人教版高中数学高考一轮复习-二项式定理

1、9.3二项式定理第九章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理的通项和二项式系数的性质.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题.4.了解杨辉三角的结构特征和基本性质,理解杨辉三角和二项式定理的内在联系,并能解决与之相关的问题.备考指导二项式定理是高考命题的重点,高考中以选择题或填空题的形式出现,难度不大,主要体现在对二项式定理的通项、二项式系数的性质及二项展开式系数和问题的考查.鉴于新高考对于数学文化的加强,因此要进一步渗透杨辉三角的知识和应用.本节常用的方法

2、有通项公式法、代入法、赋值法、类比法;素养方面要加强逻辑推理、数学运算的培养.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】 1.二项式定理 问题思考1(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?(a+b)n与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同,且两个展开式的通项不同.2.二项式系数的性质 问题思考2当二项展开式的项的二项式系数最大时,该项的系数一定最大吗?不一定. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)(a-b)n的展开式中第k+1项的系数为 .()(2)(a+b)n的展开式中某一项

3、的二项式系数与a,b无关.()(3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.()(4)(x-1)n的展开式的各二项式系数和为-2n.()2. 的展开式中二项式系数最大的项是()A.35x2B.20 x2C.70 x4D.35x4CBD2405.设(x2+2)(3x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+a10(2x-1)10,则a0+a1+a2+a10等于.3依题意,令x=1,则a0+a1+a2+a10=(1+2)1=3. 第二环节关键能力形成能力形成点1二项展开式命题角度1 求展开式中的特定项(或系数)例1(1)(2020全国,理8) 的展开式中x3y3的系数为()A.

4、5B.10C.15D.20C(2)在(x2-4)5的展开式中,含x6的项为. 160 x6 280 命题角度2 根据展开式的项求参数A解题心得1.求二项展开式中的项或项的系数的方法:求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项 的特点,一般需要先建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,n).特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.2.求三项展开式中某些特殊项的系数的方法:(1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理去解;(2)两次利用二项式定理的通项公式求解; (3)由二项式定理的推证方法知,可用排列组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因

5、式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.对点训练1(1)x(1+x)6的展开式中x3的系数为()A.30B.20C.15D.10CDB能力形成点2二项式系数的性质与各项系数和命题角度1 二项式系数的最值问题例3(1+2x)4的展开式中,二项式系数最大的项为.24x2 命题角度2 项的系数的最值问题-8 064 -15 360 x4 命题角度3求二项展开式中系数的和例5 (1)若(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a2 021x2 021,则a1+a2+a2 021=( )A.2B.-1C.2D.-2D由已知得令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+

6、a2 021=-1,故a1+a2+a2 021=-2.(2)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.3设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=16(a+1),令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0.-,得2(a1+a3+a5)=16(a+1),故展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.3.求二项展开式中系数和的常用方法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子,求其展开式

7、的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,bR)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.对点训练2(1)已知 的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则展开式中有理项的项数为()A.8B.7C.6D.5C(2)已知 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项为()A.第5项B.第4项C.第4项或第5项D.第5项或第6项A(3)已知xn=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+an(x+1)n(nN*)对任意xR恒成立,则|a0|=;若a4+a5=0,则n=.19因为xn=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+an(x+1)n

8、(nN*)对任意xR恒成立,所以令x=-1,得a0=(-1)n,所以|a0|=1.因为xn=-1+(x+1)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+an(x+1)n,能力形成点3二项式定理的综合应用A.iB.-iC.-1+iD.-1-iC(2)设aZ,且0a13,若511 012+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12D解题心得1.整除问题是二项式定理中常见的应用问题,用二项式定理处理整除问题,通常先把幂的底数写成除数与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,切记余数不能为负.2.二项式定理可以正用或逆用,注意选择合适的形式.对点训练3 A.-1B.1C.-87D.87B第三环节学科素养提升数学探究杨辉三角的性质与应用典例1(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图,以下根据杨辉三角的性质得到的猜想正确的有()答案:ABC 解析:由杨辉三角的性质及二项式系数的性质,可知A,B,C显然正确.因为115是一个六位数,所以D错误.典例2杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就.如图,在杨辉三角中,去除所有为1的项,依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的前56项和为.答案