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文档简介

1、泰勒公式在计算及证明中的应用论文导读：本文结合实例,介绍了泰勒公式在计算及证明中的应用.关键词：泰勒公式近似计算，极限，不等式，界的估计中值公式，极值在大学?高等数学?课程中，泰勒公式这一节学生普遍感到内容较难、不易掌握. 高等数学教材中对泰勒公式应用涉及的较少且零散,本文结合一些能给学生留下深刻印象的典型实例,介绍泰勒公式在计算及证明中的应用.首先回忆根底知识:假设在包含的区间上阶可导,那么对,有其中是介于之间的某个值.上式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式.假设在处阶可导,那么在的邻域内有.上式称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.一、泰勒公式在计算中的应用1. 近似计

2、算例1 当很小时,推出的简单的近似公式.解:,当很小时2.求极限例2解: 把在处的泰勒公式, ,代入,得注: (1)此题不宜使用洛必达法那么.(2)使用泰勒公式展开时,需通过观察展开到适宜的阶数.二、泰勒公式在证明中的应用1. 证明不等式例3 求证:假设 有,那么对任意个数有证:令, 显然将在处展成一阶泰勒公式,并将分别代入, 有 其中介于之间 从而有 得证.一般地,可证得:假设 有, 那么对任意个数有其中常数且.2. 关于界的估计例4 设在上二阶可导，且求证：当时证:对 由泰勒公式，有 其中 其中 两式相减得从而得证.一般地,可证得:假设在上二阶可导，且那么当时3.证明中值公式例5 设在上三

3、阶可导求证：使得证:设为使下式成立的实数:下面只需证: 使得.令 那么根据罗尔定理, 使得即注意到在处的泰勒公式:其中由上面两式得证.4.判断函数的极值点例6设在处阶可导,且求证：(1)当为偶数时, 是极值点.且当时, 是极小值点；当时, 是极大值点.(2)当为奇数时, 不是极值点.证:在的邻域内，由泰勒公式与条件，有即 ，那么当充分小时，与同号，从而得证.注：此例实际上是下面判定极值的第二充分条件的推广.定理设在处二阶可导且那么(1)当时, 在处取得极小值；(2)当时, 在处取得极大值.三、结束语本文介绍了泰勒公式在计算及证明中的一些应用.在解决实际问题的过程中,还要做到举一反三,灵活应用,这对于解题能力的提高大有裨益.参考文献【1】同济大学数学系.高等数学(第六版).北京:高等教育

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