【8】考点梳理：对称图形涉及的16个必考点全梳理

1、考点1轴对称图形的识别解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折登，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形.例题1 2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉.下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（）A.协和医院B.湘雅医院C.齐鲁医院D.华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.【解析】乂、不是轴对称图形，故此选项不合题意：从 不是轴对称图形，故此选项不符合题意：C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D.不是轴对称图形，故此选项不合题意：选C.【小结】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一

2、个图形沿一条直线折登，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形. TOC o 1-5 h z 变式1 下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答.【解析】第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，选C【小结】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.变式2 下列图形中，是轴对称图形的有（）个.角线段等腰三角形等边三角形扇形圆平行四边形A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案.【

3、解析】角线段等腰三角形等边三角形扇形圆平行四边形中只有平 行四边形不是轴对称图形.故轴对称图形有6个.选C.【小结】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键.变式3下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（AA A当心辐射当心感染 I必须戴防护手套I I小心腐蚀A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可.【解析】第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，选民【小结】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念.考点2生活中的轴对称现象解决此类问题关键是掌握镜面对称原理及反射角与入射角的定义.例题2

4、如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上 张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是.,日口口【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解.【解析】做轴对称图形得：1630085,故答案是：630085.【小结】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴：难点是作出相应的对称图形；注 意2的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5.变式4 室内塔壁上挂一平而镜，小明在平面镜内看到他背后堵上时钟的示数如图所示，则这时的实际时 间应是（）3： 203： 40D. 8： 20【分析】根据镜

5、面对称性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析作答.【解析】根据镜面对称的性质，分析可得所显示的时刻与3： 40成轴对称，所以此时实际时刻为3： 40. B 【小结】本题考查镜而反射的原理与性质.解决此类题应认真观察，注意技巧.变式5 如图是一个经过改造的规则为4X7的台球桌而示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入 球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋A. 1号袋B. 2号袋C. 3号袋D. 4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项.【解析】根据轴对称的性质可知，台球走过的路径如上图，

6、所以球最后将落入的球袋是4号袋，选。.【小结】本题主要考查了轴对称的性质.轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分：（2） 对应线段相等，对应角相等.注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键.变式6 如图，弹性小球从点尸出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角 等于反射角（即：Z1 = Z2, N3 = N4）.小球从尸点出发第1次碰到长方形边上的点记为H点，第2次碰到长方形边上的点记为8点，第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A.，4点B. B点、C.。点D.。点【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组

7、依次循环，用2020除以6,根 据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.【解析】如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点产，.2020：6=3364 .当点尸第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，.第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点。，选D.【小结】此题主要考查了点的坐标的规律以及生活中的轴对称现象，作出图形，观察出每6次反弹为一个循 环组依次循环是解题的关键.考点3轴对称的性质与运用轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对 称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.例题3 如图，尸为NX

8、08内一点，分别画出点尸关于。4, 05的对称点尸1，尸 连接2尸2.交。,4于点M,交于点M若尸1尸2 = 55，则PMV的周长为.P2【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得的周长.【解析】如图所示：；尸与尸1关于。4对称，。4为线段尸尸1的垂直平分线.同理可得：AP=N?2.尸1?2 = 5”，尸的周长=初？+间7小丁=尸仙亚火入巴=尸1尸2 = 5。.故答案为【小结】本题考查了求作关于直线的对称点的作法和中垂线的性质.利用轴对称的性质得出对应线段相等是 解题关键.变式7 如图，点尸是N.4O3外一点，点初、N分别是两边上的点，点尸关于。4的对称点。恰好

9、落在线段MV上，点尸关于08的对称点区落在线段的延长线上.若PM=25cm, PN=3cm, MN=4cm, 则线段的长为.【分析】由轴对称性质知I： PM=MQ, PN=RN,先求长度，然后根据。R=QV+N五即可求得。区长度.【解析】由轴对称的性质可知：PM=MQ=2.5cnn PN=RN=3cm,QN=MN QM=4 25 = 15cm, OR=ONNR = 1.5+3 =4.Sent.故答案为：4.5。儿【小结】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键.变式8 如图，点尸在NK05的内部，点。和点尸关于Q4对称，点尸关于。3对称点是。，连接8交 。4于M交。3于N

10、.(1)若NXO3=6(r ,则NCOD= ：若NXO8=a,求NC。的度数.(2)若C=4,则尸MN的周长为.【分析】(1)根据轴对称的性质，可知NKOC=N,4。尸，/BOD=/BOP,可以求出NC。的度数：(2)根据轴对称的性质，可知CN=R/, DN=PN,根据周长定义可以求出产MV的周长：【解析】(1)点C和点尸关于。乂对称，44OC=N，4O产，:点尸关于08对称点是。，NBOQ=N3OPA ZCOD= ZAOCZAOP+ZBOP+ZBOD=2 ( ZAOP+ZBOP) =2/105=2X60。=120 , ;点C和点尸关于。4对称.A ZAOC= ZAOP.丁点尸关于08对称点是

11、。，/3。=/3。尸，A ZCOD= ZAOC+ZAOP+ZBOP+ZBOD=2 ( ZAOP+ZBOP) =2ZAOB=2a.(2)根据轴对称的性质，可知CAf=PM, DN=PN,所以PMN的周长为：PM+PN+MN= CM+DN+MN= CD=4,【小结】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连线段 被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.变式9 如图，乙4。8=40 ,点尸在乙1。3的内部，点C,。分别是点尸关于直线。L 03的对称点, 连接CD分别交Q4, 0B于点、E、F.则NZPF=.【分析】要

12、求NEP厂的度数，要在*产F中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与/MPN的 关系，利用已知N,4O8=40可求出/EPF,答案可得.【解析】如图，丁点N分别是点P关于直线04、。3的对称点，。4 垂直平分尸初，。5 垂直平分尸M :.ME=PE, PF=NF, ：. ZPEF=2ZM. /PFE=2/N,： 4PRE=/PTF=90 , 在四边形 O7PR 中，A ZAdPN+ZAOB= ISO0 ,? ZEPF+2ZM+2ZN= 180 ,即 NMPMN出NN=180 ,，NW/N=NKO8=40 A ZPF=180 -40 X2=100 .故答案为 100，.【小结】本题主要考

13、查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形的内角和和 三角形的内角和定理及其推论.考点4轴对称最短路径问题例题4 如图所示，。8是一条河流，0C是一片菜田，张大伯每天从家（工点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中.请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短.下列四个方案中你认为符合要求的是（/A 沿月A/f匕/ 0Q 沿&【分析】把小河看成一条直线【解析】要找一条最短路线，）50 2 cuN CB工 JNd路线走B,沿443分路线走- cuN c白“瞥jNN路线走口,沿兑*鼠2NA路线走.要找一条最短路线，可根据两点之间线段最短的规律来分析解答即可

14、.分别过。8,。作点/的对称点，则张大伯可沿着乂M走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜归去，同一 0理，画出回家的路线图如下，选DR嗑CA【小结】本题考查轴对称-最短路线问题，线段性质：两点之间线段最短，直线的性质：两点确定一条直 线，关键是掌握过点向一条直线作垂线段的方法.变式10如图，乙103=30，点河、N分别是射线05、。4上的动点，点尸为乙1。8内一点，且。尸=4,则PMN的周长的最小值为（）A. 2B. 4D. 8【分析】设点尸关于OH的对称点为C，关于。8的对称点为。，当点M、N在8上时，周长最小.【解析】分别作点尸关于。工、03的对称点C、D,连接CQ,分别交。

15、4、。3于点、N,连接OC、 OD. PM 、PNr .丁点尸关于 04 的对称点为 C，：.PMr =CMf , OP=OC, ZCOB=ZPOB；丁点尸关于 03 的对称点为。，：.PNf =DN-OP=OD, ZDOA = ZPOA.：.OC=OD=OP=4, ZCOD = ZCOB+ ZPOBZP0A+ ZDOA=2ZP0A+2ZPOB=2ZAOB=60 ,C。是等边三角形，:.CD=OC=OD=4.，当 M、N与 AT、M 重合时，ArMV周长最小=尸+ N +PNr =DNf + N +C” =CD=4 选反【小结】本题考查了轴对称-最短路线问题，将三角形的周长利用轴对称转化为线段

16、的长，构造等边三角形 是解题的关键.变式11如图，在锐角A1SC中，ZACB=5Q ：边 那上有一定点尸，M、N分别是NC和3c边上的动点, 当PMN的周长最小时，/MPN的度数是（）A. 50B. 60C. 70D. 80【分析】根据对称的性质，易求得NC+NE尸产=180 ,由N.4C8 = 50 ,易求得ND+NG=50 ,继而求 得答案.【解析】yPDLAC, PG1BC, ：. ZPEC= ZPFC= 90 , ZC+ZPF= 180，VZC= 50 , ZZHZG+ZPF=180 , ：. ZD+ZG=50 ,由对称可知：NG=NG尸N, ND= /DPM, :/GPN+/DPM=

17、50 , : NMPN=130 - 50 =80 ,选D【小结】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质.关键是注意掌握数形结合思想的应用.变式12如图，在四边形,458中，ZJ=ZC=90 , N8=34 ,在边.13, 上分别找一点下使4DE尸的周长最小，此时NEZ)F=.【分析】如图，作点。关于A4的对称点尸，点。关于8c的对称点。，连接产。，交AB于E,交BC于 F,则点E,尸即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案.【解析】如图，作点。关于A4的对称点尸，点。关于的对称点。，连接尸0,交AB于E,交BC于 尸，则点E , F即为所求.R10二四边形 43CD 中，ZJ=ZC=9

18、0 , N3=a, A Z.WC= 180 -a, 由轴对称知，/ADE，=NP, ZCDFf =NQ在PD0 中，ZP+ZO=180 - Z.1DC=18O0 - (180 - 34) =34A ADE9 +ZCDFr =NP+NO=34,：.ZEf DF = /ADC (ZADEr +ZCDF, ) =180 -68 =112【小结】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等 知识，根据已知得出尸的位置是解题关键.考点5设计轴对称图案轴对称设计图案的关键是掌握好轴对称图形的概念.轴对孙图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折受后 可重合.例题5 如图

19、，在4X4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）C. 9个【分析】根据轴对称的性质画出图形即可.【解析】如图，共有10种符合条件的添法,选D【小结】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键.变式13请在如图四个3X3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的 三角形，并将所画三角形涂上阴影.（注：所画的四个图不能重复）【小结】此题主要考查了利用轴对称设汁图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键.变式14观察设计：（1）观察如图、中

20、阴影部分构成的图案，请写出这2个图案都具有的2个共同特征：（2）借助后面的空白网格，请设计2个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的2个共同特征.（注意：新图案与已有的2个图案不能重合） 【分析】（1）根据轴对称图形的定义以及图形的而积解答即可.（2）根据条件画出图形即可.【解析】（1）都是轴对称图形，而积都是4个小正方形的而积和.（2）符合题意他图案如图所示： 【小结】本题考查利用轴对称设冲图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.变式15如图，是由4X4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再 选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成

21、为轴对称图形.并画出它的一条对称轴（如图例.画对一 个得1分）图例【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.【解析】如图所示：/【小结】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键.考点6角平分线的性质角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，解决此类问题的关键在于作垂线.例题6如图,8。是乙/。平分线,DEL铝于 E,S,y5c=36c/,.13=18cm,3c=12d，则 DE=cw.【分析】首先过点。作。ELBC于点F，由3。是乙43c的平分线，DEL处 根据角平分线的性质，可得DE=DF,然后由S=S/皿0ZCZk?BQE+聂CDF,求得答

22、案.【解析】过点D作DF1.BC于点F,助是415c的平分线，DE1AB.:DE=DF,，43=18cj, BC=12cm, .S：ABC=S：ABDSCD= AB9DE+BC9DF= DE9 (AB+BC) =36cF,：.DE=2A (cm)【小结】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.变式16如图，3C, 8C分别平分NA4E, ZABF,若ZUBC的高 8=8,则点。到XE, 3F的距离之和 为.【分析】首先过点c作CMA.AE于点M,过点。作CN1BF于点N,由HC, BC分别平分NA4E, NABF,XBC的高8=8,根据角平分线的性

23、质，可得CM=CD=8, CN=CD=S,继而求得答案.【解析】过点C作CM1AE于点过点C作CNBF于点N,9：AC. 8C 分别平分NAIE, NABF, 的高 8=8, ：.CM=CD=S. CN=CD=8,点。到乂E, 8尸的距离之和为：CM+CN= 16.【小结】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握角平分线的定理的应用 是关键.变式17如图，在ZU5c中，CQL结于点。，BE平分NABC,交CD于点、E,若S?e=24, 8c=12,则。E等于（）A. 10B. 7D. 4【分析】根据角平分线的性质得出QE=EF根据三角形的面积求出EF，即可得出选项.【

24、解析】过石作EF_L8C于尸,VCD 1.45, 3E 平分NH3C,:DE=EF,.,8C=12,.4X12XEF=24,解得：EF=4,即 QE=”=4. 选 D【小结】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.变式18如图，已知ZXJBC的周长是16,和MC分别平分乙铝。和乙1C3,过点M作3C的垂线交8C于点Q.且M。=4,则,：15c的面积是（）A. 64B. 48C. 32D. 42【分析】连接.LM，过河作宓于E, MFL4C于产，根据角平分线的性质得出ME=MD=MF=4,根 据三角形的面积公式求出即可.【解析】连接过M作/于E,于F,

25、MS 和 MC 分别平分乙/C 和44C3, MD_L8C, MD=4, ：.ME=MD=4, MF=MD=4.,AzLSC 的周长是 16, ：.ABBC+AC=16.，AZSC 的面积 S=S ： AMC+S ；BC/S ；ABM= yXACX MF + | X BC X DM + X AB X ME=1 X-4CX4+ |xBCX4 + ixlBX4=2 CAC+BC+AB) =2X16 = 32,选 C【小结】本题考查了角平分线的性质和三角形的而积，能根据角平分线的性质求出DM=ME=ME=4是解 此题的关键.考点7角平分线的性质与判定综合掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解决

26、此类问题的关键.例题7 如图，。是内一点，且。到三边.43、BC、C4的距离OF=OQ=OE,若NA4c=70 ,则 NBOC的度数为()DD. 130A. 70B. 120C. 125【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点。是三角形三条角平分线的交点，再根据 三角形的内角和定理求出N.C+N$CB,然后求出N0BC+N0C8,再利用三角形的内角和定理列式计算即 可得解.【解析】:。到三边，四、BC、C4的距离。尸=。=。 .点。是三角形三条角平分线的交点，V ZBJC= 70 , A ZABC+ZACB=130 - 70 =110 ,：.ZOBC+ZOCB= (ZABC+Z

27、ACB) =1xll0 =55 ,在OBC 中，ZBOC= 180 - (ZOBC+ZOCB) =180 -55 =125 .选 C【小结】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思 想的利用.C尸平分NKCF：（3）ZACB=2ZAPB：A. 1个【分析】作尸DL4c于D由角平分线性质得尸M=PV, PM=PD,得出尸M=RV=PQ,可得出正确:变式19如图，ZU5C中，ZABC. NE4C的角平分线3尸、，尸交于点尸，延长A4、BC,则下列结论中正确的个数（） N.43C+2 N,1PC= 180若 PM上BE, PNLBC,得出 NJPM=N,

28、MZ),同理：RtA首先证出乙48C+NMPN=180 ,证明 RtAPLRtABW (HL)PCDRxPCN(HL),得出NC产。=/CRV,即可得出正确；角平分线外角性质Nat=N，3C+4C&Z.IBC+ZAPB,得N$CB=2NHPB,正确由全等三角形的性质得出CD=CN,即可得出正确；即可得出答案. 【解析】作尸于。.；PB 平分/ABC, E4 平分NEHC, PMA.BE, PN工BF,:PM=PN, PM=PD,:.PM=PN=PD,，点?在N,4。尸的角平分线上，故正确：PML1S, PN工BC, ：. Z.45C+9O0 +ZMPN+900 =360 ,，4 1BC+NMP

29、N=18O ,在 RtZkRL区和 RtAP。中，图二篇，RtAERtAW （HL） , :.NAPM=NAPD, 同理：RtAPCQ也RtAPCN （应），:4CPD=4CPN, ：. ZMPN=2ZAPC.：.ZBC+2ZJPC=180 ,正确;4 平分NC4E, 8尸平分乙结C, A ZCAE= ZABC+ZACB, NR4M= NdBC+ NAPB, ：. ZACB=2Z APB,正确：RLVgRtAlZ）（血），：.1D=AM,同理：RtAPCDRtAPCV （JZL）,:CD=CN, :.AM+CN =AD+CD=AC,正确：选D【小结】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三

30、角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解.变式20如图，RtZLWCB中，乙4cB=90 , AJ3C的角平分线JIX 8E相交于点尸，过尸作尸尸L4D交 8C的延长线于点凡 交工。于点H则下列结论：乙止3=135 ：BF=BA；PH=PD；连接。尸,C尸平分N,4C3,其中正确的是()A. B.C. D.【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断：根据全等三角形的判定和性质判断：根据 角平分线的判定与性质判断.【解析】在,1SC 中，v ZJC5=90 , AZ5JC+Z.1SC=9O ,又，4。、BE 分

31、别平分NA4C、/ABC, ：. ZB.4D+ZABE= 1 ( ZBJC+Z.15C) =45 ,：.ZAPB=135 ,故正确.：.ZBPD=45 ,又PF_LdD,A ZFP5=900 +45 =135 , ： NAPB=/FPB,又,： /ABP=/FBP, BP=BP, :SP/4FBP, ：.ZBAP=ZBFP, AB=FB, PA=PF,故正确.在&4尸和FP。中，； NAPH= /FPD=90 , NP1H= NBAP=/BFP, PA=PF,：44PH/FPD, :.PH=PD,故正确.AJBC的角平分线功、BE相交于点尸，点尸到KB、dC的距离相等，点尸到3、BC的距离相等

32、,.点尸到8。、的距离相等，点尸在44c5的平分线上，.C尸平分乙4c8,故正确.选D【小结】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理.掌握相关性质 是解题的关键.变式21如图，的角平分线HE,交于。点.(1)若乙4cg = 70 ,则N8Q4=：(2)求证：点。在44C8的角平分线上.(3)若OE=OF,求N,4C8的度数.【分析】(1)根据三角形的内角和定理得到乙出C+/A4c=180。-70。=110 ,根据角平分线的定义即 可得到结论：(2)过。作0D_L8C于。，OGL.43于G, OHJ_,4C于根据角平分线的性质健康得到结论：(3)连接OC,根据角平

33、分线的性质得到。=04，根据全等三角形的性质得到NE8=NR9H,根据角 平分线的定义即可得到结论：【解析】(1) N,4C8=70 ,，4C+NA4C=180 -70 =110 , 4ABC的角平分线BF交于O点、,：.BAO =乙ABO = ABC, ：. ZABO+ZBAO= (ZABC+ZACB) =55 ,A ZJ(95 = 180 - (ZABO+ZBAO) =125 ,(2)过。作 0Q_L3C 于。，OGJ_.45 于 G,于 H,平分NA4C, 8尸平分NHBC, ：.OG=OH, OG=OD, ：.OD=OH, 点。在44c3的角平分线上.(3 )连接OC,在 RtZXOE

34、O 与区心0口 中舞二 :.RtAOEDWRtAOFH, (HL) , /. ZEOD= ZFOH,：.ZDOH= ZEOF= 1800 - ZACB,、3尸是角平分线,：.ZAOB=9Q +1NdC8 即 900 +yZJC5= 180 - NACB,，乙4c3=60 ；【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性质, 正确的作出辅助线是解题的关键.考点8线段垂直平分线的应用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键 例题8 如图，在人州。中，43=dC, 48的中垂线交.于点。，交8C的延长线于点

35、E,交NC于点F, 若,4B+BC=6,则BC尸的周长为（）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得一=然后根据三角形的周长推出 8c尸的周长=KC+BC,即可得解.【解析】。下为,45的垂直平分线，.尸=3产，.5C尸的周K = CF+3F+BC=CF+AF+3C=*C+8C,VAB=AC, AB+BC=6, ：.AC+BC=6, .;BC尸的周长为 6.选 D【小结】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质， 熟记性质是解题的关键.变式22 如图，ASC中，ZJ5C= 30 , ZJC5=

36、50 , DE、FG分别为,彷、乂。的垂直平分线，E、G 分别为垂足.（1）直接写出NA4c的度数：（2）求NZUF的度数，并注明推导依据:（3 ）若的周长为20,求8C的长.【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案：（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算：（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案.【解析】（1）v Z-18C+ZJC5+Z5JC=180 , A Z5JC= 180 -30 -50 =100 ：（2） 。七是线段，。的垂直平分线，：.DA=DB. :./DAB=/ABC=30 ,同理可得，ZE4C=ZJCB=50G , A ZD.1F

37、= ABAC - ZDAB - ZE4C= 1000 - 30 - 50 =20 ；（3 ） niF 的周长为 20, DA+DF+E1 = 2Q.由（2）可知，DA=DB, E4=FC, ：.BC=DB+DF=FC=DADF+Ei = 20,【小结】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等是解题的关键.变式23 如图，ASC 中，平分NA4C, QG_L3C 且平分 BC, DEL1B 于 E, DFAC T F.(1)说明8E=C产的理由：(2)如果 乂3=5, 乂C=3,求乂 8E 的长.【分析】(1)连接助，CD,由平

38、分NANC, DE上于E, QFL4C于凡 根据角平分线的性质，即 可得DE=DF,又由。G_LBC且平分8C,根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD,继而可证得RtA BED4K4CFD,则可得 8E=C尸：(2)首先证得八郎且入小。，即可得J=zlF,然后设由，。-8E=XC+CF,即可得方程5-x =3+x,解方程即可求得答案.【解答】(1)证明：连接3D CD,;口平分NA4C, DEUB, DFL4C,:.DE=DF, ZBED= ZCFD=90 ,QGd_3c 且平分 3C,:.BD=CD,在 RtASE。与 RtCFD 中，黑空二；.R3EDgRt&CFD (HL) , :.B

39、E=CF；Z.AED =乙4FD = 90(2)在JZ)和/ED 中，LEAD = zTAD ,：.AE=.1F.AD = AD设3E=x,则。厂=，:AB=5, AC=3, AE=ABBE, AF=AC+CF,，5-x=3+x,解得:x=L:*BE= 1- BE5 - 1 =4.【小结】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适 中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解.变式24如图，A1SC的外角ND4C的平分线交8c边的垂直平分线于尸点，PDL铝于D, PEL4c于E.（1）求证：BD=CE；（2）若.5=6cm, HC=

40、10cm,求的长.【分析】（1）连接8尸、。尸，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得8尸=。尸，根据角平分 线上的点到角的两边距离相等可得。尸=石尸，然后利用“血”证明RtAffDP和RtZCEP全等，根据全等三 角形对应边相等证明即可:（2）利用血”证明RtZUD尸和RtZUE尸全等，根据全等三角形对应边相等可得功=.狙 再根据4、HC的长度表示出，山、CE,然后解方程即可.【解答】（1）证明：连接3尸、CP,点尸在8C的垂直平分线上，8P=CP：4P是NZUC的平分线，；.DP=EP,：.BD=CEx在 R3DP 和 RtACP 中，“ 二靠.ARtABDPRtACEP(HL)(

41、2)在 RtZUD尸和 RtZU尸中，f g；，/RtZWPRtZlEP (HL) ,9：AB=6cm, AC=lQcm,，6+JZ=10 - ,4,即 6+/。=10 - .ID,解得.10=25.【小结】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离 相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.考点9等腰三角形的性质（求角度综合）解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形 内角和定理结合运用.例题9 已知：如图，在,铝。中，BC=BD, AD=DE=EB,则乙（的

42、度数是（）A. 30B. 36C. 45D, 50【分析】根据8C=BZ）,可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到ZC, ZJ, NE8。之间的关系，再根据三角形内角和定理即可求解.【解析】设NEBQ=x，：BE=DE, ：. ZEDB=ZEBD=x , : /AED= /EBLHNEDB。，；1D=DE, ：./A=NAED=2x ,，N8QC= N,4+N,45O=3x ,:BD=BC, :./C=/BDC=3x , ，铝=,4C, A ZABC=ZC=3x0 ,V ZJ+ZJBC+ZC=180 , ，2x+3x+3x=180,解得：x=22.5, A ZJ=2x =45 .选

43、C【小结】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用.变式25 如图，已知/乂。8=10, ,且 OC=CD=DE=EF=FG=GH,则N8GH=()A. 50B. 6080【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论.【解析】yOC=CD.，NCQO=NO=10 , AZDCE= ZO+ZCDO=20 ,:CD=DE, :./DCE=/CED=20Q , A ZEDF= ZO+ZCED=30 , ；DE=EF, ：. ZEDF= ZEFD=3Q ,同理NGF=NEG产=4(T , 4GFH= 4GHF=50 , NBGH=60 ,选民 【小结】

44、本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质.此类题考生应该注意的是 三角形内角和定理、外角性质的运用. 变式26 如图，ZUJlB中，ZB=20 ,且2,山，也，乂5,小 都在441的延长线上，Bi, B1, 83，4分别在413,月汨1, 43及，方33,上，且满足,4131=山2，乂2比=/243，乂犯3=乂媪4, 4154= U5，依此类推，Z5201202(K2019 =.【分析】先根据等腰三角形的性质求出NA4的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别 求出NBlOl, N8M3.42及N83U3的度数，找出规律即可得出ZJ2019J202052019的度

45、数.【解析】:在ZUA41 中，N8=20 , AB=AiB, ：. ABAA= 180Zg =80 ,VJU2=i5i，NA丸乂是/1七为 的外角，/囱山工尸 驾出=40 ：ono800同理可得N&,4媪2=20 , /8,4山=10，/414岛, 1=%，/比01U202/2019的度数为r.【小结】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出NBlCRl，/B2A3A2及N8MM3的度数，找出规律是解答此题的关键.变式27 如图，在ZUBC中，ZABC=ZACB, E为BC边上一点、,以E为顶点作乙4M, N/EF的一边交HC于点F,使乙的 =N3.（1）如果/乂3。=4

46、0 ,则 NA4C=：（2）判断与NCEF的大小关系，并说明理由：（3 ）当8为直角三角形时，求乙郎与NA小的数量关系.【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可：（2）根据三角形内角与外角的关系可得NB+NA1E=NJC=N,4F+NFEC,再由条件乙LE尸=N3可得NBAE= /FEC；（3）分别根据当NJFE=90时，以及当NEF=90时利用外角的性质得出即可.【解析】（1）:在,48C 中，ZABC= ZACB. ZJBC=40 , A ZJC5=40 ,，NA4c=180 -40 -40 =100 ,/BAE= /FEC；理由如下：；/B+NBAE=N.4EC, /AEF=/B,:/

47、BAE=/FEC；(3)如图 1,当乙 1FE=9(T 时，,: NB+/BAE=N.4EF+/CEF, /B=/AEF=/C, :./BAE=/CEF,VZC+ZCEF=90 ,:NBAE-NAEF=90： 即NHE尸与NA4E的数量关系是互余：如图 2,当NE4F=90 时，V ZB+ZBAE= Z.4TF+Z 1, /B=/AEF=NC,，NA4=N1,VZC+Z1+Z-4F=9O ,，2NXEF+N1=9(T ,即 2NJ产与NAIE 的数量关系是互余.【小结】此题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用.考点10 等腰三角形的性质（三线合一）解决

48、此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形 内角和定理结合运用.例题 10 如图：D 为AABC 内一点、,8 平分乙1C3, BD上CD, ZA=ZABD,若 BD=1, BC=3,则 乂。 的长为（）A. 5B. 4C. 3D, 2【分析】延长3。交于如图，利用C。平分乙1C3, EXCO先判断ABCE为等腰三角形得到OE =BD = 1, CE=CB=3,再证明 E4=E5=2,然后计算.4+CE 即可.【解析】延长3。交HC于如图，8 平分乙4c3, BDLCD, .BCE 为等腰三角形，:.DE=BD=1, CE=CB=3,: /A =

49、/ABD, :.E2=EB=2, ：.AC=AE+CE=2+3 = S.选乂.A【小结】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角 形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.变式28如图：己知等边中，。是,4。的中点，E是5C延长线上的一点，且CE=CD DMLBC. 垂足为（1）求NE的度数.（2）求证：M是班的中点.【分析】（1）由等边的性质可得：ZACB=ZABC=6Q ,然后根据等边对等角可得：/E=/CDE, 最后根据外角的性质可求NE的度数：（2）连接3D,由等边三角形的三线合一的性质可得：ZDBC= 1BC= 1 x60 =30 ,

50、结合（1）的结 论可得：NDBC=/E,然后根据等角对等边，可得：DB=DE,最后根据等腰三角形的三线合一的性质可 得：M是BE的中点.【解答】（1）:三角形是等边J5C, ：.ZACB=ZABC=60i ,又：CE=CD, :./E=/CDE,又； /ACB=/E+/CDE, ：. Z=1ZJCB=3O0 ：（2）证明：连接8。丁等边中，。是 KC 的中点，A ZDBC= ZABC= j x60 =30由（1）知/E=30 A ZDBC=ZE=30 ：.DB=DE又-DMLBC：.M是班的中点.【小结】此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质.变式29 如图所示，

51、AJ3C中，乂 B=3C, QEL于点E, DF工BC于点、D,交KC于尸.（1）若41FD=155 ,求NE。尸的度数：（2）若点尸是1C的中点，求证：ZCFD= yZB.【分析】（1）求得NH的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可：（2）连接尸8,根据乂8=BC,且点尸是KC的中点，得到3尸L4C, /ABF= /CBF二NABC,证得NCFO = NCBF 后即可证得 NCFD= yZABC.【解析】（1）VZ-1FD=155 , ：.ZDFC=25 ,9：DF1BC, DEL4B, :./FDC=/AED=90 ,在 RtZkFDC 中，A ZC= 90 -25 =65 ,9：AB

52、=BC, ：.ZC=ZA=65 ,A ZEDF=36Q -65 -155 -90 =50 .（2）连接BF；4B=BC,且点 F 是 KC 的中点，：.BFAC, ZABF= ZCBF=:./CFD+/BFD=90 , /CBF+/BFD=90 , ：./CFD=/CBF,：.ZCFD= 5Z-IBC.【小结】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三 角形性质的基础.变式30如图所示，AJ3C是等腰直角三角形，Z5JC=90 , AB=AC.(1)若。为8C的中点，过。作DACLDM分别交铝、.4C于M、M 求证：DM=DN；(2)若。为8C中点，O

53、MLDN分别和A4-4C延长线交于M、N,问DM和DM有何数量关系，并证明.【分析】(1)连接.10，可得NJZ)M=NCZM 可证JMDT2CND,可得DM=DN：(2)连接乂。，可得NJZ)M=NCDM 可证MDg/kCND,可得DVf=Z)M【解析】连接出，；D 为 BC 中点、，AB=C, NA4c=90 :AD=BD, /BAD= /C ABDC图1V ZADMZ.U)N=9Q , ZADN+ZCDN=90 ,:/ADM=/CDN, ZLADM =乙 CDN 在 AiLM)和CMD 中，AD = CD, :AMD04CND (ASA )Z.BAD = LC(2)连接,4。，。为 3C

54、 中点，:.AD=BD, NBAD=NC, +ZD. ：. ZZ)=30 , ：.CG=CD.设乂E=x,则 CD=3x, CG=3x,在 RtAAEG 中，4G=2J=2x, ：.1B=BC=AC=5x9 ：.BE=4x, 8尸=5x-6,在 Rt班尸中，BE=2BF,即 4x=2 (5x-6),解得x=2, ：.AC=5x=W.【小结】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30口角所对的直角边等于斜边的一 半.也考查了等边三角形的性质.变式42如图，AJ5c是等边三角形，加48分别交8C、于点。、过点、E做EF上DE,交线段8C的延长线于点E(1)求证：CE=CF；(2)

55、若BD=gCE, AB = 8,求线段。产的长.【分析】(1)由题意可证DEC是等边三角形，可求NE8=NZ)EC=60 ,根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和，可求NCEF=NCFE=3(T ,即可得CE=C尸；(2)由题意可得8。=2, 8=6,即可求。下的长.【解析】(I)是等边三角形，：.AB=AC=BC, ZBAC= ZABC= ZACB=60：AE=BD,:ACAE=BCBD,:CE=CD,且N,4C8=60 ,CUE是等边三角形，:./ECD=/DEC=609：EFDE：. ZDEF=9Q A ZCF= 30V ZDC=ZCF+ZCFE=60 /. ZCF= ZCFE= 30

56、：.CE=CF9：BD= 1CE, CE=CD, ：.BD= CDVJB=8,:.BC=8,:.BD=2, CD=6:CE=CF=CD, :.CF=6, ：.DF=DC+CF= 12【小结】本题考查了等边三角形的性质，熟练运用等边三角形的性质和判定解决问题是本题的关键.考点15 等边三角形的判定与性质综合例题14已知如图等腰入4。，3=,4C, NA4c=120 ,于点。，点尸是A4延长线上一点，点O 是线段.10 上一点，OP=OC,下面的结论：ZAPOZDCO=30 ：NAPO=/QC。：。产C是等边三角形：.铝=KO+HR其中正确的是（）A. D.(【分析】利用等边对等角，即可证得：NA

57、PO=NABO, /DCO=NDBO,则N,4PO+NQCO=NX8O+ZDBO=ZABD.据此即可求解;因为点O是线段X。上一点，所以30不一定是448。的角平分线，可作判断:证明NPOC=60且OF=OC,即可证得。尸C是等边三角形：首先证明。痛1且/。尸石，则O=C XC=,4E+CH=z!O+XP.【解析】如图1，连接。8,9：AB=AC, .1D1BC, :.BD=CD, ZBAD= ZBAC= 1 X12O0 =60 ,：OB=OC, ZABC= 900 - NA1D=3(T：OP=OC, ：.OB = OC=OP. ：. ZAPO=ZABO, ZDCO=ZDBO9：.ZAPCHZ

58、DCO= ZABO+ZDBO= ZABD=30Q ：故正确：由知：ZAPO=ZABO, ZDCO=ZDBO.点O是线段上一点，.乙加。与ND5。不一定相等，则N.4产。与NDC。不一定相等，故不正确: V Z.1PC+ZDCP+ZPBC= 180 , A Z-1PC+ZZ)CP= 150 ,V ZAPQ+ZDCO=30 ,，NOPC+NOC尸=120 , A ZPOC= 180 - (ZOPC+ZOCP) =60 , OP=OC, 。尸C是等边三角形：故正确:如图2,在,4。上截取NE1E=18(T - Z5JC=60A ZAPO+ZOPE=60 ,? ZOPE+ZCPE= NC尸。=60PA

59、 = PE在OE4 和中，乙APO = OP = CFXBDC图2,连接P3,是等边三角形，A ZPEA = Z.1PE=6QQ , PE=PA.,：.NAPO=/CPE, ：OP=CP,乙CPE，OE4gCPE (84S),：.AO=CE, ：.AC=AE+CE=AO+.1P：故正确；本题正确的结论有：，选工.【小结】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性 质，正确作出辅助线是解决问题的关键.变式43如图，。为线段乂E上一动点，（不与点乂、石重合），在同侧分别作正和正8E,AD与BE交于点0, 5与8。交于点P, BE与CD交于点0,连接PQ.求

60、证：（1） AD=BE（2） XAPgABOC（3 ） APCQ是等边三角形.【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质证明即可：(2)根据全等三角形的性质和判定证明即可：(3)根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可.【解答】证明：(1)和CDE 是正三角形，：.AC=BC, CD=CE, ZACB= ZDCE=6QC ,V ZACD= ZACB+ZBCD, NBCE=/DCE+/BCD, ：. ZACD= ZBCE,ADg/BEC (S4S),:AD=BE；,:ADCQXBEC,:/ACP=/BCQ, AC=BC, /CAP=/CBQ, ：.iPC/BQC (J4)：,:CD=CE,