考研数学历年真题答案解析-2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

1、当.itO时,若x-lan工与小是同阶无穷小，则后=（）A.1B.2C.3D.4参考答案c答案解析x5_r1 x3.x-tan.丫一,lim-二一一lim三二cEO 所以二3. 故选 C3-3./设函数仆）=/叫”则x=O是/的（） X hi .X, x 0,A.可导点，极值点B.不可导点，极值点C.可导点，非极值点D.不可导点，非极值点参考答案B答案解析 #根据导数的定义./（.x）-/（0）-x2-0hin= liiii= 0.x-xr x xlun /一和=Um lux不存在， xW x r-M?故K=0是/&）的不可导点.当 x 0,当 0cxec一 时，fx） = In x +1 3

2、D.一疗-.4一jg参考答案c答案解析由/ +4=2石，可知矩阵的特征值满足方程万+久一2=0,解得2=1 或;1=-2.再由|N = 4 ,可知 =14=4 二 一2,所以规范形为y； -11一.琏, 故选C.（）A. 7（/） = 2,尸（=3B.7（/）=2,r（7） = 2C.7（J）=1,7（J）=2D.7（A） = L7（A） = 1参考答案A答案解析由题设知，三个平面无公共交点，故方程组无解，则7(月)加(工). 又因为它们两两相交.说明其中任意两个平面不平行,所以 iA) 2 ,故选 A.T设48为随机事件,则尸。)二尸(5)的充分必要条件是()A.P(4UK) =“) +尸(

3、8)B.P(AB) = P(.4)P(B)C.P(J5) = P(5J)T.PAB)=P(AB)参考答案C答案解析P(A 3) = P(A) - PA B = P(B)-P(AB因此尸(幺否)二尸(8力)。尸Q)=?(3),故选C.设随机变量x与y相互独立，且都服从正态分布则PX-Y1()A.与4无关，而与，有关B.与有关,而与，无关C与,人都有关D.与/,都无关参考答案A答案解析闪为XNQ1. CT21丫N(.且XI相互独立,X _ V所以 X - V N(0.2b? I N(0.1).x/2a所以尸|丫_门 -siiix)4-xv，1 & 1+cosx dx cosjdz参考答案答案解析V

4、 x十COSX COS生a，E= /(X-cos 笨)+j，f =/() cos y+x, afynil 1&1 dz v x则-+=-4 cosx ox cosy cy cos.x cosy 10微分方程2W-y-2=0满足条件y(0)=1的特解y =参考答案y二.答案解析 13 方程变形为上r办二。丫，有11】（2+介=工4。, 2 +y .由 v（0） = 1 得。=In 3 ,可彳导 2 + y = 3ex 故所求特解为J，= j3e-2.11基级数尤在（0,+叫内的和函数$（工）= M ，）！参考答案cosVx.答案解析利用余弦函数的暴级数展开式8 %) = (T)(T)，(2刈！(

5、2)!12设E为曲面/十产+45=4（2之0）的上侧，贝IJ j V4-x2 -4z2dxdy =.32参考答案3 答案解析 曲面，在面上的投影为。二（1,丁） I/十./ W 4,代入曲面方程化简| J / 一毋小冲=fj| v|yA =JJ| ydxdy D= 21def；siiiaa=?.设/=(%,%)为三阶矩阵，若四,%线性无关，且% = -%+2%，则线性方程组，上=()的通解为.参考答案ML-2.1才为任意常数.答案解析 由条件名.生线性无关,可知r(4)22.又因为生二一4+ 2生.所以厂(，)E-1 =.2参考答案3 答案解析由条件 aJ知 EX - j；.寸 (、)杰二，-

6、 = dt = g.由 F(x) = Q f3dt,得 F(x)=0. x 0.,0 x$ =尸2X看=去=:15设函数j(.x)是微分方程，十盯=e亍满足条件y(0) = 0的特解.(2)求曲线的凹凸区间及拐点.(1) y(x) = xe : (2 )凹区间为(-0 )和(+s) ,凸区间为(-吗3 )和(0, -x/s )._3_3余考法女拐点为(一道，-J3e 2)，(0,0) (5/3,ye 2).答案解析(1)由题可知方程为一阶线性方程，由通解公式可得通解为y = e| e 2 .-q - (.v + C)X2再由武0) = 0可得。=0，故特解为yx)=工。-1._二(2)由 y(

7、x) = xe 2 知x*X-:ry = (1一 x2 . 2 , y9t =(工，一 3x)e 2 = x(x2 一 3)e 2 .令ytr =-3)e - = 0 行玉=0,.叼=-y/3.x3 =出.当 x 一色或 0cxe W 时.yx) 0.由此可知，曲线叫的区间为(-玉田。)和(W,”)：凸的区问为(哈 一万)和(0,布).拐点为(一石，一百/) , (0,0),32).16设a。为实数.函数z = 2十ad十勿2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向1 = -31 -4,的方向导数最大，最大值为10.(1)求a,分；(2)求曲面工=2十ad十 F(工之0)的面积.(1)。= b =

8、 1 ： (2)竺参考答案3答案解析（1）函数在（3,4）点的梯度为gr*d七=2d,2力限）=6a泌.6a _ 8b由题意知三一二解得。=。=一1或q = /,二i（舍去）.46）2 十侬A 二 10.（2）曲面方程为2 = 2-公-/（1之0）,其在xQ，面上的投影为D = （.v.y） | a2 +y2 xa/1-.v2 ,则xnsjl-x:去 xyjl-x1 dx，即% 上 生+，从而数列 S” 单调 递减.I J 134 二口0？烝=一/dQ3)=-1 Q * 族 + H 卜 I (1-工 2 族 dx3o 3=? J：Q )-二小二一产57 aLe匚?小 从而有卬=*( = 2,3

9、,).77+2(2)由于凡单调递减，且生0,则2一生% = 1.0 x2% an又lim乌-=Hui- = L由夹逼定理得11111乌_ = 1.4T 广+ 27；* J19设。是由锥面工, -h(v-z)2=(l-z)2(0z ,则V = fU cbcdydz =应 j j dxdy =(应1 z)，走=J TOC o 1-5 h z 甘.00.03ydxdydz =r应= j：龙Hgj： z + rsin 0)rdrft7 F小(j)在哈fjj zdxdydz - |.於 jf zdxdy (而(1 -z);由二三.f-。瓦o12fj( ydxdydzff( zdxdydz所以 v = -

10、=.z =-=. V 4, V 4故Q的形心坐标为(0)一设。的形心坐标为(兀刁，因为。关于 仑平面对称，所以1=0,时于OSnWI,记2=(乂则/ + (尸zW(l ,则V = cbxh,dz =龙 f | dxdy = j 双1 z)*(dz =二 TOC o 1-5 h z d、o 五 .03ydxch,dz =a jf ydxdy = &dQ (z +rsin &)rdy=J：.(一尸龙哈f zdxdydz -1龙 jf zdxdy- = 1 7Lz( -z):龙二三.宝。五、。12fff zdxdydz V -4j( ydxdydz 所以手=工=J4故c的形心坐标为(oil). 4

11、4 20 #20 设向量组 =(L2.1)，4=(1.3,2)，生=(La3)，为义的一个基,P = (L1, if在这个基下的坐标(b, OR.(1 )求。也C ；(2)证明多,广为义的一个基，并求多，小、分到外,0的过 渡矩阵.O 11 O1 - 21 一二C2)参考答案答案解析 1 13 。二4一。工0,2 31(1)因弓,弓,生是3的基|%.%1=21.乂 B在基%,生下坐标为即+c生+% = B.6 + c +1 = 1,1 1(2)因为|%.%户1= 3 3 2 3有 2c + 3c + c = 1.解得 a = 3,b = 2,c = -2 . b + 2c + 3 =1,11=

12、2f0%.生.线性无关，从而1生也是的基,0 0 2山夕=2 - 2%+ 生,有1%,生二(%.%.%) 10-20 110是(仁,/.生)=(4,/) 1X001、-10100 10那么山基%,户到生的过渡矩阵C =1 Oo O1-2 1-221-2 -212 1 0己知矩阵工二2 x -2与6二0-10相似.00-20 0 V求x,y；(2)求可逆矩阵P使得小二反1 1-1 -20 -4/1参考答案1 = 3,产-2； (2) -20答案解析(1)因为矩阵/与3相似,所以力(4)=(5).|1=|毕,即解律.|4.r-8 = -2j,(2)矩阵6的特征多项式为|彳石- 6 | = (X-

13、2X% +1X： + 2), 所以6的特征值为2,-1,-2.由于M与6相似，所以.4的特征值也为2,-1,-2.A的属于特征值2的特征向量为。=(1,-2,0)1；A的属于特征值-1的特征向量为刍=(-2,1,O)T ；A的属于特征值-2的恃征向量为5=(1-2,-4)t. TOC o 1-5 h z ，2 00记4二(仄以备).于是片一44=0-10,K 0-2)B的属特征值2的特征向量为Q =(L0.0)7 .B的属于特征值-1的特征向量为rji = (LT 0)T ：B的属于特征值-2的特征向鼠为生 =(0、0,1)二2 00、记4=(小小.小)，于是百一1即=o-io,I。-2,由甲

14、叫=pJbr，得(4t)t/(4与t)=方则 = 5.2223 设随机变量矛与y相互独立，服从参数为1的指数分布，y 的概率 分布为 pr=-i = p. pr = i=i-p(op) 令 z = xr.(1)求z的概率密度；为何值时,X与Z不相关？X与Z是否相互独立？Z的概率密度为上二卜：百1参考答案不独立答案解析z的分梯函数为Fz(z)=PZz=PXY .z Y = -lPr = -1 + PAT zY = 1PF 二 1=pPXp)PX z.当乙 -z) + (l-p)-O- /；当 z N 0 时,是二0 1 + (1 - pPX z = l-(l-pyez.所以Z的概率密度为2(二)=理(?)二pe z 0.cov(X.Z) = E(AZ)- EX-EZ =Y)-EX E(XY)=E(X2)EY-E(Xy -EY = DXEY = -2p.令coi，(rz)= o.得2 = 1.故时,x与z不相关. 22(3)因为产刀41,2-1 =P万0.尸ZM-l0 ,所以PXPX 1PZ 一斗，故X与Z不相互独立.4 一零:设总体X的概率密度为/(；，)= 100,x 0是未知参数，4是常数，岗,*2,W 是来总体X的简单随机样本.求4；(2)求夕的最大似然估计量.J = J-； (2)参考答案 唧