数学建模竞赛基于多雷达目标定位的数学模型

1、专业资料学习参考基于多雷达目标定位的数学模型（选作题号A）摘要建立方程组把求雷达系统定位的最少雷达数量问题转化为以最少的方程个数n使该方程组具有唯一解，得出结论：1、当雷达站点不共线布置时，只需要三部雷达便可实现定位；2、当所有雷达位于一直线上时，无论雷达数目是多少，均只能获得目标在x或y方向的坐标，不能完全定位。对于问题二，我们采用微积分、概率论中的相关知识以及斜距离定位系统分析定位误差，建立了定位误差与测距误差和坐标误差的关系的微分方程模型。得到结果：采用三个雷达定位时，定位误差的期望值为0，方差与雷达的测距误差a和坐标误差c成线性关系。rs针对问题三，首先，建立了可选站址的定位算法模型，

2、但此算法中雷达站址的选择具有局限性。最后我们从概率统计的角度建立了基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法模型，并在具体实施中对算法进行化简，较好地解决了问题中的三组数据目标定位，得出的相应目标飞行物坐标为（-25292，6292，24003），（-28138，4315，23941），（-25461，6217，23765），并通过对结果的误差比较，给出了影响误差的因素及算法的评价。以问题二对定位精度的分析为基础，进一步通过对定位误差分析计算并参考有关资料，给出了如下一些控制精度的建议：1、采用先进技术,减小测距误差和站点坐标误差；2、适当增加相邻雷达站间距离；3、合理布置雷达站点空间分布；4、

3、适当增加雷达站的数量。在完成所有模型的建立与求解之后，我们还对模型优劣进行了比较分析和评价，并提出了相应的改进和完善的方向，并把模型进行推广使用。关键字:目标定位定位误差微分方程坐标误差一、问题的提出在电子对抗领域，对辐射源位置信息侦察越精确，就越有助于对辐射源进行有效的战场情报信息获取和电子干扰，并为最终摧毁目标提供有力的保障。在某地上空发现有一可疑的飞行物，需要对其进行精确定位。常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。每个雷达都可以测量自身的坐标（xi,yi,zi）以及它到飞行物距离ri（i=ln），其中n为雷达的总数。通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以确定目标的空间

4、飞行物的坐标S（九y，Z）。由于每个雷达在测量自身坐标和飞行物到各雷达的距离都存在测量误差，这给精确定位带来了困难。如何选取合适的方法进行精确定位是目前对飞行物进行精确定位一个难点。假设距离误差服从正态分布N（Qt），坐标误差服从正态分布n（q丿。在这个假定下完要我们成以下工作。一、至少需要几个雷达才能定位飞行物？二、在最少雷达的条件下，分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度的影响。三、在实际情况中，主往使用更多雷达进行精确定位，青设计一种定位算法。对以下三组雷达得到的测量数据，计算飞行物的坐标。（数据见附件一）四、试给出控制雷达定位精度的建议。二、问题分析由题目我们可以知道，常用的定位方法是

5、基于多基雷达的测量方法。每个雷达都可以测量自身的坐标W，yi，巴）以及它到飞行物距离r（ii_n），其中n为雷达的总数。通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以确定目标的空间飞行物的坐标s（兀z）。通过图2-1我们可以看到在空间坐标图2-1:单个雷达定位飞行物示意图系中一个雷达自身的坐标，雷达到飞行物的距离和空间飞行物的位置坐标三者之间的空间关系。根据对题目的理解对所提出的四个问题逐一分析。1、针对问题一，可以把最少需要多少个雷达才能定位飞行物的问题转化为以方程组中最少的方程个数n使该方程组具有唯一解,该唯一解即为我们要求的飞行物定位坐标。2、针对问题二，在最少雷达条件下已经知

6、道距离误差服从正态分布N(Qt)，坐标误差服从正态分布N(Qr)，在使用最少雷达(也即三部雷达)的条件下，为了分析并比较距离误差N(Qt)和坐标误差N(Qr)对定位精度Q的影响，我们必须首先找到距离误差和坐标误差与最终的定位误差dx之间的关系,通过建立对两种误差的分析模型定量定性地描述距离误差和坐标误差对定位精度的影响。3、针对问题三，根据题目中提供的数据，通过对数据的筛选分析，得到飞行物坐标变量与所提供数据之间的联系，建立一种计算飞行物坐标的算法模型，最终较为准确的得到飞行物的定位坐标。4、对于问题四，可以通过本题目中对前三个问题所得结果的的总结和分析，找到尽量减小定位误差的方法，并通过查阅

7、与提高雷达定位精度相关的资料，得到影响雷达定位精度的多方面因素，从而全面地提出提高雷达定位精度的合理建议。三、模型假设1、各雷达组在地表的同一平面上，忽略地球曲率的影响。2、在雷达对飞行物坐标进行测量时，我们认为飞行物在测量时段内处于静止状态，也就是说，误差的产生只与雷达自身有关，而与飞行物无关。3、在空间位置上，根据雷达测距原理，我们假定雷达均处于飞行物的下WORD整理版WORD整理版专业资料学习参考x专业资料学习参考方。4、被测目标所在位置与xoy平面距离较远(远远大于坐标误差和距离误差)。5、假定各雷达站点站点坐标在各方向上的误差均相互独立，各测量的距离误差均相互独立，而且与站点坐标误差

8、相互独立。6、距离误差服从正态分布n(Qt)，坐标误差服从正态分布N(Q丿。7、不考虑雷达及目标飞行物的形状大小，认为其位置为对应坐标系的一点。四、符号约定4-1x目标飞行物的x轴坐标4-2y目标飞行物的y轴坐标4-3z目标飞行物的z轴坐标4-4xi第i个雷达站的x轴坐标4-5yi第i个雷达站的y轴坐标4-6zi第i个雷达站的z轴坐标4-7R(x,iiyizi)第i个雷达自身的坐标4-8ri第i个雷达到飞行物的距离4-9(Ax,Ay,心飞行物的坐标误差4-10f(x,y,zZ飞行物到雷达的距离函数4-11Q飞行物的定位精度4-125X轴方向定位误差五、模型的建立与求解5-1求雷达系统定位的最少

9、雷达数量设至少需要i个雷达才可以定位飞行物，由下面的方程组则可以解出(x,y,z)22式1.1）确定目标位置需要确定三个方向上的坐标，故至少需要三个方程才能解出定位点（x,y,z），即至少三个雷达，根据三个雷达的测得数据可以得到如下方程组：+(y-“+(z-讣式1.2）分两种情况进行讨论：（1）三部雷达在一条直线上此时可通过坐标转换将雷达的x方向坐标定义在此直线上，即y=y=y=y；1230由于目标点和雷达的相对位置关系不变，因此转换坐标系对定位没有影响，此时厂r2=(x-x)2+(y-y)2+z1=(x-1)20)20;5.3.2.2算法实现及模型求解本文在Matlab软件上编程实现此算法，

10、用到软件中函数库的fminunc函数来具体实现非线性规划的优化，在求解过程中嚅要预先估计中目标位置的初始值。下表为通过合理选取目标位置坐标初值(x,y,z)(20000,5000,20000)，000并利用题中所给的三组雷达测量数据，求解得出的相应较优化结果各组数据目标位置坐标(X,y,z)结果，及目标函数S的值：表1算法较优化求解结果Xi测量数据-252926292240038.2087测量数据二-2813843152394147.0783测量数据三-2546162172376581.63012三组数据各雷达距离测量误差r(i)e分布：圏(D数据-课菱分布图(2)数据联差分布M峠也鼻吞辻竹墓

11、矢鼎鼻勺鼻艮通呈出i：一41魁畳Q,Vli3If讦，:-a.ztrirj；*-i-；-图数据二谍塗分布聖hi：丄工亞五*列陌石養左圧三42P5.3.2.3结果分析与检验初值选取的依赖性对测量数据一，改变初值(x,y,z)，得出相应结果000表2不同初值的求解结果1工*”九，3F2e1-20000.5000,20000)-252926292240038.2087(-20000.5000.0)-32985674101425400(0.0,20000)-252926293240038.2129t200000,50000.200000)-2615968502258930711(10004OOOJOOO

12、)-252936292240018.2153通过改变坐标初值(xo,y。,z。)的给定，发现得出的结果也有相应的变化，在某些初值条件的结果甚至与真实值相差甚远。由此可知，算法对于初值的选定由一定的依赖性，经过反复调试，得出如下结论：出现对初值选取的依赖及结果不收敛是因为算法实现时用到的fminunc函数是通过迭代方法求目标函数局部最优解所造成的。尽管结果对初值选取有一定的依赖性，但可以通过观察目标函数s的大小来判断给出的结果是否合理，并通过逐步改进初值的方法，最终找到较优化的结果。C.当给定的位置坐标初值在此范围内”40000 x40000040000y400000400z400000时，可以

13、认为给出的结果为较合理的结果，其中上述的范围限定只是一种保守的大概估计，当坐标初值取值在上述范围外，即有可能出现结果甚至与真实值相差甚远的情况。误差分析由算法给出的三组数据结果的定位精度达到1米的数量级；比较三组数据结果，发现第一组数据的求算结果最好，距离误差的最小方差为s=&2087，即定位精度的误差小于2.5-3米，可认为已经达到了比较高的精度；第二、第三组数据的距离误差的最小方差分别为47.0783，81.6301，即可以认为相应的地位精度误差在6-8米，8-10米之间；通过比较三组数据的雷达站址坐标的不同，可以对造成三组数据结果误差不一的原因，给出下列解释：第一组数据中的雷达站址网点分

14、布相对分散，雷达数目较多，从而有可能使得部分雷达的测量误差的一部分得到抵消，这种效果使最终的总误差较小；第三组数据很明显雷达站点相对比较少，只有12个，站址分布较集中，使得最终的测量误差较大；5.3.2.4算法优缺点分析模型优点：a.理论分析方面，本算法是在结合了题目给出的误差服从正态分布条件，由概率密度模型简化而来的，具有较强的针对性，比较合理地解决本题目给出的问题。经简化了的本算法，能比较容易地在Matlab等软件上实现，且实现了自动读取数据，给出位置坐标及最小方差的功能，可行性很强且具有一定的推广应用价值。从得出的结果也能看出，算法所给出结果的精度达到1米的数量级，可以认为结果是相对精确

15、的。模型缺点：本算法忽略了坐标测量误差的影响，以距离误差对精度的影响来替代总误差对精度的影响，这样做所带来的误差大小取值是根据雷达布局与目标飞行物的空间相对位置决定的，当在雷达分布比较对称，飞行物位于所有雷达覆盖面的中轴上空时，误差影响很小，可忽略不计，但当雷达、目标的空间位置关系不满足这种形状且相差比较大时，由于不考虑坐标误差所导致的结果误差会比较大。5-4控制定位精度的建议5-4-1通过提高测量精度来提高雷达定位精度测量值直接用于雷达定位的计算，由于测量量不单一，通过不确定度传递会使误差值增大，导致最终计算结果误差偏大，无法实现精确定位。措施：提高雷达自身精度，分析考虑外界因素的影响（如大

16、气层对电磁波的影响，地球曲率对所建立的坐标的影响等）。5-4-2通过雷达合理布站来提高定位精度（1）通过增加雷达数目来提高定位精度通过计算结果分析，第一组和第二组雷达定位的精度明显大于第三组雷达定位的精度。这是因为在测量的过程中不可避免的存在不确定性因素和误差，而只有较少的测量数据就使得计算结果有较大的不确定性和偶然误差，这就使得定位结果偏离真实值较远而使雷达定位不准确。如果有较多的测量数据就会将这种不确定因素得以减弱，偶然误差得以减小，从而使得定位较精确。所以在要求高精度定位的情况下一定要保证雷达的数目。（2）定雷达数条件下的合理布站在雷达数一定的前提下，雷达的布阵面积也会对雷达组的定位精度

17、产生相应的影响。在较分散的雷达组中，雷达组的受控面积较大，但在测区内，测量精度较集中布阵会有所降低。所以集中式布阵常用于小范围高精度监控，分散式布阵常用于大范围测控。（3）雷达排布形状对定位精度的影响在不能确定飞行物的方位和飞行方向时，可以将雷达按正方形布阵，这样就能在所有方位上都有较高的定位精度，同时还减少了雷达的盲区。（4）地理环境和外部环境的影响为了使雷达能有更大的监控区域和更广阔的视野，在不考虑雷达的隐蔽性和安全的情况下，应该将雷达尽量布置在较高的地方，这样可以减少周围环境和地形对雷达的定位精度和监控区域的影响。此外，雷达应尽量远离电磁波辐射较强的区域，避免额外电磁波对反射电磁波的干扰

18、。综上所述，在实际的雷达排布中应根据具体情况来按照上面所给的建议交叉布阵。六、模型的评价及改进6-1模型优点：1.模型通俗易懂，模型的结果可以通过Matlab等软件计算获得。模型应用范围广，可推广到很多领域，如GPS全球定位系统。准确性高，通过三基雷达雷达子系统可确定多组值，得到雷达距离误差和坐标误差与影响定位精度的关系，以便为采取体噶定位精度的方案提供科学依据。理论分析方面，基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法模型是在结合了题目给出的误差服从正态分布条件，由概率密度模型简化而来的，具有较强的针对性，比较合理地解决本题目给出的问题。6-2模型缺点：1.数据多，而且所得的数据本身就有测量上的

19、误差，较多因素未考虑进去，没有考虑各个因素之间的关系，认为他们彼此独立，虽然简化了模型，但是降低了其结果的精确性。2.雷达布置的要求按有规定计算的位置，具有一定的局限性，在现实应用中可能达不到设计的布置要求而影响定位精度。基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法模型忽略了坐标测量误差的影响，以距离误差对精度的影响来替代总误差对精度的影响，这样做所带来的误差大小取值是根据雷达布局与目标飞行物的空间相对位置决定的，当在雷达分布比较对称，飞行物位于所有雷达覆盖面的中轴上空时，误差影响很小，可忽略不计，但当雷达、目标的空间位置关系不满足这种形状且相差比较大时，由于不考虑坐标误差所导致的结果误差会比较大

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23、4387051430041899.410075143004301&9866502230040161.257335223004070&4680202230041260.2387052230041814.06100752230042935.866650303004008&1873353030040636.388020303004118&6187053030041743.88100753030042867.5266503830040030.9773353830040579.9480203830041132.938705383004168&94100753830042814.0266504630039989.6873354630040539.2180204630041092.7587054630041649.29100754630042775.4266505430039964.3673355430040514.238020543004106&1187055430041624.99100755430042751.75第二