考点52排列组合理

1、考点五十二排列组合(理)知识梳理.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有 mi种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法， ，在第 n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有 N = mi + m2+ mn种不同的方法.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n个不同的步骤，完成第一步有 mi种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法，完成第 n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N =mi* m2Xx mn种不同的方法.两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类

2、有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这 件事才算完成.排列与排列数(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出 m(mwn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫 做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从 n个不同的元素中取出 m(mwn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号 A：表示.(3)排列数公式 当mvn时，排列称为选排列，排列数为Am= n(ni)(n 2)(n m+1); 当m=n时，排列称为全排列，排列数为A=n(n 1)(n 2

3、)3 2 1上式右边是自然数 1至U n的连乘积，把它叫做 n的阶乘，并用n!表示，于是 An=n!.进一步规定 0! = 1,于是，A n1 = n( n 1)( n 2)(n m+ 1)=n in!j一,即 a：=(nm)!(n m)!n(n 1)(n m+ 1)( n m)(n m 1)3 2 1 (n m)(n m 1)3 2 1.组合与组合数(1)组合的定义：从 n个不同的元素中取出 m(mw n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素 中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从n个不同的元素中取出 m(mw n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，

4、用符号cm表示.(3)组合数公式m_ AmCn Amn(n 1)(n 2)(n m+ 1)n!m! (n m)!规定：C0 = 1.（4）组合数的两个性质：cm=cn-m；cm+尸cm-1 +cm.排列与组合的区别排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取 m个元素”，而不同点就是前者要“顺序”，而后者却是“并成一组”.因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.典例剖析题型一排列与排列数例1 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排 3人，后排4人；（3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体

5、站成一排，男生不能站在一起；（5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.解析（1）问题即为从7个元素中选出5个全排列，有 A5= 2 520（种）排法.（2）前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A7= 5 040（种）排法.（3）相邻问题（捆绑法）：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A3种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A4种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A2种排法，由分步乘法计数原理知，共有 N=A3 - A4 - A2= 288（种）.（4）不相邻问题（插空法）：先安排女生共有 A4种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排 共有a5种排法，故n = a4a5= 1

6、440（种）.（5）先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有 A；=5（种）排法；再安排其他人，有A6= 720（种）排法.所以共有 A1 A6= 3 600（种）排法.变式训练一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 .答案 24解析 两名女生站一起有 A2种站法，她们与两个男生站一起共有A2A3种站法，老师站在他们的中间则共有 A2A3C2 = 24（种）站法.解题要点 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际 进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，

7、对于分类过多的问题可以采用间接法.2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法.题型二组合问题例2将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有 种不同的分法.答案 360解析 将6名教师分组，分三步完成：第一步，在6名教师中任取1名作为一组，有 C6种取法；第二步，在余下的 5名教师中任取2名作为一组，有 C5种取法；第三步，余下的3名教师作为一组，有 C3种取法.根据分步乘法计数原理，共有 C6c5c3 = 60种取法.再将这3组教师分配到3所中学，有A3=6种分法.故共有60X 6= 360种不同的分法.变式训练

8、 从4部甲型和5部乙型手机中任意取出 3部，其中至少要有甲型与乙型手机各1部，则不同取法共有 答案 70种解析 选由题知不同取法有 c4c5 + c4c5= 70种.解题要点 解决组合类问题的方法：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外 元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2) “至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解.通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.题型三排列、组合的综合应用例3某班班会准备从含甲、乙

9、的 7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻， 那么不同的发言顺序种类为 . 答案 600解析 分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序种类为c2c3A4；第二类，甲、乙同时参加，则不同的发言顺序种类为c2c5A负2.依加法原理，所求的不同的发言顺序种类为 c2c3A4+ C2c5A2A2= 600.变式训练 （2014高考重庆卷）某次联欢会要安排 3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相 声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 答案 120解析 解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A3,然后利用插空法将

10、剩余 3个节目排入左边或右边 3个空，故不同排法有A3/A3=72.第二类也分两步，先排歌舞类A3, 然后将剩余3个节目放入中间两空排法有 C2A2a2,故不同的排法有 A3A2A2c2 = 48,故共有 120种不同排法.解题要点 1.排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等 词的含义.当堂练习（2014四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同 的排法共有答案 216种解析

11、 第一类：甲在最左端，有 A5=5X4X3X2X 1= 120（种）方法；第二类：乙在最左端，有 4A4=4X4X3X2X 1 = 96（种）方法.所以共有120+96 = 216（种）方法.（2014辽宁）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 答案 24解析 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为 A3=4X3X 2= 24.现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有 答案 12种解析只需让第一所学校选取即可.先从2名医生中选取1名，不同的选法有 C2=2（种）；再从4名护士中选取

12、2名，不同的选法有 C4=6（种）.由分步乘法计数原理可得，不同的分配方案有2X6= 12（种）.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有 种.答案 14解析有1名女生：G1C3 = 8.有2名女生：c2c4=6.，不同的选派方案有 8+ 6= 14（种）. （2015广东理）某高三毕业班有 40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那 么全班共写了 条毕业留言（用数字做答）.答案 1 560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A20=40X 39= 1 560条毕业留言.课

13、后作业一、填空题. （2015四川理）用数字 0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有答案 120个解析 由题意，首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3XA3=72个；若万位是4,则有2XA3 个=48个，故比40 000大的偶数共有72 + 48=120个.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙 不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有答案 42种解析 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A4种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的

14、3个节目中选1个节目排在第 一位有C3种排法，其他3个节目有A3种排法，故有C3A3种排法.依分类加法计数原理，知 共有a4+C3A3 = 42（种）编排方案.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 答案 21种解析 左边两个开关的开闭方式有闭合2个、1个即有1+2= 3（种），右边三个开关的开闭方式有闭合1个、2个、3个，即有3+3+1 = 7（种），故使电路接通的情况有3X 7=21（种）. 10名同学合影，站成了前排 3人，后排7人.现摄影师要从后排 7人中抽2人站前排， 其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为 答案C2A2解析 从后排抽2人的方法种数是 C2;前排的排列方法种

15、数是 a5.由分步乘法计数原理知不 同调整方法种数是 c2A2.用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 答案 48解析 末位数字排法有 a2种，其他位置排法有 a3种，共有 A2A4= 48（种）.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 答案 12种解析 法一 先分组后分配，不同的安排方案共有-2-2力玄2A2=12（种）.A2法二 由位置选元素，先安排甲地，其余去乙地，不同的安排方案共有C2c4c1c2=12（种）.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着

16、舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有 答案 24种解析 丙、丁不能相邻着舰，则将剩余 3机先排列，再将丙、丁进行“插空”.由于甲、乙 “捆绑”视作一整体，剩余 3机实际排列方法共 2X 2=4种.有三个“空”供丙、丁选择，即A2=6种.由分步乘法计数原理，共有4X6=24种着舰方法. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取 4件，则恰好取到1件次品的情形有 种答案 105解析 完成这件事，分两步进行，第一步，从7件正品中取3件，有C3种不同的方法，第二步，从3件次品中任取1件，有C3种不同的方法，由乘法原理可知共有&=105种不同的方法.某人从甲地到乙

17、地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟,轮船有3次，问此人的走法可有 种.答案 7解析 因为某人从甲地到乙地， 乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都 能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4+3= 7（种）. （2014浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）.答案 60解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分（一等奖，无奖）、（二等奖，无奖）、（三等奖， 无奖）、（无奖，无奖）四组，分给4人有A；种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖， 另两组

18、无奖，共有c2种分法，再分给4人有a2种分法，所以不同获奖情况种数为 a4+c3A2=24 + 36 = 60.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 种.答案 24解析 甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A2A2=24（种）.二、解答题.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各 1名，选派5人外出比赛，在下列情形 中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）既要有队长，又要有女运动员.解析（1）任选3名男运动员，方法数为C6,再选2名女运动员，方法数为C2,共有C3 02 =120（种）方法.（2）法一 至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为c4c6+ c2c6+c4c2 + c4c6= 246.法二“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有 C50- 06 = 246（种）.（3）当有女队长时，其他人任意选，共有c9种选法.不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有c4种选法，其中不含女运动员的选法有c4种，所以不选女队长时