山东大学高等数学课件05定积分与不定积分

1、要求：理解定积分与不定积分的概念 熟练掌握定积分与不定积分的计算方法记住 多做练习啊！ 定积分与不定积分0 定积分概念与性质分割取近似求和取极限2.变速直线运动的路程（1）分割 （2）取近似共同特性分割，取近似，求和，取极限(3)求和 （4）取极限二.定积分的定义1.定义曲边梯形的面积变速运动的路程定理1. 设f(x)在区间a,b上有界,且有有限个第一类间断点,则f(x)在a,b上可积.注(1)定积分是一个数值与被积函数有关。(2)定积分的值与区间的分法无关,2.定积分存在的充分条件(3)定积分的值只与区间长度有关，与 的取法无关3.定积分的几何意义例1 利用定积分的定义计算三.定积分的性质对

2、于c在区间 a,b之内或之外, 结论同样成立几何解释：在a,b上至少存在一点,使曲边梯形的面积等于以 为高的一个矩形面积 由导数概念知 不定积分概念及性质1.定义: 若则求原函数的问题是与求导数相反的问题一.原函数的概念问题:(1)什麽样的函数存在原函数? (2)若 具有原函数,共有多少个?若f(x)有原函数则一定有无穷多个连续函数一定有原函数2.不定积分的定义记作原函数的全体称为不定积分 ,定义 23.若 是 的原函数,1.原函数存在定理:如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I存在可导函数F(x),使对一切 ,2.若F(x)是f(x)的一 个原函数,那么F(x)+c也是 f(x)的原函

3、数则f(x)的一个原函数在几何上称为一条积分曲线这些积分曲线在这自变量相同的点处切线是相互平行的3.原函数与不定积分的几何意义二.不定积分的性质三.不定积分的基本公式请牢记要背熟!例题：求下列不定积分拆项积分是一种有效的积分方法！四.换元积分法与分布积分法讨论几种常见函数的积分1.第一类换元积分公式 令 令 例2例3例1例1例2.例1例2例3例4例5令 u=cosx例6令 2.第二换元积分法定理2. 3.分布积分法例2例6例7 求其中n 为整数解 用分布积分，当 时有即于是以此作递推公式，可得并由有理函数的积分1引言 两个多项式 与 之商 称为有理式。而有理函数的积分可以分解为下面几种有理函数

4、的积分。几类简单有理函数的积分代数基本定理定理1 任何一个 次多项式 可以分解成 下面的形式其中 为实数根， 为其实数；分别对应于一对复根，为其实数，且定理2 若有理真分式 的分母 分解成定理1的形式，则有理真分式可展开成其中 等都是未定常数。可通过比较多项式系数而定出。例例1例2令得令令得得例3例4三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限四则运算所构成的函数，由于各种三角函数都可用 及 的有理式表示，故三角函数有理式也就是 的有理式，记作例5 求有三角公式知 与 都可以用 的有理式表示，即令于是一般地对于三角有理式的积分，令简单无理函数的积分主要讨论 及例1例2例3例4

5、令令令令 定积分与原函数的关系一.变上限的定积分及其导数定理表明:(1)连续函数一定存在原函数(2) 把定积分与原函数之间建立起联系二.牛顿-莱布尼兹公式第四节 定积分的换元积分法与分布积分法一.定积分的换元积分法注意:换元的同时一定要换限二.定积分的分布积分法 定积分应用定积分的微元分析法用定积分表示的量U必须具备三个特征 :一 . 能用定积分表示的量所必须具备的特征(3) 部分量 的近似值可表示为二 .微元分析法则U相应地分成许多部分量;用定积分表示量U的基本步骤:(1) U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量;(2) U 对于区间a,b具有可加性.即如果把区a,b 分成许多部分区间,根

6、据问题的具体情况,选取一个变量(2) 在区间a,b内任取一个小区间 ,求出相应于这个小区间的部分量 的近似值.在 处的值 与 的乘积,就把 称为量U的微元且记作 ,即如果 能近似地表示为a,b上的一个连续函数例如x为积分变量,并确定其变化区间a,b;(3) 以所求量U的微元 为被积表达式,在区间a,b上作定积分,得 平面图形的面积一 直角坐标情形1 . 曲边梯形当f(x)在a,b上连续时, 由曲线y=f(x)和x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积就是2. 一般图形以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为如果函数 在a,b上连续,且 则介于两条曲线 注意:根据具体的图形特点,也可以选

7、择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算.例1 求椭圆的面积(如图).解 由对称性,椭圆的面积其中为椭圆在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx则图形的面积为则例2 求由所围图形面积.解 两抛物线的交点为(0,0)及(1,1).取x为积分变量,其变化区间为0,1.由前面讨论可知:(1,1)oyx例3 求由所围图形面积.解 两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为-2,4.yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为:从而可得图形面积二. 极坐标情形1. 曲边扇形其中r()在 ,上连续,且r()0.相应于, +d的面积微元为则图形面积为o r

8、=r()设图形由曲线r=r()及射线=, =所围成.取为积分变量,其变化区间为 ,2. 一般图形及射线=, =所围图形的面积微元为 则面积为o相应于从 0到2的一段弧与极轴所围图形的面积. 解 如图,可视为=0, = 2及r=a 围成的曲边扇形.则其面积为o 由曲线 例4 求阿基米德螺线r=a(a0)上NoM例5 求r=1与r=1+cos所围公共面积.解 如图,曲线交点为由对称性则而三. 参数方程情形 当曲边梯形的曲边为参数方x=(t),y=(t) ,且()=a, ()=b,在,上(t)有连续导数, (t)连续,则曲边梯形面积面积为在例1中,若采用椭圆的参数方程则 立体的体积一. 平行截面面积

9、已知的立体体积点x且垂直于x 轴的截面面积.如图,体积微元为dV=A(x)dx, 则体积为 例1 如图,从圆柱体上截下一块楔形体,abx求其体积. 取x为积分变量,其变化范围为a,b. 设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过则边长分别为y和ytan .因此如图,过x的截面是直角三角形,解-RRyxoxyxyoRh高为h的正劈锥体的体积.底边长为2y,高为h.因此 则过x的截面是等腰三角形, 解 如图, 例2 求以圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶,称为旋转体.则如前所述,可求得截面面积二. 旋转体的体积则 平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体设旋转体由图1的曲边梯形绕x轴形成.

10、yxaby=f(x)ox图1 同理,如旋转体由图2的曲边梯形绕y轴形成.ycoxdx=(y) 例3 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积. 解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为由公式得yoxP(h,r)则体积为图2图3例4 求星形线绕x轴旋转而成的立体体积解 由对称性及公式aaxy 例5 求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积. yxoba解 圆的方程为,则所求体积可视为曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差.分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的则例 证明：由平面图形 绕 轴旋转所成的旋转体的体积为柱壳法就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的一系

11、列圆柱形薄壳组成的，即为圆柱薄壳当dx很小时，此小柱体的高看作f（x），以此柱壳的体积作为体积元素，在区间 上柱壳体的体积元素为 平面曲线的弧长光滑曲线可应用定积分求弧长. 若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上连续,则称曲线y=f(x)为区间a,b上的光滑曲线,一.直角坐标情形设光滑曲线方程:可用相应的切线段近似代替.即则弧长微元(弧微分)故弧长为oyxdyabdxy=f(x)取x为积分变量,变化区间为a,b.a,b内任意小区间x, x +d x的一段弧长 例1 求曲线相应于x从a到b的一段弧长.解 例2 求的全弧长.解 y=y(x)的定义域为,故弧长为:二. 参数方程情形设光滑曲线方程:

12、弧长微元则如前所述,例4 求星形线的弧长.解 由对称性及公式例4 求阿基米德螺线r=a(a0)上相应于从0到2的一段弧长.解三. 极坐标情形设曲线方程:r=r() (). 化为参数方程:则114定积分的物理应用一. 变力沿直线作功若物体在常力F作用下沿F方向移动s距离,.由x=a移到x=b,可用微元法解决做功问题.dW=F(x)dx则F(x)abxx+dx则W=Fs 若物体在变力F(x)作用下沿力的方向 取x为积分变量,变化区间为a,b.相应于任意小区间x,x+dx的功的微元115 例1 设9.8牛顿的力能使弹簧伸长1厘米,解从而由公式(焦耳) 例2 形如圆锥台的水桶内盛满了水(如图), 解

13、设想将水分成许多薄层,问将全部水吸出需作多少功?(水比重为9800牛顿/立方米)0yx13(3,2)xx+dx求伸长10厘米需作多少功?所以k=980.F=9.8牛顿,而x=0.01米时,已知 F=kx,F=980 x.吸出各层水所作的功的总和即为所求.116 取x为积分变量,变化区间为则 例3 一桶水重10kg,由一条线密度0.1kg/m的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元吸出这层水的位移近似于x.的薄层水近似于圆柱,0,2.相应于任意小区间x,x+dx绳子系着,将它从20m深的井里提上来需作多少功?117 解 将水桶从井里提上来所作的功为 将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为

14、xo20 xx+dx即变力沿直线作的功为118二. 静液压力 设有一面积为A的平板,水平放置在液体下深度h处,则平板一侧所受压力为 N=hA. (为液体比重)则平板一侧所受压力须用微元法解决. 取x为积分变量,变化区间为a,b.oxyabxx+dxy=f(x)近似于水深x处水平放置的长方形窄条所受的压力.相应于x,x+dx的窄条所受到的压力 如果平板垂直放置在液体下,以如图曲边梯形为例:119则压力微元为dN= xydx= xf(x)dx因此整个平板所受压力为 例4 一个横放的半径为R的圆柱形油桶内有半桶油(比重),求一个端面所受的压力.解 由对称性从而转化为上述曲边梯形情形,即oxyabxx+dxy=f(x)xyo120例5 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力.解 由对称性也可转化为曲边梯形情形,曲边为则压力为三. 引力由万有引力定律,两质点之间的引力为若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决.2o2xy(2,1)121 例6 设有质量为M,长度为l的均匀细杆,任意小段x,x+dx近似于质点,且质量为