数学中考问题中的一线三垂直问题解法

1、数学中考问题中的一线三垂直问题解法一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。如图，AB丄BD于点B,CD丄BD于点D,P是BD上一点，且AP二PC,AP丄PC,求证：ABPAPDC解析：TAP丄PC,.ZAPB+ZCPD=90o,TAB丄BD于点B,CD丄BD于点D,AZB=ZD=9Oo.ZCPD+ZPCD=9Oo,AZAPB=ZPCD,又AP=PC,AABPPDC如图四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，A、B、N、E、F在同一条直线上，若四边形ABCD、EFGH的边

2、长分别是3、4,求四边形NHMC的边长.解析：由(1)可知ABP9PDC，BN二HE=4，又CB=3，勾股定理得：CN=5.故四边形NHMC的边长为5如图，将矩形ABCD的一个顶点D沿着线段AE翻折后落于BC边上的点P,其中的AB=6，AD=10.(1)求BP；(2)求EC.解析：(1)由对称的性质知AP=AD=10，运用勾股定理得BP=8,PC=2。由一线三垂直知ECPsPBA,EC二PCBPABEC二834如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=k(x0)的图象上，已知点B的坐标是(6，11)，则k的值为x55()解析：过点D、B分别作BF丄y轴，DE丄y轴，

3、垂足为E,F，由AAS容易证得DEAAAFB,DE二AF,AE二FB二6,由勾股定理得AF=8,A55D(8,5),Ak=85如图，已知ABC中，ZABC=900，AB=BC，三角形的顶点在相互平解析：过点C、A分别作CN丄l,AM丄l垂足为M、N.容易证CNB行的三条直线11,l,13上，且l,211,之间的距离为2，1,122333BMA,得出MB二CN=5,BN二AM=3,MN=8,应用勾股定理可得AC=2、.-17.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点E的坐标为(2,3)，求点F的坐标。/1/W.4解析：过点E作HEy轴，过点F作FQ丄HE,垂足为Q，则有FQE

4、EH0,FQ二EH=3,QE=0H=2,F(T,5).如图，二次函数y=X2+bx+c的图象与x轴交于点A(T，0)和点B(3,0)，与y轴交于点N,以AB为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E。求抛物线的解析式；当点P在线段0B(点p不与0,B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN,MB,请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）将点A（-1,0）和点B（3,0）代入抛物线解析式可求得,b=2,c=3,所以y=X22

5、x3.（2）通过同角的余角相等得ZEPO=ZPCB,ZEOP=ZPBC-90o,得厶EPOspcb,所以EO=Op,设OE=y,OP=x,则PBBCy=-1X2+3x=-1(x-3)2+?(0 x3)1.1严事A.cN444216又-10,所以当x=3时,OE有最大值为o4216过点M作MGy轴，交BN于点G,线BN的解析式:Y=x-3，可得G(m,m-3)，则设M（m,m2-2m-3）。由N、B两点可求得直GM=-m2+3m,所以S=x（-m2+3m）x3=-0（m-3）2+.MBN2228当皿（3,-15）时，ABMN的面积取得最大值。248如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A,B

6、两点,抛物线y=x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点p，连接PB,得PCB9AB0A（0为坐标原点）。若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点（包括端点）,其横坐标为m1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，MAB的面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足ZMPO=ZPOA的点M的坐标。解析：(1)由厶PCB9AB0A可得PC=OB=3,BC=OA=1，所以P(3,4),(0,4).将P(3,4),C(0,4)代入解析式得，b=3,c=4,所以抛物线*y=X2+3x+4。过点M作MN丄x轴，垂足为N,则S二S梯-S

7、-S，代入整理得；SAMB形MNOBAAOBAAMN0m4,且a二-10)。以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上。当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上。解析：(1)利用直线解析式求出A、B两点坐标，再代入抛物线解析式中求出b、c值(2)过P作PE垂直x轴，垂足为E。由直线解析式可得点P(-1+t,t),E(-1+t,0),Q(3-2t,0),则PE=t,QC=2t，EQ=4-3t,由厶PEQsQCN得NQ=2PQ，勾股定理可用t表示PQ，进而可以表示矩形面积，整理后得出关于t的二次函数，利用函数性质得出矩形面

8、积最小值。由上题可得Q(3-2t,0)、N(3,8-6t)、M(3t-1,8-5t)将各点坐标代入抛物线建立关于t的方程求解，就可以了。10.如图1所示，在ABC中，AB二BC,ZABC=900,点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转900,使点A旋转到点E,连接EC。如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF丄BC交直线BC于点F,如图2所示，通过证明ADEF_ADB,可推证CEF是等腰三角形，从而求得ZDCE=135o.如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出ZDCE的度数。连接BE，当点D在

9、直线BC上运动时，若AB=6，请直接写出BE的最小值。解析：由厶DEFADB得EF=DB，进而得出EF=FC，所以ZDCE=45o.由勾股定理得BE2二BF2+FE2,设FC=FE=x，则BF二AB-FC=6-x。所以BE2=（飞-x）2+X2整理得：BE2=2x2-26x+6,当x=时，EF有最小值朽。9如图，在矩形ABCD中，点E在CD上,ZAEB=900,点P从点A出发，沿A-E-B的路径匀速运动到点B停止，作PQ丄CD于点Q,设点P运动的路程为x,PQ长为y,若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x=6时，PQ的值是()。11如图，四边形ABCD是正方形，AEFC是等腰直角三角形，点

10、E在AB上，且ZCEF=90o，FG丄AD，垂足为点G。试判断AG与FG是否相等？并给出证明；若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明;若不垂直，说明理由。解析：(1)过点F作FM丄AB,交AB的延长线于点M，这样就构造出了一线三垂直的基本图形，由AAS很容易证得MEFABCE,MF二BE,EM二BC,AM二BE二MF,又FM丄AB,FG丄AD,AG丄AM,：四边形AGFM是矩形，.四边形AGFM是矩形是正方形，即AG与FG相等。(3)延长GH交CD于N,由ASA可证FGHACNH,.：CN二GF二AG,GH二HN又AD二CD，：DG=DN,AGH丄DH.12如图，线段AB=8，

11、射线BG丄AB,P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E,使ZEAP=ZBAP，直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合)。求证：AEPACEP；判断CF与AB的位置关系，并说明理由；求厶AEF的周长。CBBA解析：(DY四边形APCD是正方形，DP是对角线，.根据SAS可证AEPACEPo过C作CN丄BP交BP于点N，这样就构造出一线三垂直基本图形，由AAS容易证ABPAPNC,；.ZPAB=ZCPN,VAAEPACEP,.ZPAE=ZPCE又ZEAP二ZBAP,ZCPN二ZPCE,CFBN,VBG丄AB,CF丄AB.AAEF

12、的周长二AE+AF+EF,又AE=CE,CE+EF=PN+PB,PB=CN=FB,PN=ABAEF的周长二AB+FB+AF=2AB=16.13.如图，在四边形ABFG中，AB=10,BF=4,ZB=6Oo,设AE=x,AG=y,求y与x的函数关系式解析：过点F作FD丄AB,垂足为D,VZB=6Oo,BF=4.DF=3,DB=2AD=8,由AE=x得DE=8-x。由一线三垂直，知AEGDFE,A竺=,Ay二叵(8x-X2)整理成一般式就可以了。DEDF6如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。(1)求此抛物线的表达式；解析：(1)设抛物线解析式：y=a(x-2)(x-6),将C(0

13、,3)代入可得y=1x2-2x+3。(2)过点P,作PD丄x轴交x轴于D,由一线三垂直知4OBCsdpB,.：bd=PD,BD=丄，设BD=m则,PD=2m,OCOBOC2P（6+m,2m）将点P坐标代入y=1x2-2x+3中，可求得P的坐标。414.如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将厶ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE，延长EF交BC于G,连接AG,作GH丄AG，与AE的延长线交于点H，连接CH。显然AE是ZDAF的平分线，EA是ZDEF的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于1800的角平分线），并说明理由。AEEHHBBC丄胚N角军析：AG平分ZBAF,GA平分ZBGF,GH平分ZE