人教版高中数学高考一轮复习-　解三角形

1、4.6解三角形第四章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.备考指导应用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考必考考点之一,一般作为解答题出现,且常具有一定的开放性.此外,应用正弦定理、余弦定理解决生活中的一些实际问题也是新高考的热点,复习时要注意与三角恒等变换的综合应用,提升逻辑推理、数学运算、数学建模素养.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛

2、查】 1.余弦定理(1)余弦定理(2)余弦定理的推论 2.正弦定理 3.三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.问题思考在ABC中,已知a,b和A时,三角形解的个数是否确定? 不确定,解的情况如下: 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定. 5.余弦定理、正弦定理的实际应用(1)基线在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.(2)实际测

3、量中的有关名称、术语三角形中常用的结论(1)三角形中的三角函数关系sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;(2)在ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,ABab sin Asin Bcos Asin B的充分不必要条件是AB.()(4)在ABC中,a2+b20,解得b=3,故选D.4.一船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为 km.5.在ABC中,若acos A=bcos B,则这个三角形的形状为.等腰三角形或直角三角形 由正弦定理,得sin Acos

4、 A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或 故ABC为等腰三角形或直角三角形.第二环节关键能力形成能力形成点1利用正弦定理、余弦定理解三角形解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为ABC的外接圆的半径)能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三

5、角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断.4能力形成点2与三角形面积有关的问题(1)若是求多边形的面积,则可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正弦定理、余弦定理求出某两边及其夹角,利用三角形的面积公式进行求解.对点训练2在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccos C.(1)求角A的大小.解 (1)因为(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccos C, 由余弦定理,可得(2b-c)cos A=acos C,由正弦定理,可得2sin Bcos A-sin

6、Ccos A=sin Acos C,因为A+B+C=,所以2sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A=sin(C+A)=sin B,能力形成点3判断三角形的形状例3在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+ (2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若 ,试判断ABC的形状.解 (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,0A180,A=60. 解题心得要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.主要

7、有以下两条途径(1)“角化边”:把已知条件(一般是边的一次式,角的正弦、余弦)转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得到边的对应关系,从而判断三角形形状.(2)“边化角”:把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形形状,此时要注意A+B+C=这个结论.注意:(1)在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,以免漏解.(2)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.对点训练3在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断ABC

8、的形状. 能力形成点4正弦定理、余弦定理与三角变换的综合问题解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.2.在解三角形问题中,因为面积公式 中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供条件.能力形成点5正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用例5如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度CD= m.解题心得利用正弦定理、余弦定理解决实

9、际问题的一般思路(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.对点训练5某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45、距离为10 km的C处,并测得渔船正沿方位角为105的方向,以10 km/h的速度行驶,海军舰艇立即以 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.第三环节学科素养提升三角形

10、中的边角关系设ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A.证明:如图,在ABC中,ADBC,则bcos C=CD,ccos B=BD,故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B,同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.典例1在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB

11、.b=2aC.A=2BD.B=2A答案:A解析:(方法一)因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B,即cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,即C=90或2b=a.因为ABC为锐角三角形,所以0C90,故2b=a.故选A.(方法三)由正弦定理及sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,得b+2bcos C=2acos C+ccos A=acos C+(acos C+ccos A)=acos C+b,即2bcos C=acos C.因为ABC为锐角三角形,所以cos C0,则2b=a.典例2已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ ccos A,则B=.解析:(方法一)由2bcos B=acos C+ccos A及正弦定理,得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,则2sin Bcos B=sin(A+C).A+B+C=,A+C=-B,2sin