数学建模人口预测

1、摘要中国是一个人口大国，人口问题与我国的经济发展等方面息息相关。随着我国人口数量的不断变化，人口的老龄化问题也日益突显,政策的调整不可或缺。从当初实行计划生育政策到逐步放开生育政策再到全面实行二孩政策，我国人口发展呈现了一些新特点。本文旨在通过多种预测方法对“全面二孩政策”下的人口数量及其结构进行预测，筛选出了经济发展的指标，并分人口结构对经济发展的影响，结论如下：针对问题一，本文参考中国国家统计局等官方资料的数据统计出各年人口总数、自然增长率等数据，建立了logistic模型，得出人口总数的变化公式，然后建立GM(1,1)预测模型，预测2016年的人口总数，再利用SPSS进行回归、曲线估计，

2、得出最为符合的方程式，再利用MATLAB函数拟合工具箱对所得数据进行拟合。预测出2017-2030年间人口先增后减，在2021年达到峰值。针对问题二，通过建立BP神经网络模型，利用GM(1,1)灰色预测处理人口结构数据得到训练及测试数据集，将数据BP神经网络算法进行多次训练，最终得到具有相当精度的稳定预测结果。提取相当数量的经济指标并对其进行主成分分析降维处理，之后对主要经济指标及人口结构指标进行多元回归分析得到2020-2030年人口结构对经济发展的影响。针对问题三，关键词：灰色预测BP神经网络Leslie人口结构预测模型问题假设将我国看做一个封闭系统，没有人口的迁入和迁出人口增长只与人口基

3、数、生育率、死亡率等有关没有大规模战争及瘟疫等传染性疾病假设短期内没有外来物种对人类生存造成影响假设所有数据均为准确数据假设2050年前医疗水平和科学技术不会对人类的死亡率、出生率造成影响模型符号说明：r:人口自然增长率x：总人口数x：初始年份的人口数量0t：时间x(0)(k)：灰色预测的原始序列x(0)(k)：灰色预测的原始数列预测值兀.：第i个指标的第j个数据ijd:第i岁的死亡率ib:第i岁的生育率i问题一模型建立首先，我们建立了logistics模型，具体如下dx二rxdtx(0)=x其次，建立GM(1,1)预测模型dxGM(1,1)是一阶微分方程模型，其形式为：+ax=udt离散形式

4、：A(1)(x(k+1)+a(x(k+1)二u预测公式：尤伙+1)二x(1)(1)二ek+；adxx(t+At)一x(t)At由导数可知：=hm丿丿dtAtt0Ax当At很小并且取很小的1单位时，则近似的有：x(t+1)-x(t)飞Ax写成离散形式：云=x(k+1)-x(k)=A(1)(x(k+1)Ax(1)由于可涉及到累加列x(1)的两个时刻的数值,因此，xd)(i)取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将x(i)(i)替换为x(i)(i)+x(i)(i-1),(i=2,3,.,n).2x(i)=2x(i)(i)+x(i)(i-1),(i=2,3,nx(1)(k+1)=x(1)(k+1)+x(

5、1)(k)2=x(k+1)-x(k)=A(i)(x(k+1)AtA(i)(x(1)(k+1)+a(x(k+1)=ux(k+1)=x(k+1)+x(1)(k)2整理可得x(0)(k+1)=a-(x(k)+x(k+1)+u2表示为矩阵形式：x(0)(2)x(0)(3)一2x+x(1)1-x(3)+x12x(o)(n)_一补x(1)(n)+x(n-1)1不妨令y=(x(0)(2),x(0)(3),x(0)(n)T-丄x(2)+x2-丄x(1)(3)+x(1)(2)2-x(n)+x(1)(n-1)2-a则Y=BU,U=入=(BtB)-1Bryu模型求解1.对logistics模型进行求解得到总人口变化

6、公式：x=xert（x为初始年份人口数，00t21）2利用GM（1,1）模型，根据1996-2015年中国总人口数据，对2016年总人口数进行预测。根据所建立的模型，编写GM（1,1）灰色预测MATLAB程序，预测结果如下：后验差比值为：0.082408系统预测精度好下个拟合值为138651.1856图为灰色预测所得图像3.通过调查得到前20年（1996-2015）的人口自然增长率数据，利用SPSS进行回归、曲线估计，得到二次型，线性下的人口自然增长率函数最为符合如下表所示线性及二次型下的R2最为接近1方程式模型摘要參數評估R平方Fdf1df2顯著性常數b1線性.78164.195118.00

7、09.327-.281二次曲線模型.985553.075217.00011.477-.867S.67437.174118.0001.641.977即（1）r=a+bt+ct2（2）r二a+bt（其中a,b均为常数）曲线估计SPSS过程详见附录利用MATLAB函数拟合工具箱对所得数据用两个函数进行拟合田口曰&631012IBTahieofFitsFrttypeSSER-squ-areDFE|j*bU.7M1lojgifliaRtramt*DataHunt甜&y料aunthiedfit1untitledfh11dsLffiZdat%(none)Rt:Options.WrigMs；(nofic)Rf

8、sultvOwdMI-BfjfSSE14.71Ai驭ce*D70ikdjuirEtJlhnu.iT*83TKE0K4Omrr*llv4vlflxliJtsHCwfeffi-titifftl.i讣951C4ifidi&MWik*t0HV0Auksftty-fti)R.=Stopyw.iuntiledfit1tV20MR-sqRMSE*CoeffVdlidafticir.rValidation.|2111也IkddrEcn中可以得到自然增长率的线性函数为r=9.327-0.2809t（二次曲线情况下同理，此处不再列出）二次曲线函数为r=11.480.8673t+0.02793t2将二次曲线函数代入

9、x二xert中进行检验，发现人口数量会一直保持高速增长，显然不符0合实际，MATLAB作图如下Wi：j.1钳迟SSM価人工HE（P匪口啊昭助H101.51510242216510152025303540同理，对线性函数进行检验，所得图像如图所示发现人口增长速率过快，需要添加相关因素指标对其进行约束，题目中给出了全面二孩政策条件，通过查阅相关资料及文献可以确定二孩政策的影响,将所得e代入自然增长率函数并进一步代入总人口函数，通过MATLAB作图可得102551015253035卅卄存卅*卄卄十卄杆由图像可以看出人口总数会在十几年内达到顶峰，然后开始出现速率较慢的负增长得到每年人口数据如下(201

10、7-2030)147120150280152640154170154850154660153600151690148970145480141270136420131000125080问题二模型建立建立一个与问题一中相同的GM(1,1)模型建立BP神经网络模型，神经网络是由大量神经元互联而构成的网络建立一个综合评价模型我们在阅读了大量文献后，选择了如下指标：GDR人均GDP，居民消费水平，城镇居民人均可支配收入，总抚养比，就业人员数，居民消费价格指数，能源生产总量，能源消费总量，人均生活能源消费量，全社会固定资产投资总额，货物进出口总额，外商直接投资合同项目，注册资本，服务进出口总额，对外劳务合

11、作年末在外人数。在实际过程中发现我们所用指标过多，不利于我们之后的分析评价。我们采用主成分分析法，对指标进行降维处理，可得到7个主要经济指标。用这7个主要指标与相关人口指标进行多元回归分析。模型求解利用GM(1,1)灰色预测算法，取1996-2005年的相关人口数据，并对2006-2015年的相关人口数据进行预测，得到相应的人口数据。我们选择的具体人口数据指标有：自然增长率，总人口，0-14岁人口数量，15-64岁人口数量，65岁及以上人口数量，城镇人口数量。将上一步中通过灰色预测得到的2006-2015年相关人口数据作为训练数据集，2006-2015年的真实相关人口数据作为测试数据集，将训练

12、数据集和测试数据集利用归一化函数进行归一化处理，得到区间为-1,1的归一化的数据，代入BP神经网络算法并对其进行训练，经过多次的训练之后，我们得到了稳定的且具有相当精度的预测数据，利用反归一化函数对BP神经网络的预测数据进行处理，得到各项指标的正常数据。经过与同期灰色预测数据及真实数据的对比，我们发现BP神经网络所得数据较灰色预测数据更为精确、合理。7tiIDOMB300400641EpochsHleur-aiNetworkIrainingPerformante(plotperformXoch641,P._X対犢D綱订：*SlViA(TlIJICD卫出奁口(Wl裕瓷切BestTrainingP

13、erforrnanceis9.845e-06atepoch6413.建立人口结构与经济发展指标体系如下指标指标代码TOC o 1-5 h z总人口x10-14岁人口x215-64岁人口x365岁及以上人口x4城镇人口x人均GDPy1居民消费水平y2GDPy3服务进出口总额y4城镇居民可支配收入y人均生活能源消费量y6外商直接投资合同项目y我们所研究的人口结构与经济发展问题受多个因素影响，这就需要建立多元回归方程，进行多元回归分析。在进行回归分析之前，我们需要对所有指标的数据进行标准化处理，处理数x-min(x)据所用方程为X=ijij，进而利用回归方程ijmax(x)-min(x)ijijy二

14、l+lx+lx+lx+,其中系数l,l,l表示该因素的重要程度，为01122nn12n回归系数。利用SPSS多元回归分析处理结果如下y=0.049-0.763x-0.379x+1.831x-0.359xTOC o 1-5 h z1245y=0.038-0.866x-0.142x+1.813x-0.052x1245y=0.043-0.808x-0.284x+1.871x-0.280 x1245y=-0.028-0.763x-0.024x+1.724x+0.019x1245y=0.0221-0.655x-0.163x+1.634x-0.085x1245y=-0.034-0.179x-0.132x+

15、0.870 x+0.283x1245y=-0.634-0.295x+1.848x-3.310 x+4.779x1245求解结果在不实施全面二孩政策条件下，根据1996-2015年人口结构对经济发展的影响以及预测所得2020-2030年人口结构，分析可得：0-14岁人口、总人口、65岁及以上人口对各项经济指标的影响较大，问题三：首先介绍一下Leslie算法。依据年鉴的数据，可以将全国总人口按年龄大小等间隔的分成96个年龄组，从0到95岁，时间和年龄都是离散化的，而且年龄间隔也为一年。记年龄i=1,2,.,n,记年份t=1,2,k（设初始年为第一年）由于生育政策的变化，会直接影响到适龄妇女的生育率

16、，而对死亡率等影响不大，所以可以把死亡率d看为不变，所以我们只需对妇女人口数i随时间的变化进行分析即可估算出人口的变化规律设第i岁的生育率为b，该数据可由统计年鉴获得；各个年龄段妇女的存活率为S=1-d，iii在社会环境稳定的条件下，假设b和S不随时间变化，设i岁的妇女的人数为x,定义妇iii女的人口分布向量X(t)-Xi(t)，X2(t)，,，Xn(t)，则按照LeS模型的概念，第t+1年的人口数量叩+1)Ibx卩)，该式子已经去除了婴儿的死亡率,x(t+1)=Sxn(t),i=1,2,n-1bn01-n1bb20Sb1S1i+1ii此时记矩阵L=200S0m-1贝yx(t+1)=Lxx(t)因此当L、x(0)已知到时候，对所有n(t)二Lxx(0)矩阵L即为Leslie矩阵对Le