上海市松江区2021届高三下学期4月模拟考质量监控(二模)数学试卷含解析

1、松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学(满分150分，完卷时间120分钟)2021.4考生注意:.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求， 所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。.答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题(本大题共有12题，？t分54分)考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第16题每个空格填对得 4分，第712题每个空格填对得 5分，否则一律得零分.已知集合 A x| x 1 1, B 1,2,3,则 aCb .若复数z满足z

2、(1 i) 2 (i为虚数单位)，则z .已知向量a (4, 2),b (k,2),若a b ,则实数k.在(x 2)6的二项展开式中，x3项的系数为 .(结果用数值表示).如图所示，在平行六面体 ABCD ABC1D1中，AC1n B1D1 F ,若 AF xAB yAD zAA1 ,则 x y z.若函数f(x) Jx a的反函数的图像经过点(2,1),则 a.已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为.因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从 5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为9.已知函数

3、y tan x 的图像关于点 一,0对称，且| | 1,则实数 的值为63.如图，已知 AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内（含边界），则 AP BP的取值范围是.已知曲线C: xy 2 （1 x 2）,若对于曲线C上的任意一点P（x, y）,都有 xyqxyq 0,则GG的最小值为12.在数列an中，a13,an,1,、，一11al a2 a3an,记Tn为数列一的刖n项 an和，则lim Tnn、选择题（本大题共有 4题，？t分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.经过点1,1 ,且方向向量为 1,2

4、的直线方程是（）A. 2x y 1 0 B. 2x y 3 0 C. x 2y 1 0.设，表示两个不同的平面，l表示一条直线，且lA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.已知实数a、b满足（a 2）（b 1） 8 ,有结论：存在a 0, b 0 ,使得ab取到最小值；b取到最小值.正确的判断是（D. x 2y 3 0，则l / /是 /的（）既非充分又非必要条件存在a 0,b 0,使得aA.成立，成立C.成立，不成立116.已知函数f（x） |2x xB.不成立，不成立D.不成立，成立a |.若存在相异的实数 Xi , x2(,0),使彳导 f Xif X2成立，则实数a的取值范

5、围为A. B.(，2)C. ，D. ( 2,)、解答题(本大题满分 76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图，S是圆雉的顶点，O是底面圆的圆心，AB,CD是底面圆的两条直径，且 AB CD,SO 4,OB 2, P为SB的中点.(1)求异面直线SA与PD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)求点S到平面PCD的距离.18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知函数f(x) 2x a 2 x (a为常数，a R).(1)讨论函

6、数f(x)的奇偶性；(2)当f(x)为偶函数时，若方程 f(2x) kf (x) 3在x 0,1上有实根，求实数 k的取值范围。19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花 .已知扇形的半径为100米，圆心角为-,3点P在扇形的弧上，点 Q在OB上，且PQ/OA.(1)当Q是OB的中点时，求PQ的长；(精确到米)(2)已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米.要使郁金香种植区 小OPQ的面积尽可

7、能的大，求 OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本.(精确到元)20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题?黄分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.2已知抛物线y2 4x的焦点为F ,直线l交抛物线于不同的 A, B两点.(1)若直线l的方程为y x 1,求线段AB的长；(2)经过点P( 1,0)，点A关于x轴的对称点为 A ,求证：A,F,B三点共线；(3)若直线l经过点M (8, 4),抛物线上是否存在定点 N ,使得以线段 AB为直径的圆恒过点N?若存在，求出点 N的坐标，若不存在，请说明理由.21 （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分

8、 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分- . .* _ .对于至少有三项的实数列an ，若对任意的 n n N , n 3 ，都存在 s,t （其中*s t,s,t N ,s n,t n ，使得anasat 成立，则称数列an 具有性质 P .（1）分别判断数列 1,2,3,4 和数列 1,0,1,2 是否具有性质P ，请说明理由；（2）已知数列an 是公差为 d（d 0） 的等差数列，若bnsin an , 且数列 an 和bn 都具有性质P ，求公差 d 的最小值；（ 3）已知数列cn| n a | b （其中 a b, a, b N * ，试探求数列cn 具有性质P

9、 的充要条件.松江区 2020 学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 2021.4考生注意：1 本考试设试卷和答题纸两部分， 试卷包括试题与答题要求， 所有答题必须涂 （选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题(本大题共有 12题，？t分54分)考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果，第16题每个空格填对得 4分，第712题每个空格填对得 5分，否则一律得零 分.已知集合 A x| x 1 1, B

10、1,2,3,则 AhB .【解析】A x|x 11 10,2 ,B 1,2,3,所以 APB 1.若复数z满足z (1 i) 2 (i为虚数单位)，则z .【解析】因为z (1 i) 2 ,所以z 2- 1 i .i.已知向量a (4, 2),b (k,2)，若a b ,则实数k .【解析】因为a b ,所以a b 4k 4 0,所以k 1.在(x 2)6的二项展开式中，x3项的系数为 .(结果用数值表示)【解析】x3的系数为C323 160.如图所示，在平行六面体 ABCD ABC1D1中， AC1nBiD1 F ,若 AF xAB yAD zAA；, 则 x y z . TOC o 1-5

11、 h z 【解析】 1 1 AF AA1AFAA1 -A1C1AA1(AB AD), HYPERLINK l bookmark117 o Current Document 2-1， 一八所以x y -,z 1 ,所以x y z 2. 2.若函数f(x) Jx a的反函数的图像经过点(2,1),则a 【解析】由题意得f (x)的图像经过点(1,2),所以2所以a3.已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为【解析】由题意，设正方体的棱长和圆柱的母线均为a ,圆柱的底面半径为因为正方体的和圆柱的侧面积相等，所以2/2a4a 2 ra ,所以r ，32则正方体和圆柱的

12、体积之比为a : r a2.4a2a :48.因新冠肺炎疫情防控需要,某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作,选派的三人中至少有1名女医生的概率为【解析】直接法：所求概率为c；c；C42C5C： 74一843742，间接法：所求概率为C3c310 3784 429.已知函数ytan x 一 6的图像关于点,0对称, 31,则实数 的值为【解析】因为ytan x的对称中心为kt，0,ktanx 的图像关于点6对称，所以一3所以3k 2因为|2,1.10.如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内(含边界)，则AP BP的取值范围是2【解

13、析】取AB中点C ,由极化恒等式得 AP BP PC因为点P在正六边形内(含边界)，易得PC1 AB24八130,2所以AP BP的取值范围是1,34PC211.已知曲线C: xy 2 (1 x 2),若对于曲线 C上的任意一点 P(x, y),都有【解析】曲线C: xy 2(1 x 2)是第一象限的双曲线的一部分,因为对于曲线C上的任意一点P(x,y),都有x y c1 x y C20,所以曲线C在两条直线x yCi0 和 x yC20之间,数形结合，当直线 x y Ci0 和 x y c20 一条经过点(1,2),(2,1),另一条与双曲线相切时,C| C2最小,不妨设直线x y Ci0经

14、过点(1,2),(2,1),此时C13设直线x y C2 0与双曲线相切，此时 C2272,故C| C2的最小值为3 272.12.在数列an中，司3,an 11 a a2 a3，an,记Tn为数列1 十 的刖n项an和，则lim Tn n【解析】因为an 11a a2 a3 an,所以 an 2a2 an11 an 11an 1 1所以1an 211an 11an 1an 1an 1所以an 1an 1 1 an 21所以Tn-a2a3an1an 11an 111a2 11a3 11a3 11a4 11an 112,所以 lim Tnn3二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有个

15、正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.经过点1,1 ,且方向向量为 1,2的直线方程是（）A. 2x y 1 0 B. 2x y 3 0 C. x 2y 1 0 D. x 2y 3 0【解析】方向向量为（1,2）,则法向量为（2, 1）,又经过点（1,1）,故所求直线方程为 2x y 1 0 ,选A.则l / /是 /的（）.设，表示两个不同的平面，l表示一条直线，且lA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【解析】l/不一定能推出/ ，要两条相交直线都和平行,反之,/ 一定能推出l / ，故为必要非充分条件，

16、选B.已知实数a、b满足（a 2）（b 1） 8 ,有结论： 存在a 0,b 0 ,使得ab取到最小值；存在a 0,b 0,使得a b取到最小值.正确的判断是（）A.成立，成立B.不成立，不成立C.成立，不成立D.不成立，成立【解析】因为（a 2）（b 1） 8,所以ab a 2b 6,所以a 2b 6 ab 2J206 ,即Tab & Tab 3& 0,所以ab 2,当且仅当a 2,b 1时取等号,故正确；因为（a 2）（b 1） 8,所以 a 2, b 1 TOC o 1-5 h z 8 一 .8 一所以 a b b 2 b 1 3,又 a 0,b 0,b 1b 1显然a b无最小值，有最

17、大值，故 错误； 故选C., 一 一 1.已知函数f（x） |2x a |.若存在相异的实数x1,x2（,0）,使彳导f Xif x2x成立，则实数a的取值范围为（A.【解析】,22B.(C 2 口. 20,当x,0)时,f(x)a单调递减，不合题意，所以a 0,所以f(x)2xa, xf(x) x2xa, xa2 a2a时,2 ，f(x)-2x xa单调递减，f(x)minaaa-,0时，若一22-2 ,由对勾函数的单调性得f (x)2 ,a、2f (一)一，不合题意;2 a,由基本不等式得2f(x)由题意得2,2 a2，2，恒成立，故2即a (, J2),故选B.1 -、，-2x a单调递

18、减, x、解答题(本大题满分 76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图，S是圆雉的顶点,O是底面圆的圆心，AB,CD是底面圆的两条直径,且AB CD ,SO 4,OB 2, P为SB的中点.(1)求异面直线SA与PD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)求点S到平面PCD的距离.【解析】(1).2 arcsin3(2)4.5.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知函数f(x) 2x a 2 x (a为常数，a R).(1)讨论函数

19、f(x)的奇偶性；(2)当f(x)为偶函数时，若方程 f(2x) k f(x) 3在x 0,1上有实根，求实数 k的取 值范围。【解析】(1)由已知得，f (x) 2x a 2 x所以 f( x) 2 x a2 ( x) 2 x a 2x当a 1时，f ( x) f(x) , f x为偶函数；当a 1时，f ( x) f(x), f x为奇函数；当a 1时，f( x) f (x)且f( x) f(x),所以f x为非奇非偶函数(2)由(1)知，a 1时f x为偶函数，所以f(x)2x方程 f(2x) k f (x) 3 即 22x 2 2x k 2x 2 x在x 0,1上有实数根，令2xt ,

20、则t 1,2211即t2万k t 3t2tt2 t12 3 k t t(t ；)251,_15y t - 2当且仅当时等号成立，所以 t -2-tt 21555令t - m, m 2,一,即 k m m 2,t2m25七只需y k与y m 一有父点即可 m_ 5 ,5_ 5 2,-时，y m 2在m2,-上递增y m2m22222.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花 .已知扇形的半径为100米，圆心角为-,3点P在扇形的弧上，点 Q在O

21、B上，且PQ/OA.(1)当Q是OB的中点时，求PQ的长；(精确到米)(2)已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方域AOB种植花卉的总成本.(精确到元)米.要使郁金香种植区 小OPQ的面积尽可能的大，求 OPQ面积的最大值，并求此时扇形区【解析】(1) 115米(2) Smax 2500百，总成本20 .(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知抛物线y2 4x的焦点为F ,直线l交抛物线于不同的 A, B两点.(1)若直线l的方程为y x 1,求线段AB的长；(2)经过点P( 1,0)，点A关于x轴的对称点为 A ,求证：A,F,B三点共线；(3)若直线l经过点M (8, 4),抛物线上是否存在定点 N ,使得以线段 AB为直径的圆恒过 点N?若存在，求出点 N的坐标，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知得，若直线l的方程为y x 1,过焦点F 1,0y x 12联立 2化简得，x2 6x 1 0y 4x所以线段AB的长AB Xa Xb 2 8(2)略(3)假设存在点2N