数值计算方法复习提纲

1、数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析了解误差及其主要来源，误差估计；了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系;掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。1、误塗的来源模型误差观测误筮截断i吴筮舍入误塗2误筮与有效数字绝对误筮E(x)=x-x*绝对误差限X*-5XX*+6相对误筮Er(X)=(x-x*)/x(x-x*)/x*有效数字x*=0.aa2.anx10若x-xlxl0/n称F有n位有效数字。2有效数字与误差关系(1)m定时，有效数字n越多，绝对误廷限越小：选择算法应遵循的原则1、选用数值稳定的算法，控制误筮传播:例in=1XnexdxoJo=/?Ax0Jxrieax

2、dx二b1严一汀xneaxdx简化计算步骤，减少运算次数：避免两个相近数相减，和接近零的数作分母:避免第二章线性方程组的数值解法了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法；掌握向量与矩阵的范数及其性质，迭代法的收敛性及其判定。木章主耍解决线性方程组求解问题，假设nffn列线性方程组有唯一解，如何得到其解?勺內+勺2兀+%兀=九a2ixi+ci22x2+.+a2flxn=b2alllxl+cin2x2+

3、.+allltxn=blt两类方法，第一定直接解法，得到其結确解：第二绘迭代解法，得到其近似解。、Gauss消去法1、顺序Gauss消去法记方程组为：北*+墙“+.+必妝”=牢罷+崙兀二曙消元过程：经n-1步消元，化为上三角方程组+器坷+於？厂+此?若啾工0回代过程:兀=（A一XX）af（i=Z7-1,Z7-2,.1）7=/+12、GaussJordan消去法避免回代，消元时上下同时消元3、Gauss列主元消去法例：说明直接消元，出现借误0.0000h;+2x2=2VxL+x2=3山顺序Gauss消去法，得X?1,“a0;Gauss列主元消去法原理：每步消元前，选列主元，交换方程。算法：将方程

4、组用增广矩阵A：b=（表示。（1）消元过程：对k=l/2/n-l/选主元,找ikek,k+l,!使得如果aAk=0,则矩阵a奇异，程序结束：否则执行3。如果L工k,则交换第k行与第人行对应的元素位置，消元,对i=k+l,计算lik=,对j=L+l,n+l,计算aij=aijhkakj2）回代过程：若ci,m=0,则矩阵a奇异，程序结束：否则执行。举例说明。4、消元法应用（1）行列式计算：0,则称A判定：A为n阶正定对称矩阵充要条件A的各阶顺序主子式大于0。（2）Cholesky分解定理：设A为n阶正定对称矩阵，则存在唯一主对角线元素都是正数的下三角阵L,1Cholesky分解算法：j=12；i

5、=7+1,j+2,.j?5、追赶法三对角矩阵的特殊分解匕TCn-1lind=S?1=心y=dj*1=23,.ft赶的过程UX=Y=儿仏=（X-C,兀+1）/匕/=77-1,77-2,.12线性方程组的迭代解法一、Jacobi迭代公式X1-2+1X2X+1X1-2方程变形得到迭代公式TOC o 1-5 h zI11（0给初值X=计算，观察解的变化。2丿护）=一欤+丄0,x=o,|x|=o(2)齐次性|X|=|A:|X|3)三角不等式|x+y|0,A=0,|A|=0(2)齐次性阿|=比制3)三角不等式|A+B|A|+|B|(4)绝对值不等式|AB|=GX+D收敛的充要条件为谱半径0(G)1。判定定

6、理1：若|同1,则迭代公式Xk+l)=GX+D收敛。判定定理2：若对方程AX=b的系数矩阵A为对角占优，则Jacobi迭代公式，Gauss-Seidel迭代公式收敛:判定定理3：若对方程AX=b的系数矩阵A为对称正定，则Gauss-Seidel迭代公式收敛；Jacobi迭代公式收敛与Gauss-Seidel迭代公式收敛关系举例:第三章非线性方程的数值解法了解二分法的原理与算法；掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定;掌握Newton切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。本章问题：求方程f(x)=O的根1二分法一、根的存在性定理：函数f(x)在区间a,b连续,且f(a).f(b)0,则方程

7、f(x)=O在区间a,b有根。方程的根存在，不一定唯一，若在区间a,b上有唯一根，称区间a,b为根隔离区间。二、二分法(区间逐次分半法)原理：通过计算根隔离区间中点，将区间分半，缩小区间，得到方程近似根数列X”。a,bn，片n.Z).bk-ak=(b-a)/2k取x*(a”+b”)/22迭代法一、迭代原理迭代法是一种逐次逼近法，由提供的递推公式计算，逐次精确，直到满足精度要求。方程f(x)=o变形为X=0(.Y),得到递推公式无乜=0(无)简单迭代公式称仪X)为迭代函数给初值计算，得到数列乙,若limg=F，则称迭代收敛，否则发散。Etoc例：求方程10j-2=0/03,0.4写出两个简单迭代

8、公式：（1）xk+l=10*-22）如=Ig（忑+2）观察计算得到数列x”的收敛性。迭代法的几何解释：二、迭代收敛性判定收敛性定理：设方程x=队小的迭代函数仅x）在a,b满足:（1）当xg,/?时，（fx）ga,b:（2）仅x）在a,b冋导,且（px）L1xea,b则（1）方程x=g）在a,b有唯一根T；（2）迭代公式x阳=0（“）收敛，即=x*；kxk误差估计|x*-xk-卜一对。说明可根据迭代函数（p（x）的导数判断迭代收敛性。三、迭代公式的加速3Newton迭代法一、Newton切线公式几何作法迭代公式例：利用解二次方程x2-c=0.推导近似计算的公式。C由Newton切线公式Xku=（

9、耳+）2兀三、Newton弦截公式Newton切线公式的缺点及改进几何作法迭代公式心）/（忑）一/（3）Newton弦截公式是两步公式。第五章插值法掌握代数插值问题及其解存在唯一性，Lagrange插值多项式构造及其余项，插值基函数性质；掌握差商的概念及其性质，Newton插值多项式构造，两种插值法之间的区别与联系；了解差分与等距节点插值多项式公式；掌握Hermite插值问题及其构造方法。本章问题：函数/（X）复杂，或无表达式，构造简单函数P（x）来代替f（x）1Lagrange插值一、代数插值问题及插值多项式存在唯一条件1、代数插值问题：已知/（）在区间a,b中互异的n+1个点X0,XL.，

10、兀的函数值儿，儿,，儿，求次数n次多项式P（x）=a0+atx+.+anxnK满足代（兀）=/（兀）=）：，（i=o,i,.n）.2、插值多项式存在唯一条件：定理：Pn（x）=do+ClYX+.4-anXn存在唯一条件是n+1个节点互异。二、Lagrange插值构造1、线形插值（n=l）几何解释：利用插值基函数构造：厶（X）满足基函数：一次多项式/（x）,/o（X）=l/1（兀）=0丿0（兀）=0丄（“）=10（X）=h（X）=x-x。厶(x)=yQlQ(x)+儿厶(x)1次Lagrange插值多项式例1：求f（X）=Jx过点（4,2）,（9,3）的1次Lagrange插值多项式，并计算J5近

11、似值。2、抛物插值（n=2）几何解释：利用插值基函数构造：基函数：二次多项式/0（X）,厶（Ql2（X）满足/。(兀)=1/()(“)=0CO(2)=0厶(兀0)=0A(XJ=1/i(耳)=0（Ao）=0人（兀）=0厶（兀）=1心（W）（呂一心）（“一心）lM=(A-A-.XA-Aj(x-AoX-Xj厶(X)=yJo(X)+yJA(X)+y2l2(x)2次Lagrange插值多项式例2：求f（X）=Jx过点（1,1）,（4,2）,（9,3）的2次Lagrange插值多项式，并计算方近似值。3、一般惜形：利用插值基函数构造：基函数：n次多项式/0（X）,厶（X）,.1（X）满足4（A）=（XX。

12、）（X兀）（X兀T）（x无+）（X）（忑夫。）（忑XJ（忑一忑T）（忑X如）（忑一兀）厶（X）=Mo+儿/】+yjn（X）=工儿厶一一n次Lagrange插值多项式k=0三、插值余项若厂“在0b连续，fw（x）在a,b存在，则插值误差R”（x）=/W一厶W=一Q（x），+1）!其中gGa,b依赖于Xo2分段插值一、分段线性插值在区间a,b,分为n个区间xf.,xf+1/i=：o/lz2.n-l每个区间山直线代替曲线，形成分段线性插值函数g）0（x）=A（X）儿+L（X）%+1XWk,兀田h（X）=A+1=X-Xj_兀二、分段抛物插值3Newton插值一、差商及其性质定义：-阶细：/J2兀+i-兀二阶差商：亢兀,和，和=區空k亟込id“-兀K阶塞商：伽也,和=巫曲4止皿柿一兀性质：1）左商可山节点函数值表示：,+1=儿+心+2人+2心+心kU，儿）忍=/（+,儿+纠）人=/（+，儿+瓠）人=/（+九儿+仏）3Adams方法一、Adams方法的基本思想微分方程初值问题化为积分方程：）心陥J=心）+f（x,y（x）dx=y（xn