高考专题复习二次函数和方程不等式ppt

1、关于高考专题复习二次函数与方程不等式ppt第一张，PPT共二十四页，创作于2022年6月1.一般式: y=ax2+bx+c(a0);一、二次函数的解析式2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标); 注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时,要根据题设条件, 合理地设出解析式. 二、二次函数的图象有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标;截 x 轴线段长.第二张，PPT共二十四页，创作于2022年6月三、二次函数的性质

2、1.当 a0 时, 抛物线开口向上, 函数在(-, - 上单调递减, 在- , +)上单调递增, 当 x= - 时, f(x) 取得最小值,为 .2ab2ab2ab4a4ac-b2 2.当 a0)在m, n上的最值2.若 x0m, n, 则(1)当 x0n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).1.若 x0=- m, n, 则 f(x)min=f(x0)= , f(m), f(n) 中的较大者即为 f(x) 在 m, n 上的最大值.2ab4a4ac-b2 第四张，PPT共二十四页，创作于2022年6月五、不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题1. ax2+bx+c0在R

3、上恒成立. a0=b2-4ac0. 或ax2+bx+c0在R上恒成立. a0=b2-4ac0, a=b=0 c0(a0) 在 m, n 上恒成立. f(m)0, - m 2ab=b2-4ac0. - n 2ab或 f(x)min0(xm, n) f(x)=ax2+bx+c0) 在 m, n 上恒成立. f(n)0. f(m)0) 的实根分布问题记 f(x)=ax2+bx+c(a0),=b2-4ac0. x1+x2=- 0 abacx1x2= 0 =b2-4ac0 f(0)0. - 0 2ab2.方程 f(x)=0 有两负根 =b2-4ac0. x1+x2=- 0 =b2-4ac0 f(0)0.

4、 - 0. - k 2ab3.方程 f(x)=0 有一正根一负根 c0.5.方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k f(k)0. - k 2ab7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内 f(m)0 =b2-4ac0 m - 0. 8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内. f(m)f(n)0, 或f(m)=0 m - , 2abm+n 2 - n. 2abm+n 2f(n)=0 或 思考 方程的两根有且只有一个在区间m, n上时等价于?第七张，PPT共二十四页，创作于2022年6月9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n

5、)和(p, q)(n0 f(n)0 f(p)0. 注 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑: f(x) 图象的开口方向; 方程 f(x)=0的判别式; 区间端点处函数值的符号. f(x) 图象的对称轴与区间的关系; 第八张，PPT共二十四页，创作于2022年6月0=00)的图象二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a0)的解集ax2+bx+c0 x | x1x0) 的根有两相异实根 x1, x2 (x10)的解集Rax2+bx+c0 x | xx2x | x- 2ab第九张，PPT共二十四页，创作于2022年6月

6、八、典型例题1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 试确定此二次函数的解析式.解法一: 利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则4a+2b+c=-1, a-b+c=-1, =8. 4a4ac-b2 a=-4, b=4, c=7. 解得解法二: 利用二次函数的顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n, f(2)=f(-1)=-1, 抛物线的对称轴为直线 x= , 12m= . 12又 f(x) 的最大值是 8,n=8. f(x)=a(x - )2+8, 12

7、f(2)=-1, a(2 - )2+8=-1, 12a=-4. 故所求函数的解析式为f(x)=-4(x- )2+8=-4x2+4x+7. 12第十张，PPT共二十四页，创作于2022年6月解法三: 利用二次函数的两根式.由已知 f(x)+1=0 的两根为 2 和 -1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 从而 f(x)=a(x-2)(x+1)-1. 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又 f(x) 的最大值是 8,4a4a(-2a-1)-a2 =8, 解得 a=-4 或 a=0(舍去). 故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7. 第十一张，

8、PPT共二十四页，创作于2022年6月 f(x) 在区间0, 2上的最小值为 3, 可分情况讨论如下:2.已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间0, 2上有最小值 3, 求实数 a 的值.解: 由已知 f(x)=4(x - )2 - 2a+2. a2a2(1)当 0, 即 a0 时, 函数 f(x) 在0, 2上是增函数. f(x)min=f(0)=a2-2a+2. a2(2)当 0 2, 即 0a0, 且当 xa 时, S=(x -3)2+y2 的最小值为 4, 求参数 a 的值.解: 由已知 S=(x -3)2+y2=(x -3)2+4a(x -a)=x-(3-2a)2

9、+12a-8a2. 当 xa 时, S(x)=x-(3-2a)2+12a-8a2 的最小值为 4, 对正数 a, 可分情况讨论如下: (1)当 3-2a1 时, 函数 S(x) 在a, +上是增函数. S(x)min=S(a)=(a-3)2. 由 (a-3)2=4 得: a=1 或 5. a1, a=5. (2)当 3-2aa, 即 0a1 时, S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2. 由 12a-8a2=4 得: a=1 或 , 12均满足 00 的解集是(- , ), 求 a, b, c 的取值范围.1213解: 由已知, 二次方程 ax2+bx+c -250 有实根. =b2-

10、4a(c -25)0. 又不等式 ax2+bx+c0 的解集是(- , ),1213 a0. 1616 b=-c, c2+24c(c -25)0. 解得: c24. b-24, a-144. 故 a, b, c 的取值范围分别是 a-144, b-24, c24. 代入 b2-4a(c -25)0 得: 第十四张，PPT共二十四页，创作于2022年6月5.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 是否存在常数 a, b, c, 使不等式 xf(x) 对一切实数 x 都成立?x2+1 2则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 得 a-b+c=0. xf(x) 对

11、一切实数 x 都成立, 当 x=1 时也成立, x2+1 2 1f(1)1, 即 f(1)=1, 得 a+b+c=1. 由 , 得: a+c=b= . 121212 f(x)=ax2+ x+ -a. 解: 假设存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数 x 都成立. 1212故应xax2+ x+ -a 对一切实数 x 都成立. x2+1 2即2ax2-x+1-2a0与(1-2a)x2-x+2a0对一切实数 x 都成立.则必有: 1-8a(1-2a)0, 即 (4a-1)20. 14 a= . 1214 c = -a = . x2+1 214故存在一组常数: a= , b= , c= ,

12、 使不等式 xf(x)对一切实数 x 都成立.1412其中, 0a0, 求实数 a 的取值范围; (2)若对 -1, 1 上的一切实数 m, 都有 f(m)0, 求实数 a 的取值范围.解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线 x=a-1. (1)问题等价于“对于 x-1, 1, 有 f(x)max0.”讨论如下: 当 a-10 即 a1 时, f(x)max=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+150 得: -5a3. a1, -50 即 a1 时, f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7. 由 -a2+6a+70 得: -1a1, 1a7. 综上所述,

13、 -5a0.”讨论如下: 当 a-1-1 即 a0 得: -1a7. a0, -1a0 恒成立. 0a2. 综上所述, -1a1 即 a2 时, f(x)min=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+150 得: -5a2, 2a0), 方程 f(x) -x=0 的两根x1, x2 满足 0 x1x2 . (1)当 x(0, x1) 时, 证明: xf(x)x1; (2)设函数 f(x) 的图象关于直线 x=x0 对称, 证明: x0 . 1a2x10 x1x20, 1+a(x-x2)=1+ax-ax21-ax20. 1a当 x(0, x1) 时, 由 x10 有: F(x)=a(

14、x-x1)(x-x2)0. 即 f(x) -x0, 从而 f(x)x. 又 x1-f(x)=x1-x+F(x)=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)1+a(x-x2). x1-f(x)0, 从而 x1f(x).故当 x(0, x1) 时, 有 xf(x)x1; 第十八张，PPT共二十四页，创作于2022年6月(2)依题意 x0=- . 2ab由于 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 即 ax2+(b-1)x+c=0 的两根, x1+x2=- , b=1-a(x1+x2). b-1 a x0=- 2ab1-a(x1+x2) 2a =-a(x1+x2)-1 2a = . ax21

15、, 即ax2-10, 2x1a(x1+x2)-1 2a = = . x0 2aax1故 x00 在0, 上恒成立, 求实数 a 的取值范围.解: (1)令 t=sinx, 则方程 2sin2x-4asinx+1-a=0 在0, 上有两个 不同的解等价于:方程 2t2-4at+1-a=0 有一根为 0, 另一根不在 (0, 1) 内; 或方程 2t2-4at+1-a=0 在 (0, 1) 内有两等根; 或方程 2t2-4at+1-a=0 有一解在 (0, 1) 内, 另一解在0, 1外. 当 t=0 时, a=1, 方程 2t2-4at+1-a=0 的另一根为 2 且 2(0, 1), a=1

16、适合题意; 第二十张，PPT共二十四页，创作于2022年6月方程 2t2-4at+1-a=0 有两等根时, 由 =16a2-8(1-a)=0 得: a=-1 或 . 12a=-1时, 方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为-1 但 - 1(0, 1), a=-1 不合题意, 舍去; 12又a=时, 方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为 且(0, 1), 1212a= 适合题意; 12 设 f(t)=2t2-4at+1-a, 则方程 2t2-4at+1-a=0有一解在(0, 1)内, 另一解在0, 1外等价于: f(0)f(1)0, 即 (1-a)(3-5a)0. 解得 a1. 3

17、5综上所述, 实数 a 的取值范围是 a= , 或 0 在0, 上恒成立等价于不等式 2t2-4at+1-a0 在0, 1上恒成立.等价于 或 或a0 0a1 f(a)0 a1 f(1)0. 即 或 或a0 0a1 2a2+a-11 3-5a0. 解得 a , 12此即为所求实数 a 的取值范围.解法二: 分离参数: a=(0sinx0, 当x(-, -3)(2, +) 时, f(x)0. (1)求 f(x) 在0, 1上的值域; (2) c 为何值时, ax2+bx+c0 的解集为 R.10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a, b, cR)同时满足下列条件: f(-1)=0; 对任意的实数 x 都有 f(x)-x0; 当 x(0, 2)时, 有 f(x) ( )2. (1) 求 f(1); (2) 求a, b, c 的值; (3) 若当 x-1, 1时, 函数 g(x)=f(x)-mx(m为实数)是单调函数, 求 m 的取值范围.x+1 211.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a0, a, bR). 设关于 x 的方程