大学高等数学经典课件10-7

1、第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度一.斯托克斯公式定理1: 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手法则,函数P(x,y,z),Q(xY,z),R(x,y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有:注意: 斯托克斯公式是格林公式的推广; 斯托克斯公式把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来.证明:把斯托克斯公式分成三式现在证明(1)式:xyz:z=f(x,y)0CDxy条件:假定与平行于z轴的直线相交不多于一点,并设为曲面z=f(x,y)的上侧,的正向边界曲线在xoy面上的投影为平面有向曲线C,C所围成的闭区域为Dxy.证

2、明思路:先把(1)式左边化为闭区域Dxy上的二重积分,再通过格林公式与曲线积分联系.(1)式左边:因为的法向量的方向余弦为:(cosds=dxdy)上式右端曲面积分化二重积分时,z用f(x,y)代替,由复合函数微分法,有代入上式右端,得到由格林公式,上式右端的二重积分可化为沿闭区域Dxy的边界C的曲线积分,即成立成立(此时,px,y,f(x,y)在C上点(x,y)处的值与p(x,y,z)在上对应点(x,Y,z)处的值是一样的,且两曲线上的对应小弧段在x轴上的投影也一样) 若取下侧,也相应改成相反方向,上式仍然成立,同样可证明其余二式:三式相加,得到斯托克斯公式成立2. 曲面与平行于z轴的直线的

3、交点多于一个的情况: 可作辅助曲面把曲面分为几部分,因沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消,故对这一类曲面,公式仍然成立.3. 斯托克斯公式的行列式形式 为了便于记忆,斯托克斯公式可写为以下的形式注意:在行列式展开中,把“积”理解为行列式的展开式为:上式即为斯托克斯公式左端的被积表达式.当然,利用两类曲面积分的联系,可得到斯托克斯公式行列式的另一表达式:其中n=cos,cos,cos为有向曲面的单位法向量.注意:若是xoy平面上的一平面闭区域,斯托克斯公式就变成格林公式,因此,格林公式是 斯托克斯公式的一个特殊情况111xyzn0Dxy例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分被三个被三个

4、坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手法则.解:按斯托克斯公式被三个由于的法向量的三个方向余弦都为正,又由于对称性,上式右端为:其中Dxy为xoy平面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成的三角形闭区域.它的投影面积为1/2.故例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分(0,1,0)(0,0,1)zxy(1,0,0)其中是用平面x+y+z=3/2截立方体:0 x1, 0y1, 0z1的表面所得的截痕,若从ox轴的正向看去,取逆时针方向o(1,1/2,0)(0,1,0)(0,0,1)zxy(1,0,0)o解:取为平面x+y+z=3/2的上侧被所围的部分,的单位法向量(1

5、,1/2,0)因在上,x+y+z=3/2xyX+y=3/2X+y=1/2111/21/2其中Dxy为在xoy平面上的投影区域, xy为Dxy的面积例3 计算其中L是x2+y2+z2=R2 和x+z=R的交线,L的正向和矢量n=i+k 成右手系分析:本题可为直接利用闭曲线积分计算,也可利用斯托克斯公式计算.方法一: 把曲线积分化为对x的定积分.我们把积分曲线指明方向(如图,红的尖头)在L1(当x沿正向从R到0时),y为正的,在L2,x由0到R时Y为负的.xyzRRnL1L2xyzRRnL1L2把闭曲线积分化为对x的定积分时,往往会出现双值函数(这里是y2=2xR-2x2 )积分需要分段进行.显然

6、是比较麻烦. 上面的计算是给大家一个最基本的处理这类问题的方法.方法二 把积分曲线用参数方程表示,把原积分表示为对参数的定积分引入参数t,把曲线积分表示为如下的参数方程方法三: 利用斯托克斯公式,把闭曲线的积分化为在闭曲面上对坐标的曲面积分xyzRRnL1L2因为平面x+z=R在xoz平面上的投影为一直线直线的面积为0因为球和平面的交线在xoy平面和yoz平面上的投影相同,由上面分析,球面x2+y2+z2=R2和平面x+z=R的交线在xoy平面的投影是一椭圆,它的面积为ab,其中a为长轴的半径,b为短轴的半径故它们相等二.空间曲线积分与路径无关的条件 在第三节中,利用格林公式推出平面曲线积分与

7、路径无关的条件完全类似地,利用斯托克斯公式,可推出空间曲线积分与路径无关的条件. 空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零关于空间曲线积分在什么条件下与路径无关的问题,有下面的结论定理2 设空间区域G是唯一单连通域,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数,则空间曲线积分在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是在G内恒成立证明: 如果等式 (5)在G内恒成立,则由斯托克斯公式(1)立即看出,沿闭曲线的曲线积分为零,因此条件是充分的.反之,设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零,若G内有一点M0使(5)式中的三个等式不完

8、全成立,例如 .过点M0(x0,y0,z0)作平面z=z0,并在这个平面上取一个以M0为圆心,半径足够小的圆形闭区域K使得在K上恒有不妨假定设是K的正向边界曲线.因为在平面z=z0上,所以按定义有又由(1)式有其中是K的面积,因为0,0,从而这结果与假设不符合,从而(5)式在G内恒成立.证明完毕.应用定理2并仿照P149定理3的证明,便得到定理3 设区域G是空间一维单连通区域,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数,则表达式Pdx+Qdy+Rdz在G内成为某一函数u(x,y,z)的全微分的充分必要条件是等式(5)在G内恒成立当条件(5)满足时,这函数(

9、不计一常数差)可用下式求出:或用定积分表示为(按图取积分路径)xyzM0(x0,y0,z0)M1(x,y0,z0)M2(x,y,z0)M(x,y,z)其中M0(x0,y0,z0)为G内某一定点,点M(x,y,z)G其中是螺旋线x=acos,y=asin,z=h/2 (0 2),从z轴正向看为逆时针方向.oxyzAB分析:的起点为A(a,0,0),终点为B(a,0,h). 我们添加直线BA使它和构成封闭曲线例3 计算三. 环流量与旋度 设斯托克斯公式中的有向曲面在点(x,y,z)处的单位法向量为而的正向边界曲线在点(x,y,z)处的单位切向量为则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分

10、表示为设有向量场在坐标轴上的投影分别为的向量叫做向量场A的旋度,记作rot A,即现在,斯托克斯公式可写成向量形式其中为rot A在的法向量上的投影,而为向量A在的切向量上的投影沿有向闭曲线的曲线积分叫做向量场A沿有向闭曲线的环流量,斯托克斯公式(9)现在可叙述为:向量场A沿有向闭曲线的环流量等于向量场A的旋度场通过所张的曲面的通量,这里的正向与的侧应符合右手规则.为了方便记忆,rotA的表达式(8)可利用行列式记号形式地表示为而最后,我们从力学角度来对rotA的含义作解释.设有刚体绕定轴L转动,角速度为,M为刚体内任意一点,在定轴L上任取一点O为坐标原点,作空间直角坐标系,使z轴与定轴L重合,则=k,而点M可用向量r=OM=(x,y,z)来确定.由力学知道,点M的线速度v可表示为v=r因此有而从速度场v的旋度与旋转角速度的这个关系可见“旋度”这一名词的由来. 对坐标的曲