挠曲线方程：2、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，用w表示。与y同向为正，反向为负。转角3、转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示。xw扰曲线扰度Y轴与扰曲线夹角或者x轴与扰曲线切线夹角由变形前的横截面转到变形，C1y 顺时针为正；逆时针为负。CF6-1扰曲线的微分方程注：扰度和转角是度量弯曲变形的两个基本量x4、转角与挠曲线的关系：dwwC1 tan dw df x 小变形ydxdx注：挠曲线上任意点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。CFdx6-1扰曲线的微分方程5、挠曲线近似微分方程纯弯曲时曲率与弯矩的关系 曲率与

3、弯矩的关系1MEI 1 M x横力弯曲时, M 和 都是x的 函数.略去剪力的影响, 则高等数学得到平面曲线的曲率：1 xEIw(x) x321 w2 (x)曲率与扰曲线关系w l1 w2 1因为在小变形情况下：w M xEI 1 wx扰曲线与弯矩关系w M x6-1扰曲线的微分方程EIxx坐标系：MMyyM xw 即：EIEIw M x对等直梁：挠曲线的近似微分方程（1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2 项;近似: tan（3）6-2用积分法求弯曲变形6-2用积分法求弯曲变形步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分

4、x)EIw (M(M()挠x 曲线的近似微分方程()x) EIw()xd1x积分一次C得转角方程w EI( x ) d M(再积分一次,得挠度方程( Cx D11C1、D1为待定常数，由梁的边界条件（包括位移约束和连续条件）确定。6-2用积分法求弯曲变形注意：积分常数的数目取决于弯矩M的分段数目，分n段则积分常数为2n个3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。边界条件：其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。6-2用积分法求弯曲变形

5、位移边界条件：wA 0,wB 0FABCww连续条件：左右CC 左右CCFDwD 0, D 0位移边界条件、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。6-2用积分法求弯曲变形4、确定挠曲线方程和转角方程 。5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。写出图示各梁的边界条件llKaallaK6-2用积分法求弯曲变形积分常数C、D条件确定。由梁的位移边界条件和光滑连续位移边界条件光滑连续条件 yAR yAR 0 0yALyALyAyA 弹簧变形y 0A ALARAAAAAAA6-2用

6、积分法求弯曲变形-例1由积分法求图示梁的wA、A。Fx解：1、弯矩方程xABM (x) Fxly2、微分方程及积分EIw F x2 CEIw Fx2EIw F x3 Cx D66-2用积分法求弯曲变形-例13、确定积分常数:23w 0 C Fl D Flw 0 x l :;234、转角方程，挠曲线方程:FFw (l 2 x2 ) ,w (x3 3l 2 x 2l3 )2EI6EI5、最大转角和最大挠度:Fl 2Fl3 2EI3EIwA（逆时针）wA（向下）求分布载荷作用下的最大ql/2ql/2q挠度 和最大转角( EI = 常数 ）解：1 建立坐标系并写出弯矩方程2ABCqlqxqM (x (

7、lx2x)x2Lx224确定挠曲线和转角方程2写出微分方程并积分EIw q (lx x 2 )qxw (l3 2lx2 x3 )24EI2qlx 2x3EIw q ( w (l3 6lx2 4x3 ) C124EI22343EIw q ( lxx5最大挠度及最大转角) C x C1226125 ql 4w m a x3应用位移边界条件求积分常数x=0 , w=0 ; x=L , w=0 .ql 3 L 2384 E Ix ql 3AC1 ,C2 0m a x24 E I24B6-2用积分法求弯曲变形-例3Fbab例：求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数）a b l解：1建立坐标系并写出弯矩方

8、程lFaFlBx1ACFbFbx2M (x2 ) F (x2 a)M (x1 ) x2x1LL2写出微分方程并积分左侧段（0 x1a）：右侧段（ax2L）：EIw Fb xFb xF (xa)EIw 222LFb11LFb F (x2 a)2EIw2 C2EIw1 C1222xx12L22 L F (x2 a)Fb x 33 FbEIw C x D C2 x2 D232EIwx1111126 L6L63应用位移边界条件和连续条件求积分常数x = 0 , w1= 0 ; x = L , w2 = 0 .x1 = x2 = a ，w1 =w2 ；w= w12C C Fb (L2 b2 );D D

9、012126L4 确定挠曲线和转角方程FbLFbx1w (x a) x(L b )x3322L2 b2 x2 w 6LEI 2222 6LEI b11L (x a)2 x 2 1(L2 b2)FbFb w w (L2 b2 ) 3x 2 2LEI b6LEI 222211135 跨中点挠度及两端端截面的转角FbFb wL2 4b2 (3L2 4b2 );w24LEI x Lx L48EI22 Fab(L b) ; Fab(L a)两端支座处的转角AB6LEI6LEI：1、此梁的最大挠度和最大转角。1max w1 0 x12 max w2 0 x2 L 0右左侧段：侧 Fab(L b)6LEIF

10、ab(L a) 段： 2 max B 1maxA6LEIFb当 ab 时ablFa lBFab(L)aFxmaxB6LEI1A当 ab 时最大挠度发生在AC段Cx2L ba(a 2b)22 w 0 xwmax133x1 a 最大挠度一定在左侧段Fb w(l 2 b2 )3wx x1max193LEI6-2用积分法求弯曲变形-例32、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。abAFL2max ;16EIFBABFL3C wC48EIwmaxx L26-2用积分法求弯曲变形-例33、最大扰度：(假设l=1m, a=0.8,b=0.2)当 ab 时Fb(3L2 4b2 ) 0.011833F / EIw

11、x L48EI2Fb w b2 )3 0.012068F / EI(l 2wx x1max193LEIFbablFaFlBx两者相差1.94%!1ACx2FbFb(l 2 b2 )3(3L2 4b2 )wwmaxx L48EI93LEI2当载荷接近于右支座（ab），即b很小时：Fbl 2Fbl 2wmax0.0642EI93EIC截面处的挠度为：而此时Fbl 2Fbl 2wC0. 16EI0625EI两者相差不超过3% !因此，在中，只要挠曲线无拐点，即可用中点挠度来代替最大挠度。6-2用积分法求弯曲变形-例3小结：(1) 两段：4个常数，每增加一段，就增加 2个常数；(2) 由约束和连续条件

12、求积分常数；坐标原点一律放在左边，分段写出M(x)；注意x的范围。6-2用积分法求弯曲变形-例4由积分法求图示梁的wA、A。xFxAy解：1建立坐标系并写出弯矩方程(分两段分析)M1 x Fx, 0 x a,M 2 x Fx Faa x 2a2写出微分方程并积分FaEIBxaCa6-2用积分法求弯曲变形-例4左侧段（0 x1a）：EIw1 Fx1右侧段（ax22a）：EIw2 Fx Fa12EIw Fx Fax C2EIw C2Fx22112EIw 1 Fx3 C x DEIw 1 Fx3 1 Fax2Cx D1112226623应用位移边界条件和连续条件求积分常数w2 w2 0w1 w2；w

13、1 w2x 2ax a处，边界条件：连续条件：处，6-2用积分法求弯曲变形-例4D 2 Fa3C 0223D 7 Fa3C Fa2；1164确定扰度和转角7Fa3wA w1 D1（向下）x06EI2 Fa w C（逆时针）A11x0EI6-2用积分法求弯曲变形-例53qll / 2l / 2例：求图示梁的两端的转角（EI=常数）和最大扰度解：1建立坐标系并写出弯矩方程8ql8Bxq1ACx2M (x ) 3ql x 1 qx2M (x ) 1 ql(l x)111228282写出微分方程并积分左侧段（0 x1l/2）：右侧段（l/2x l）：2EIw 1 ql(l x )ql EIw xqx

14、222811183 ql 2161EIw ql(l xC)2EIw Cx 2qx 322216 1 481116 ql 16 EIw ql(l xC xD)3 1 24 EI qC222223应用位移边界条件和连续条件求积分常数x = 0 , w1= 0 ; x = l , w2 = 0 .x1 = x2 = l/2 ，w1 =w2 ；w= w12两端支座处的转角3ql37ql3AB;128EI 384EIx1 0.46lwmax最大扰度5.04ql 4768EI跨中扰度5.0ql 4w 768EI转角挠度MlM l 2ym axmax2 EI EI2Pl Pl 3ymaxmax2 EI3 E

15、I34qlqlymaxmax6 EI8 EIM l 3MlMly m a x、3 EI6 EI93 E I Z3P lP l 2ym axm a x16 E I48 E I ZZ3ql 5 ql 4y m a xm a x24 E I384 E IZZnks !思考题端作用集中力偶M（纯弯曲），思考题：图示所示的悬臂梁，1 M问按照积分法求出的抛物线形状？根据纯弯曲时应该为什么？为何有这种差别？误差多大？扰曲线形状EI积分法：22wM Mxxxw 精确解：EIwEI2EI2RMyR M3/ 21 w2 当R100m，x=1m：w R x2R2积分法解0.005000m精确解0.00500013m练习题用积分法求梁的扰曲线方程及为常数端的扰度和转角，EIMAFA 3ql/ 82MAFA ql / 2FA ql