历届生试卷99级和答案

1、一、对应于差分方程y(n-1)-2.5y(n)+y(n+1)=x(n) 的系统可以是稳定或不稳定的，也可以是因果性或非因果性的。求出满足上式的所有系统的冲激响应 h(n)，并说明其因果稳定性。（20 分）解：H(z)=1/(z-2.5+ z 1 )= 2 11-3 1 0.5z 11 2z 1H(z)极点： z1 0.5， z2 2，有三种可能： 0.5 |z| 2， 对应稳定非因果系统：n 2， 对应不稳定因果系统：h(n)为因果序列，取回线内极点留数得h(n)= ResH(z)z n1 ,2+ ResH(z)z n1 ,0.5= 2 (2) n - (0.5) n u(n)3|z| 0.5

2、，对应不稳定非因果系统：2h(n)= - (2) - (0.5) u(-n-1) 3nn111二、证明： X (e j ) Y (e j )d =( X (e j ) d )(Y (e j ) d )222其中 x(n)、y(n)均为稳定因果的实序列。（10 分）11证： X (e j ) Y (e j )d = X (e j ) y(n)e jn d22n01= y(n) X (e j ) e jnd = y(n) x(-n)2n0n0 x(n)、y(n)均为因果序列， 上述和式中只有 x(0)y(0)一项不为零，即12 X (e j ) Y (e j )d = x(0)y(0) X (e

3、j ) e jndY (e j )1212e jndx(n)=,y(n)=在上二式中取 n0，即得证。三、若已知 DFT x(n) = X(k) ，求 DFT x(n) cos( 2m n) 并用 X(k)表示。N其中0m M 两种情况下，如何用一个 N 点 FFT 算出全部 X (zk ) 值。M 1 x(n)e j 2kn / N n0解： X (z ) =k若 N = M, X (zk ) =X(k) = DFT x(n)0 n M 1M n N 1x(n)对 N M, 首先在 x(n)末尾补零, 形成 x0 (n) = 0则 X (zk ) = DFT x0 (n) , 可用 N 点

4、FFT 求出。设 (r -1)N M rNN M , zk 分布在圆上并以 N 为周期,M 1 x(n)e j 2kn / N n0X (z ) =kN 12 N 1M 1= x(n)e j 2kn / N + x(n)e j 2kn / N +K+ x(n)e j 2kn / Nn0n Nn( r 1) N利用e j 2kn / N 的周期性,有M (r 1) N 1N 1N 1) = x(n)e j 2kn / N + x(n N )e j 2kn / N+K+ xn (r 1)N e j2kn / N n0X (zkn0n0相当于将 M 点序列 x(n)分为 r 段 N 点序列 yi (

5、n) ,i 0,1,K, r 1其中 y0 (n) = x(n)RN (n) , y1 (n) = x(n N )RN (n) ,K, yi (n) = x(n iN )RN (n) ,xn (r 1)N 0 n M (r 1)N 1M (r 1)N n N 1K, yr 1 (n) = 0r 1令 x0 (n) = yi (n) , 则 X (zk )i0= DFT x0 (n) , 可用 N 点 FFT 求出。五.线性变换设计一个3 阶数字高通，采样频率 f S =6kHz ， 截止频率为fC =1.5kHz(不计 3kHz 以上的频率分量)。(20 分)23给定模拟低通原型 Ha ( p

6、) = 1/1+2p+2 p + p ，解： 先确定数字域截止频率 C其中 p = s/ C= 2tg ( / 2) = 2 = 2 f / f = 0.5,则 CCSCCTT1 z 11 z 1将频率变换关系 p = C T=代入 H ( p) , 整理得a1 z 11 z 121 3z 1 3z 2 z 36 2z 2H(z) =六、用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器 C 0 Ce jH (e j ) = 0 , d00C0C求出所有可能的设计方案，列出 h(n)的表达式，并说明其类型。（20 分）解：Q ( ) = h(n)=h(N 1 n), H g ( ) 对 =0 偶对称,补充 0 区间的jHd (e) C 0 Ce jH (e j ) = , , d00C0C0C0C0 C0 C11hd (n) = Hd (e)ed =jjn e j e jn d + e j e jn d 22 0C0C1 (n )sin (n )( ) - sin (n )( ) =0C0Csin (n N