排队论-四川大学课程中心

1、试卷答案第 页（共40页）试卷答案第 页（共40页）四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案（A卷）课程名称：运筹学考试时间：120分钟年级：xxx级专业：xxx题目部分，（卷面共有85题，0分，各大题标有题量和总分）一、判断（20小题，共0分）1、在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统。（）答案：对2、若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7、名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布。（）答案：错3、一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间

2、后，系统将进入稳定状态；（）答案：错4、若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1,3，5、7,名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（）答案：错5、在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下,对容量有限的排队系统,顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统；（）答案：对6、假如到达排队系统的顾客来自两个方面,分别服从泊松分布,则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布。（）答案：对7、在顾客到达的分布相同的情况下,顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关,当服务时间分布的方差越大时,顾客的平均等待时间将越长；（）答案：对8、在机器发生故障的概率及工人修复一

3、台机器的时间分布不变的条件下,由1名工人看管5台机器,或由3名工人联合看管15台机器时,机器因故障等待工人维修的平均时间不变。（）答案：错9、假如到达排队系统的顾客来自两个方面,分别服从普阿松分布,则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（）答案：对10、在顾客到达分布相同的情况下,顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关当服务时间分布的方差越大时,顾客的平均等待时间就越长。（）答案：对11、在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（）答案：错12、若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔

4、时间服从负指数分布；（）答案：对13、在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。（）答案：错14、对M/M/I或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流。）答案：对15、对M/M/1或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流；（）答案：对16、在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量TOC o 1-5 h z实际系统的统计研究，这样的假定比较合理。（）答案：错17、排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的

5、影响；（）答案：错18、一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态。（）答案：错19、若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布。（）答案：对20、排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响。（）答案：错二、填空（1小题，共0分）1、M/M/c（其中c2）等待制排队系统的服务台的平均繁忙数C为，系统的实际利用率为;而等待空间有限的M/M/c/k系统的平均繁忙台数为，系统的实际利用率为答案：解p=,P=一，p（1-p）,p（1-p）.HCc”kck三、计算解答（50小题，共0分）1、某医院手术室根据病

6、人来诊和完成手术时间的记录，经统计分析算出每小时病人平均到达率为2.1人/h,为泊松分布。每次手术平均时间0.4h/人，即平均服务率是2.5人/h,服从负指数分布。求：试卷答案第 页(共40页)试卷答案第 页(共40页)(1)病房中病人的平均数(L)。排队等待手术病人的平均数(L)。q病人在病房中平均逗留时间(W)。病人排队等待时间(期望值队W)。q答案：九二2.1人/h,卩=2.5人/h2.1=0.842.5该手术室为M/M/1/g系统(1)病房中病人的平均数：L=2.1人=5.25人排队等待手术病人的平均数：L=Lp=5.25人x0.84=4.14人q1(1)病人在病房中平均逗留的时间：W

7、=一=h=2.5h卩一入12.5-2.1丿病人排队等待时间：W=W=2.5hx0.84=2.1h2、某公司打字室平均每天接到22份要求打字文件,一个打字员完成一个文件打字平均需时20min,以上分别服从普阿松分布和负指数分布。为减轻打字员负担，有两个方案：一是增加一名打字员,每天费用为40元,其工作效率同原打字员；二为购一台自动打字机以提高打字效率,已知有三种类型打字机,其费用及提高打字的效率如表所示。表型号每天费用/元打字员效率提高程度/%1375023975343150据公司估测，每个文件若晚发出1h将平均损失0.80元。设打字员每天工作8h，试确定该公司应采用的方案。答案：该系统总费用T

8、C=C+(0.8)(8)-L，式中C为每天固定费用。对4个方案的计算s见表项目九卩LsTC二C+(0.8)(8)-Ls增加1名打字员22241.2440+6.4X1.24=47.94购1型新机器22361.5737+6.4X1.57=47.05购2型新机器22421.139+6.4X1.1=46.04购3型新机器22600.5840+6.4X0.58=46.70故结论为购买一台2型的自动打字机。3、一个有2名服务员的排队系统各自独立为顾客服务，服务时间均为平均值15min的负指数分布。设顾客甲到达时两名服务员均空闲,5min后顾客已到达，这时甲未服务完，再过10min第三名顾客丙到达，这时甲和

9、乙均正被服务中。试回答出现下列情况的概率：(a)甲在乙之前结束服务；(b)丙在甲之前结束服务；(c)丙在乙之前结束服务。答案：(a)1/2；(b)1/4；(c)1/44、一个有一套洗车设备的洗车店，要求洗车的车辆平均每4min到达一辆，洗每辆车平均需3min,以上均服从负指数分布。该店现有2个车位，当店内无车时，到达车辆全部进入;当有一辆车时，有80%进入；2个车位均有车时，到达车辆全部离去。要求：(a)画出此排队系统的生死过程发生率图；(b)求洗车设备平均利用率及一辆进入该店车辆的平均停留时间W；(c)为减少顾客损失，该店拟租用第3个车位，这样当店内已有2辆车时，新到车s辆有60%进入，有3

10、辆车时，新到车辆全部离去。若该车店每天营业12h，新车位租金为100元/d，洗一辆车的净盈利为5元，则第3个车位是否值得租用？答案：(a)生死过程发生率图见图(b)由图列出状态平衡方程并求解得到p=0.4545,p=0.3409,p=0.2046,洗车设备0np(一P0effp2(c)当租用第3个车位时，可用与上述相同步骤求得P0二0.416,P1二0.312,P2=0.187,P3二0.085。有2个车位时每天损失顾客为12x15x0.2046=36.8辆，增加到3个车位时损顾客12x15x0.085=15.3辆，即每天少损失21.5辆，可增加收入21.5x5二107.5(元)，大于租金10

11、0元，故值得租用。5、某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。设申诉以九二4件/d的普阿松流到达，该协会处理申诉的定额为5件d，当天处理不完的将移交专门小组处理，不影响每天业务。试求：(a)年内有多少天无一件申诉；(b)一年内多少天处理不完当天的申诉。答案：(a)7d(b)79d6、某场篮球比赛前来到体育馆某售票口买票的观众按普阿松分布到达，平均1人/min，设该口售票速度服从负指数分布，平均售每张票时间为20s，试回答：如有一个球迷于比赛前2min到达售票口，并设买到票后需1.5min才能找到座位坐下,求该球迷在比赛开始前找到座位坐下的概率；如该球迷希望有99%的把握在比赛开始前

12、找到座位坐下，则他最迟应提前多少min到达售票口。口I|o答案：(a)PWt=e-M(i-p)t=0.01se-21=0.01,得t=2.3t=3.8分，即球迷至少提前3.8min到达。7、某服务系统有两名服务员，顾客到达服从泊松分布，平均每小时到达两名。服务时间服从负指数分布，平均服务时间为30min。又知系统内最多只能有3名顾客等待服务，当顾客到达时，若系统已满，则自动离开，不再进入系统。求：系统空闲时间。顾客损失率。服务系统内等待服务的平均顾客数。在服务系统内的平均顾客数。顾客在系统内的平均逗留时间。顾客在系统内的平均等待时间。被占用的服务员的平均数。答案：将此系统看成一个M/M/2/5

13、排队系统，其中九=2M=5M=n=/k=4,(42(1-(4/2)5-2+1)-1系统空闲时间：P=1+4+一一=0.008。0(2(1-4/2)丿45x0.008顾客损失率：P=0.512。52!x25-2(3)服务系统内等待服务的平均顾客数：0.008x42x(4/2)(4、5-2+1r4)(4、5-2L=1-1-_(5-2+1)q2!(1-4/2)212丿12丿12丿(4)在服务系统内的平均顾客数：L=L+p(1-p)=2.18+4x(1-0.512)=4.13人。q5W=L=4.13=4.23min。(5)顾客在系统内的平均逗留时间：九(1p5)2x(10.512)(6)顾客在系统内的

14、平均等待时间W二W1/r二4.232二2.23min。q(7)被占用的服务员的平均数。n=LL=4.132.18=1.95个q8、考虑一个顾客到达服从普阿松分布的排队系统。服务员必须对每名顾客依次完成两项不同的服务工作，即对每名顾客的总的服务时间是上述两项服务时间的总和(彼此统计独立)。(a)假定第一项服务时间为1/R=1min的负指数分布，第二项服务时间为爱尔朗分布，平均为3min，k=3，问应该用哪一种排队理论模型代表上述系统；(b)如(a)中第一项服务时间变为k=3的爱尔朗分布，平均服务时间仍为1min,又应该用哪一种排队理论模型来代表这个系统？1答案：(a)用M/E/1模型，E参数为r

15、=,k=4；kk4(b)用M/G/1模型，G分布的期望值为4；1110b2=+=-3(3)23(139、图书馆出借室每小时平均有50个读者到达借书，为泊松流，管理员查出和办理好出借手续平均需要2min。问欲使读者平均等待时间不超过5min,需要几名管理人员？答案：M/M/S250X=50人/h,r=30人/h,b=1.667r30=0.833当s=2时，p=A=_50_sr2x30Lk=0Css!(1P)-i1+1.667+1.66722(1-0.833)=1=1+1.667+8.32=0.091L=上P=皿72%833x0.091=3.777qs!(1-P)202!(1-0.833)2L3.

16、777W=q=h=0.0755h=4.53min3=1-Pn4)=1-P(n4)=1-P(n5)=1-P(n2)=1-(0.134+0.268+0.268+0.179+0.089+0.036)=0.026%3%所以应配备5个中队12、按照Kendall分类法，为下列系统分类或叙述其含义：泊松输入、定长服务、3个并联服务台、系统容量为r。一般独立输入、指数服务、单服务台。G/E/1/1。3M/G/3/15/15。答案：(1)泊松输入，定长服务，3个并联服务台，系统容量为r:M/D/3r一般独立输入，指数服务，单服务台：G/M/1G/E/1/1：一般独立输入，3阶段爱尔朗分布，单服务台，系统容量为

17、13M/G/3/15/15:泊松输入，一般独立服务，3个并联服务台，系统容量为15，顾客源限额为15。13、设轮船以九0的普阿松(Possion)流到达港口码头，码头的装卸时间服从卩0的负指数分布.若轮船在港口每停留一小时要损失C万元，码头的服务费用正比于其服务率为1每小时C万元，为使整个航运系统的支出费用达到最低试求：2(1)该系统的最优服务率和最低费用；（2）若九=50艘/h,C=10万元，C=20万元，试求卩*.12答案：解（1）此排队系统为M/M/1等待制排队系统，其队长L=s九卩一九单位时间内每艘船的损失费为li=单位时间内系统的服务费为12-C2卩。故系统单位时间由所需总费用为C丸

18、T（卩）=l+1+C卩12卩一九2C九1一（卩一九）2解得卩=九土：C九/C2依题意取卩*=九+PC九/C2，故系统的最小费用为T(卩*)=1+C卩*=C九+2pCC九卩*一九22V12(2)卩*=(50+：1020)艘/h=55艘/h.14、工件按泊松流到达某加工设备，九=20个/h。据测算，该设备每多加工一个小时工件将增加收入10元，而工件每多等待或滞留一个小时将增加支出1元，试确定该设备最优的加工效率卩。答案：21.414个/h。15、某货场计划安装起重设备，专门用于为前来运货的汽车装货。有三种起重设备可供选择，如下表所示。设前来运货的汽车按泊松分布到达，平均每天到达150辆，每辆车载重

19、5t。由于货物包装、品种上的差别，每辆汽车实际装载时间服从负指数分布。已知该货场每天工作10h，每辆汽车每停留一小时的经济损失为10元。试决定该货场应安装哪一种起重设备最合算？起重每天固定费用/元每小时操作费用/元平均每小时装载能力/t甲6010100乙13015200丙25020600答案：安装乙起重设备最合算（比甲节约120元/天，比丙节约124.28元/天）。16、某医院门前有一出租汽车停车场，因场地限制，只能同时停放5辆出租汽车，当停满5辆后，后来的车就自动离去。从医院出来的病人在有车时就租车乘坐，停车场无车时，就向附近出租汽车站要车。设出租汽车到达医院门口按九二8辆/h的普阿松分布，

20、从医院依次出来的病人的间隔时间为负指数分布，平均间隔时间6min。又设每辆车每次只载一名病人，并且汽车按到达先后次序排列接客，试求：(a)出租汽车开到医院门口时，停车场有空闲停车场地的概率；(b)汽车进入停车场到离开医院的平均停留时间；(c)从医院出来的病人在医院门口要到出租车的概率。答案：这个问题中如把汽车当成服务机构，对顾客病人来说就构成一个待消失的服务系统。但在这个系统中服务站的个数是未知数，不好求解，因此，只能先求解另一个服务系统。把停车场停放位置与到达的汽车当成一个有限排队的系统。在这个系统中：R二10(1-P)0九1(九/u)M+11(九/U)M+1TOC o 1-5 h z HY

21、PERLINK l bookmark192 o Current Document P=-0.8(1P)=0.8/1(U)=0.8/:广)将M=5代入 HYPERLINK l bookmark194 o Current Document (-)2(-)7=0.81(-)6 HYPERLINK l bookmark198 o Current Document uuu因0p10/h18、某工厂有大量同一型号的车床，当该种车床损坏后或送机修车间或由机修车间派人来修理。已知该种车床损坏率是服从普阿松分布的随机变量，平均每天2台。又知机修车间对每台损坏车床的修理时间为服从负指数分布的随机变量，平均每台的修

22、理时间为1/卩d。但卩是一个与机修人员编制及维修设备配备好坏（即与机修车间每年开支费用K）有关的函数。已知叽K)=0.1+0.001K(K1900元)又已知机器损坏后，每台的生产损失为400元/d，试决定使该厂生产最经济的K及卩的值。答案：在这个问题中包括两方面费用：机器损坏造成的生产损失S和机修车间的开支1S，要使整个系统生产最经济，就是要使S二S+S为最小。下面以一个月为期进行计212算：S=（正修理和待修机器数）x（每台每天的生产损失）x（每个月的工作日数）=Lx400 x25.5=10200()=10200()卩一九0.1+0.001K九1=10200(丽)S2=K/12S=K/12+

23、10200(20.001K-1.9dSdK1220400(0.001K1.9)2(0.001)=0计算得K=17550元,r=17.65,S=2767元。19、某律师事务咨询中心，前来咨询的顾客服从泊松分布，平均每天到达50个。各位被咨询律师回答顾客问题的时间是随机变量，服从负指数分布，每天平均接待10人。每位律师工作1天需支付100元，而每回答一名顾客的问题的咨询费为20元，试为该咨询中心确定每天工作的律师人数，以保证纯收入最多。答案：这是一个M/M/n系统确定n的问题，因为：九=50,卩=10,p=/卩=5,p*=P/n=5/n，则:-1PkPk11P=乂匚+0k!k!1p*Lk=0设f(

24、n)表示当律师数为n个时的纯收入，则:f(n)=100n+200p5乂2+0k!(n1)!(n5)k=0对n的约束只有一个，即P*5，为求n，我们由下表计算f(n)，再取最大值。n678p04.51x10-35.97x10-37.2x10-3f(n)399.97287.49274.87由此可以看出，当n=6时，律师咨询中心的纯收入最大。20、汽车按普阿松分布到达某高速公路收费口，平均90/h。每辆车通过收费口平均需时35s,服从负指数分布。司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30s,但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才采用，问上述条

25、件下新装置能否被采用。答案：原收费口平均等待车辆L=6.12，采用新装置后利用率可达75%,故应采用新装置。q21、某街道口有一电话亭，在步行距离为4min的拐弯处有另一电话亭。已知每次电话的试卷答案第 页(共40页)试卷答案第 页(共40页)平均通话时间为1/卩=3min的负指数分布，又已知到达这两个电话亭的顾客均为九=10个/h的普阿松分布。假如有名顾客去其中一个电话亭打电话，到达时正有人通话，并且还有一个人在等待，问该顾客应在原地等待，还是转去另一电话亭打电话。答案：如去另一电话亭时，W=3min，加步行共需7min，而原地等待平均只需6min，q故结论为应在原地等待。22、某医院急诊室

26、每小时到达1个病人，输入为最简单流，急诊室仅有1名医生，病人接受紧急护理平均需20min，服务时间为负指数分布，试求：稳态情况下：没有病人的概率；有两个病人的概率；急诊室里病人的平均数；排队中病人的平均数；病人在急诊室中的平均时间。为了保证病人所花总时间少于25min,平均服务时间必须降至多少分钟？尢1答案：九=1,卩=3人/hp=M/M/1力系统卩3P=1-p=1-1/3=2/3=0.67所以没有病人的概率为0.67有两个人的概率：P=e2(1-p)=(1/3)2(1-1/3)=2/27=0.0742九(1急诊室里的病人的平均数：L=一=人=(1/2)人=0.5人卩一入(3-1)排队中病人的

27、平均数：Lq=Lp(11、1-X-人=一人=0.167人123丿6病人在急诊室中的平均时间：W=31)0.5h(2)W=11255H-九12n卩17=3.4人/h551=存0h/人=17皿人所以为了保证病人所花总时间少于25min,平均服务时间必须降至17.64min。23、工件按普阿松流到达某加工设备，九=20个/h，据测算该设备每多加工一个工件将增加收入10元，而由于工件多等待或滞留将增加支出1元/h,试确定该设备最优的加工效率卩。答案：20+：10=21.41424、某厂的原料仓库，平均每天有20车原料入库，原料车到达服从泊松分布，卸货率服从负指数分布，平均每人每天卸货5车，每个装卸工每

28、天总费用50元。由于人手不够而影响当天装卸货物，导致每车的平均损失为每天200元。试问，工厂应安排几名装卸工最节省开支？答案：此问题为一个M/M/n系统确定n的问题，因为：九二20,v=5,p=/卩二4,p*=p/n二4/n。设f(n)表示当装卸工有n个时工厂在装卸方面的总支出，则所求为:Min(n)二50n+ECw其中C为由于贷车等待装卸而导致的单位时间的经济损失。wC二100L二100wp+n+1(n1)!(n-p)2经计算得n5678910ECw17466.73813.3652.8481.342640850n250300350400450500f(n)17716.74113.31002.

29、8881.3876908由此可以看出，当有9名装卸工时，工厂的支出最小。25、某机场有两条跑道，每条跑道只能供1架飞机降落，平均降落时间为2min，并假定飞机在空中等待的时间不得超过l0min，试问该机场最多能接受多少架飞机降落？答案：M/M/2W二10min,卩二0.5架/minq试卷答案第 页(共40页)试卷答案第 页(共40页)试卷答案第 页（共40页）b1k乂+k!Lk=oCss!(1-P)-1C22(1-P)11+HH九2+厂2H2(1-)2HC2Pp2!(1p)202卩32!(1-命)21+3+九3H(4H2-32)L32W=屮=10t=0.91q3H(4H2-32)L=W3=10

30、 x0.91=9.1架qq(091L=L+c=9.1架=10.92沁11架qV0.5丿即该机场最多能接受11架飞机降落。26、某单位电话交换台有一部200门内线的总机。已知在上班的时间内，有20%内线分机平均每40min要一次外线电话，80%的分机平均隔2h要一次外线电话，又知从外单位打来电话的呼唤率平均1次/min。设通话时间长度平均3min,又以上时间均属负指数分布。如果要求外线电话接通率为95%以上，问该交换台应设置多少条外线？答案：（1）来到电话交换台的呼唤有两类：一是各分机往外打电话，二是从外单位打进来601的电话。前一类九=（x0.2+T7x0,8）x200=140后一类九=60,

31、根据普阿松分布性14022质，来到交换台的总呼唤流仍为普阿松分布，其参数3=3+3=200。12（2）这是一个多服务站的带消失的系统，要使电话接通率达到95%以上，即损失要低于5%,也即P=s0.05/n!n=0问题中H=20,-=10，可以用表进行计算，求S。HS(-)s/S!f(-)n/n!n=0PS01.01.01.0110.011.00.909250.061.00.8203166.7227.70.7324416.7644.40.6475833.31477.70.56461388.92866.60.48571984.14850.70.40982480.27330.90.33892755.

32、710086.60.273102755.712842.30.215112505.215347.50.163122087.717435.20.120131605.919041.10.084141147.120188.20.05615764.720952.90.036根据计算看出为了外线接通率达到95%时，应不少于15条外线。27、考虑一个顾客输入为普阿松流、服务时间为负指数分布的排队服务系统，求：有一个服务站时，当平均服务时间为6s,到达时间分别为有5:0,9.0,9.9名/min时的L,L,W和W；sqsq有两个并联服务站时，当平均服务时间为12s，到达时间分别为5.0,9.0,9.9名/mi

33、n时的L,L,W和W。sqsq答案：(a)和(b)的计算结果分别见下表1和表2表1九LLWWPqsqs05.00.5010.100.200.59.08,1090.901.000.19.998.01999.9010.000.01表2九LqLsWqWsP05.00.3331.3330.0670.2670.3339.07.7279.5270.8591.0590.0539.097.03099.0109.80110.0010.00528、某公司的一个仓库可同时贮存4件物品，对该物品的需求服从普阿松分布。平均10件月，当取走一件物品时，立即提出订货，但平均需1个月到货，服从负指数分布。如有顾客购货而仓库内

34、无货时，该顾客将去别处购买。求该公司由于仓库无货而离去的顾客与总顾客的比例。答案：本题中将存贮的物品当作服务员，订货所需时间看作服务员对一名顾客的服务时间，当4个物品均在订购途中时，即4名服务员均处于忙碌，到达顾客将离去，其概率为p4=（入/y/4!=0.647f（-）n/n!n=029、有M/M/1模型，平均服务率H=10，就两种到达率：九=6；九=15(分钟)已计算出相应的概率p，如表所示n系统中顾客数n（九=6）pn（九=15）pn00.420.0510.250.0720.150.1130.090.1640.050.2450.040.37试就这两种情况计算求：(1)有效到达率和服务台的服

35、务强度；(2)系统中平均顾客数；系统的满足率；服务台应从哪些方面改进工作？理由是什么？答案：解第一种情况：当入=6,H=10时，有p=p=0.04,p=/H=0.6N51)有效到达率为九二九(1p)二6(10.04)二5.76e5九P=(1P)=HN服务台的服务强度为10 x(10-04)=66096=576(2)系统中平均顾客数为L=L+九/HPc1(cI)!(cP)2sq1PNc(Nc)(1P)PNcccc=0.426610.65-1(51)6(10.6)60.65-10!(10.6)=0.42x丄6(10.64460.460.64)=0.6960.4L二L+九/卩二0.696+5.76/

36、10二1.272sqe系统的满足率为p=0.045服务台应降低服务强度，原因是因为系统中没有顾客的概率比重较大。第二种情况当九=15时，p二p二0.37,p二九/H=1.5。N5(1)有效到达率为九二九(1p)二156(10.37)二9.45eN服务台的服务强度为P=-(1p)=HN拾6(1037)=0945系统中平均顾客数为L二L+九/HsqePc+1L=p-、1PN-c(NC)(1p)pN-cq0(c1)!(cp)2ccL1.52二0.03611.55-1(51)6(11.5)61.55-1沁1.636(11.5)2试卷答案第 页（共40页）试卷答案第 页（共40页）九L=L+r=1.63

37、69+9.45/10=2.581sq卩（3）系统的满足率为p=0.37。5（4）服务台应提高服务率，原因是九/卩1，会使排队队长增大而等待空间有限，致使有些顾客得不到服务而自动离开。30、某货场计划安装起重设备专为来运货的汽车装货。有三种起重设备可供选择，如表所示。起重机械每天固定费用/元每小时操作费/元平均每小时装载能力/t甲6010100乙13015200丙25020600设来运货的汽车按普阿松分布到达，平均到达150辆/d，每辆车载重量51，由于货物包装、品种上差别，每辆汽车实际装载时间服从负指数分布，已知该货场工作10h/d，又每辆汽车停留的经济损失为10元/h。试决定该货场应安装哪一

38、种起重机械最合算？答案：“15车/h,卩甲二20车/h,匕二40车/h,卩丙二120车/h，见表安装起重机固定费用九X（每小时操作费）X（工作时间）X（车辆数）X每小时损失H入合计15X10 x10二751X150X10300202015甲60151435乙130X15X10二56x150 x1060246404015丙250151289X20X1025X150X101412012015结论：安装起重机械乙最合算。31、某车间有4台自动车床可自动运转，仅在故障时需要工人调整一下，平均每小时有2台需要调整，调整一次平均时间为1h,调整工人工资每小时0.4元，机床停工损失每小时1.2元。试求应由几

39、个工人看管，才能使总费用最小？答案：M/M/s/4/4X=2台/h,y=1台/h,Q=-=2,F（s）=0.4S+1.2L（s）0.4L（S*）-L（z1）巨=033L（一1）-L（S*）P=xmm!/.bk-1=10（m一k）!k=04!4!4!4!1+22+2+-243!2!1!1!10.00161+8+48+192+384L11L二m节（1P0）二4-2（1-0.0016）二3.5008当s二2时，r=1sp2x1Em!ssVbk+厶rkk!（m一k）!s!（m一k）!Lk=0k=s+1m!-11+4!2+旦22+兰W4八3!2!x2!2!1!1+8+48+2（24+24）0.0078P

40、=0.0624,P=0.1872,P=0.3744,P=0.37441234L=np=0.624+2x0.1872+3x0.3744+4x0.3744=3.0576nn=1当s=3时，Em!ssVm!bk+厶rkk!（m一k）!s!（m一k）!k=0k=s+1一13!旦22+竺23+33x4!x吨2!x2!1!x3!3!x11+8+24+32+21.376=0.0116P=0.0928,P=0.2784,P=0.3712,P=0.24801234L=np=0.0928+2x0.2784+3x0.3712+4x0.2480=2.7552nn=1L(s-1)-L(s=2)=3.5008-3.057

41、6=0.4432L(s=2)-L(s=3)=3.0576-2.7552=0.3024所以，L(s=2)L(s=3)0.33L(s=1)L(s=2)所以，s*=2,即应由2个工人看管，才能使总费用最小。32、顾客按普阿松分布到达只有一名理发员的理发店。平均10人/h。理发员对每名顾客的服务时间服从负指数分布，平均为5min。理发店内包括理发椅共有三个座位，当顾客到达无座位时，就依次站着等待。试求:（a）顾客到达时有座位的概率；（b）到达的顾客需站着等待的概率；（c）顾客从进入理发店到离去超过20min的概率；（d）理发店内应有多少座位，才能保证80%顾客在到达时就有座位。答案：（a）0.4213

42、;（b）0.5787;（c）0.5134;（d）9个座位33、来到某餐厅的顾客流服从普阿松分布，平均20/h。餐厅于上午11:00开始营业，试求：（a）当上午11:07有18名顾客在餐厅时，于11:12恰好有20名顾客的概率（假定该时间区间内无顾客离去）（b）前一名顾客于11:25到达，下一名顾客在11:28至11:30之间到达的概率。答案：（a）0.2623（b）0.17934、设到达一个加工中心的零件平均为60件/h，该中心的加工能力为平均75件/h，问处于稳定状态时该加工中心的平均输出率为60件/h还是75件/h?简要说明理由。答案：稳定状态时平均输出率为60件/h35、某修理店只有一个

43、修理工人，来修理的顾客到达次数服从普阿松分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6min.求：（1）修理店空闲时间概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有一个顾客的概率；（4）在店内顾客平均数；答案：解该系统为（M/M/1/s心）模型，九二4,卩二60/6二10,p二九/卩二4/10二2/5。(1)p二1-P二1-2/5二3/5二0.6；0p=(1-p)p3=(1-2/5)(2/5)3=0.03831-p=1-6/10=2/5=0.404)L=上=人=2q0.67人.sH-九10-4336、某加油站有一台油泵。来加油的汽车按普阿松分布到达，平均每小时20辆，但当加试卷答案

44、第 页(共40页)试卷答案第 页(共40页)油站中已有n辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿等待而离去，离去概率为n/4(n=0,l,2,3,4)。油泵给一辆汽车加油所需要的时间为具有均值3min的负指数分布。画出此排队系统的速率图；导出其平衡方程式；求出加油站中汽车数的稳态概率分布；求那些在加油站的汽车的平均逗留时间。答案：(a)见图速率图和表所示。UP=九P1000九P+UP=（九+U）P002111九P+uP=（九+U）P2113223九P+UP=（九+U）P422433九P=UP3344九九九九九九九九九九（b）乂P=1,.P（0+卜+012+0123+1）=1i0UU2U3U4i=0U

45、=20辆/h九=20输/h0九=15辆/h九=10辆/h九=5辆/h12320 x1520 x15x1020 x15x10 x5.+-3=0.311202203204P=0.311;P=15x0.311=0.233;P=巴x0.233=0.1171220320p.=1+204203P=0.0284(d)Ws沁0.088(h)S九37、某仓库贮存的一种商品，每天的到货与出货量分别服从普阿松分布，其平均值为c，要求:221推导每天总期望费用的公式；使总期望费用为最小的P-九/卩值。答案：每天总期望费用e(tc)-Ci-占比(1)(b)P*1-38、一个车间内有10台相同的机器，每台机器运行时能创造

46、利润4元/h，且平均损坏1次/h。而一个修理工修复一台机器平均需4h。以上时间均服从负指数分布。设一名修理工工资为6元/h，试求：该车间应设多少名修理工，使总费用为最小；若要求不能运转的机器的期望数小于4台，则应设多少名修理工；若要求损坏机器等待修理的时间少于4h,又应设多少名修理工。答案：(a)设该车间有x名修理工，则机器停工损失加修理工工资的费用(/h)如表所示：xLS4L+6xS18.2539.026.538.035.0238.0844.1540.653.7845.1263.6750.68由表，应设2名修理工(b)5名；(C)计算不同X时的W值见表SX123456WS33.314.37.

47、074.964.263.67故应设6名修理工。39、考虑某个只有一个服务员的排队系统，输入为参数九的普阿松流，假定服务时间的概率分布未知，但期望值已知为1/卩。(a)比较每个顾客在队伍中的期望等待时间，如服务时间的分布分别为：负指数分布；定长分布；爱尔朗分布，b值为负指数分布的1/2;(b)如九与卩值均增大为原来的2倍，b值也相应变化，求上述三种分布情况下顾客在队伍中期望等待时间的改变情况。答案：(a)W=q九卩(卩一九)=丄b2=,即k=42卩4b2=8（b）令（a）中的W=Kq15,K分别为1,亍。因为九*=2九,卩*=2卩，代入得X*28W*=K（=K匚2九、=K-（X,）q卩*（卩*_

48、入*）2卩（2卩一2入）2卩（卩_入）即平均等待时间分别都为原来的一半。40、汽车按普阿松分布到达一个汽车服务部门，平均5辆/h。洗车部门只拥有一套洗车设备，试分别计算在下列服务时间分布的情况下系统的L,L,W与W的值：sqsq洗车时间为常数，每辆需10min;负指数分布,1/卩=10mint为515min的均匀分布；正态分布，卩=9min,Var(t)=42(e)离散的概率分布P(t二5)二1/4,P(t二10)二1/2,P(t二二1/4。答案：各项计算结果见表LLW/hW/hsqsq(a)2.9172.0830.5830.417(b)5.04.171.00.83(c)3.092.2570.

49、6180.451(d)1.931.181.930.236(e)3.182.3470.6360.46941、某电话站有2台电话机，打电话的人按泊松流到达，平均每小时24人。设每次通话时间服从负指数分布，平均为2min。求该系统的各项运行指标L,L,W,W。qq答案：M/M/2系统九24九=24人/h,卩=30人/h,5=24/30=0.8,p=0.4s卩2x30-ik!s!(1-p)1+0.8+0.822!(1-0.4)1+0.8+0.53=0.43L=q5sps!(1-p)20.82x0.4P0=2!(1-0.4)2x0.43人=0.15人丿L=L+5=(0.15+0.8)人=0.95人qwL

50、(0.95W=l=h=0.04h九I24丿L0.15W=才=()h=0.006hq九2442、设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为泊松流，平均到达时间间隔为20min,诊断时间服从负指数分布，平均需12min,求：病人到来不用等待的概率。门诊部内顾客的平均数。病人在门诊部的平均逗留时间。若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1h，则医院方将考虑增加值班医生。问病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？答案：单位时间为h，九=3,|lx=60/12=5,p=X/e=0.6:(1)病人到来不不等待的概率：P0=1-p=1-0.6=0.4。,p0.6门诊部内顾客的平均数：L=i-p=匚亦

51、=1.5人(3)病人在门诊部的平均逗留时间：W=0.5h若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1h，则有:所以九_4。即当病人平均到达时间间隔小于等于15min时，医院将增加值班医生。43、某系统有3名服务员，每小时平均到达240名顾客，且到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，平均需0.5min,求：整个系统内空闲的概率。顾客等待服务的概率。系统内等待服务的平均顾客数。平均等待服务时间。系统平均利用率。若每小时顾客到达的顾客增至480名，服务员增至6名，分别计算上述(1)(5)的值。答案：此为系统为M/M/n(n_3)服务模型，2401九_4(人/min),p_2(人/min)，600.5p_

52、X/p_2,n_3。整个系统内空闲的概率：P_0X2Pkp3厶十k!k_0_1_(1十2十2十4)_1_0.111。顾客等待服务的概率：Pw0_P4_0.444989_888人系统内等待服务的平均顾客数：L_巴十1pq(n_1)!(n_p)20平均等待服务时间：W=士=8X1=2=0.222q九949(5)系统平均利用率；P*=P/n=2/3=0.667。(6)若每小时到达的顾客增至480名，服务员增至6名，分别计算上述(1)(5)的值九=8(人/min),p=2(人/min),p=X/p=4,n=6600.5则整个系统的内空闲的概率：x2pkpn十k!n!Lk=0顾客等待服务的概率：np0=

53、1=(42.866+17.067)-1=0.017p仞0=5p二17.067x0.017二0.2850系统内等待服务的平均顾客数：pn十1(n-1)!(n-p)2P=0.58人0平均等待服务时间：LW=y=0.07qX系统平均利用率：p*=p/n=4/6=0.66744、某医院放射科有一台CT机，对病人切片检查.若病人每隔12分钟到达一人，做CT检查平均每个病人占用10分钟，服务时间和病人到达间隔时间的服务从负指数分布若要求病人到达后有20%的概率不需等待、则该放射科是否需要增添设备，为什么？若放射科目前仅有3个等待位置，病人到达后现无空位，而必须站着等待，如果要求站着等待的病人至多不能超过半

54、数，则该放射室是否需要增添等待座位，为什么？答案：解(1)此排队系统为M/M/1等待制排队系统.因为九=5,p=6,所以p=5/6.于是pp21L=5(人),L=6-(人)病人到来不等的概率p=1-p=0.167因此s1-pq1-p60若要想使20%的病人不需等待，显然该医院必须再增添设备又PN5=p5=0.4020.5，显然没有超过等待队长的一半，故放射室不需添45、设每台机器平均每小时损坏一次，服从普阿松分布；一名工人用于维修机器的时间为1/卩=6min的负指数分布。对(M/M/1/g/6)和(M/M/3/g/20)的两种模型分别计算得到的Pn值如表(a)和表(b)所示。表(a)nPnnP

55、n00.484540.017510.290750.003520.145460.000330.0582表(b)nPnnPnnPn00.1362560.02347120.0000710.2725070.010951320.2589080.00475r0.0000030.1553390.0017020J40.08802100.0007050.04694110.00023试对上述两个模型的计算结果进行分析比较，并根据直观判断作出解释。答案：联合作业由于工人间相互协作，提高了机器的利用率。46、某中心医院有一台专用于抢救服务的电话，并设一名话务员值班。该电话机连接有一个N条线路的开关闸，当有一个电话呼唤

56、到达，话务员处于繁忙状态时，只要N条线路未被占满，该呼唤将等待，只有当N条线路均被占满时，新的呼唤将得到一个忙音而不能进入系统。已知到达的电话呼唤流服从普阿松分布九=10个/h，又每个电话的通话时间服从负指数分布,1/卩二3min,要求确定N的值，使到达的电话呼唤得到忙音的概率小于1%。答案：对该系统有P=()n-P(当n6。47、一个办事员核对登记的申请书时，必须依次检查8张表格，核对每份申请书需lmin.顾客到达率为每小时6人，服务时间和到达间隔均为负指数分布试求：(1)办事员空闲的概率；(2)L,L,W和W.sqsq答案：解：因该办事员核对登记的申请书时，必须依次检查8张表格，且每张表格

57、花费的时间服从负指数分布，贝y总的服务服从E分布，此排队系统为M/E/1排队系统。kk261k=&卩=60人/h,2=6人/h,p=-卩6010(1)办事员空闲的概率为，=1-p=1-=0.9102)TOC o 1-5 h z(1.1(8+1)x(丄)217L=p+(k+1)P2=丄+10=乂=0.105s2k(1p)102x8(1-1)16015L=(k+1)P2q(8+1)x(-)21=吐=0.00532k(1-p)2x8(1-丄)16010W=；=0015h=0.0025hs九6L0.0053W=寸=h=0.0009hq2648、在某单人理发店顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20min

58、,理发时间服从负指数分布，平均时间为15min.求：顾客来理发不必等待的概率；理发店内顾客平均数；顾客在理发店内平均逗留时间；若顾客在店内平均逗留时间超过1.25h,则店主将考虑增加设备及理发员，问平均到达率提高多少时，店主才做这样的考虑？答案：解；该问题属于M/M/1排队模型，由题设知九=60/20=3人/h,卩=60/15=4人/h,p=X/卩=3/4（1）p二1P二1-3/4二1/403（2）L二九/（卩一九）二人二3人s431（3）W二1/（卩一九）二h二1hs43若W1.25，即1/（卩一九）1.25.因卩=4，即有1/（4一九A1.25故九3.2,sAX=0.2人/h。49、一条传

59、送带连接的分装配线含两个工作站。由于所装产品的尺寸较大，每个站只能容纳一件产品。要装配的产品按普阿松分布到达，平均10件/h，工作站1和2用于装配产品时间为负指数分布，且平均时间均为5min.对不能进入该分装线的产品被送到别的装配线。试求：每小时不能进入该分装线的产品数；分别为对进入该分装线的产品在该系统中的平均停留时间。答案：(a)本题为串连的排队系统，为分析先画出生死过程发生率图见图中(I,j)程并求解二0.0936二p11b1p二0.2697,p二0.2247,p二0.3184,p000110，故每小时不能进入的产品数为为(p10+匕+pb1)二5.056件。L0.9175(b)W=0.

60、1856(h)=11.13(min)s九4.944标准差eff50、在某重型机器厂，桥式吊车的效率为80%，据观察知平均吊运时间为10min,为8min,需要吊运的物品是随机地到达，问平均需求率是多少？平均等待时间是多少?答案：M/G/1卩=0.1次/min因为耳80%所以P1n0.20所以p1P10.20.8九pp0.8x0.10.08,即平均需求率。0P2+九202Lq2(1p)(0.82+0.08x8,2(10.8)min=1.728min四、证明(14小题，共0分)1、16车间内有m台机器，有c个修理工(mc),每台机器发生故障率为九，符合WLM/M/c/m/m模型，试证：-旷，并说明