小专题椭圆-斜率之积是定值-

1、第 页共4页22性质如图1,椭圆、41(aa2b2椭圆一个性质的应用b0)上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与坐标轴不平行，则直线PA、b2PB的斜率之积kPAkPB为定值-2a证明设P(x,y),A(xi,yi),则B(Xi,二匚2yb22X1-2a2y1b2由一得2X122yb22y12所以二2X2Vi2X1b2ay必XX1yiXX12y_2X2必2X1b2当为定值.a这条性质是圆的性质:圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明.、证明直线垂直1如图2,已知椭圆A,B是其左、右顶点,动点M满足MBAB,连

2、结AM交椭圆于点MOPB图2知kPAM(2,y)kMAkPB直线MA,MO的斜率分别为kMA工2a一,1所kMA2kMO将代入得kMO1,所以MOPB.例2如图3,PQ是椭圆不过中心的弦,Ai、A2为长轴的两端点,AiP与QA2相交于M,PA2与A1Q相交于点N,则MNAiA2.证明设M(xiy1)N(X2由性质知kPA1kpA2,即kMA1akNA2b2a必X1aV2X2ab2a上的两点,相交于点kQA1比较与得(Xi所以所以所以a)(X2a)adXi)x1x2.MN，x轴,证明直线定向(X2a(xa)(Xia),X2)，即MNAiA2.kNA1b2ay2X2y1X1ab2a如图4,已知A(

3、2,1),B(-2,1)是椭圆E:X26C,D是椭圆E上异于A,B的两点，且直线M,直线AD,BC相交于点N.CA,CBDA求证：直线MN的斜率为定值.ACDB证明设M(Xm,yM),N(xn,yN),由性质知kCAi二，即kMAkNB211二，即kNAkMB212，12所以_yM_1_yN_1XM2XN21二，yMyNyM2yN11,八2(XMXN2xM2xn4)岂yM1yN1xM2xN2VmyNYm/1，cc八yN1(xMxN2xM2xN4)由一得VmVn(xMxN)所以kMN1,即直线MN的斜率为定值1.三、证明点的纵坐标之积为定值x2y2例4如图5,已知椭圆C:4+y3=1,过椭圆C的

4、右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，点B关于坐标原点的对称点为P,直线PA,PB分别交椭圆C的右准线l于M,N两点.记M,N两点的纵坐标分别为yM,yN,求证：yMyN为定值.图5证明当直线AB的斜率k不存在时，易得yMyN=-9.当直线AB的斜率k存在时，由性质知kpAk=所以kpA=-3-.44k设A(X1,y1),B(x2,y2),则P(-x2,-y2),所以直线PA的方程为y+y2=-4k(x+x2),因为右准线l的方程为x4,所以3_yM=-4k(x2+4)-y2因为A,F,B三点共线，所以直线AB的斜率k=-y2-x21所以Vm=3x2+4x214y2一y2.因为直线PB的方程为y=所以yN=4xy2.TOC o 1-5 h z所以yMyN=-3xx2+4x2一如.x2x2又因为x2+V2=1,所以4y2=123x2,43化、cx2+4x21+4x2c所以Vmvn=3Xx2=-9,所以Vmvn为定值-9.第