山大《理论力学》教案

1、理论力学教案山东大学土建与水利学院工程力学系第1篇 静力学第1章 静力学基本知识与物体的受力分析一、目的要求1深入地理解力、刚体、平衡和约束等基本概念。2深入地理解静力学公理（或力的基本性质）。3明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。4熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。二、基本内容1重要概念1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。2）刚体：在力作用下不变形的物体。刚体是静力学中的理想化力学模型。3）约束：对非自由体的运动所加的限制条件。在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。约束对非自由体施加的力

2、称为约束反力。约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。4）力：物体之间的相互机械作用。其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。7）等效力系：分别作用于同一刚体上

3、的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。力系用其合力FR代替，称为力的合成；反之，一个力FR用其分力代替，称为力的分解。2静力学公理及其推论公理一 力的平行四边形法则与一个力系相等效的力称为该力系的合力。作用在刚体上同一点的两个力的合力仍作用在该点，合力的大小与方向由这两个力为邻边构成的平行四边形对角线确定，即合力矢等于这两个力矢的矢量和（图5-5a）。以数学公式表示为如果取该平行四边形的一半作

4、为二力合成法则，则称为力的三角形法则（图5-5b,c）。这一公理提供了一种最简力系合成或分解的方法。指出了作用于刚体上最简单力系的平衡条件。对刚体而言，这个条件既必要又充分，但对非刚体而言，这个条件并不充分。公理二 二力平衡公理作用在刚体上的两个力平衡的必要与充分条件是：二力沿着同一作用线、大小相等、方向相反，如图5-6a、b所示。此公理揭示了最简单的力系平衡。只受二力且平衡的刚体称为二力构件或二力杆。公理三 加减平衡力系公理在作用于刚体上的已知力系中，加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效应。此公理是研究力系等效替换的重要依据和主要手段。依据上述公理，可以导出下述推理。推理一

5、力的可传性原理作用与刚体上某点的力，可以沿其作用线移动到刚体内任意点，而不改变该力对刚体的作用。推论表明，对刚体而言，力的作用点已不是决定力的作用效应的一个要素，它应由力的作用线所取代。由此可见，对刚体而言，力的三要素已变为：力的大小、方向和作用线。作用于刚体上的力矢可以沿着作用线移动，这种矢量称为滑动矢量。推理二 三力平衡汇交定理如果刚体在三个力作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必通过此汇交点，且三个力共面。给出了三个不平行的共面力构成平衡力系的必要条件。当刚体受不平行的三力作用处于平衡时，常利用这个关系确定未知力的作用线方位公理四 作用与反作用公理（定律）作用力与

6、反作用力总是同时出现、同时消失，两力等值、反向、共线，分别作用在两个相互作用的物体上。此公理概括了任何两个物体间相互作用力之间的关系。公理五 刚化公理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体看作（硬化）为刚体，其平衡状态不变。此公理说明了变形体平衡时，作用于其上的力系必须满足变形体刚化后刚体的平衡条件。从而建立了刚体的平衡条件和变形体平衡条件之间的联系，即刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件。这样，人们就能把刚体的平衡条件应用到变形体的平衡问题，扩大了刚体静力学的应用范围。3工程中常见的约束类型及其反力的画法。1）光滑接触面：其约束反力沿接触点的公法线，指向被约束物体。2）光滑圆柱铰链和径

7、向轴承：其约束反力位于垂直于销钉轴线的平面内，经过轴心，通常用过轴心的两个大小未知的正交分力表示。3）固定铰支座：其约束反力与光滑圆柱铰链相同。4）活动铰支座：与光滑接触面类似。其约束反力垂直于光滑支承面。5）光滑球铰链：其约束反力过球心，通常用空间的三个正交分力表示。6）止推轴承：其约束反力常用空间的三个正交分力表示。7）二力体：所受两个约束反力必沿两力作用点连线且等值、反向。8）柔软不可伸长的绳索：其约束反力为沿柔索方向的一个拉力，该力背离被约束物体。9）固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶表示；在空间情况下，通常用空间的三个正交分力和空间的三个正交分力偶表示。4

8、受力分析及画受力图正确地进行物体的受力分析并画其受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必须注意以下几点： 明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。不同的研究对象的受力图是不同的。 正确确定研究对象受力的数目。由于力是物体间相互的机械作用，因此，对每一个力都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。同时，也不可漏掉某个力。一般可先画主动力，再画约束反力。凡是研究对象与外界接触的地方，都一定存在约束反力。 正确画出约束反力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能

9、凭主观臆测。 当分析两物体间相互作用时，应遵循作用、反作用关系。若作用力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系。因此不必画出，只需画出全部外力。三、重点和难点重点：1.力、刚体、平衡和约束等概念。 2.静力学公理及其推论。 3.柔性约束、光滑支承面约束、光滑铰链约束的特征及其反力的画法。 4.单个物体及物体系统的受力分析。难点：光滑铰链的约束特征（尤其是销钉连接二个以上的构件即复合铰），物体系统的受力分析，平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法。四、教学建议1教学提示 本章讲述概念较多，要讲清这些概念的定义，并理解其意义。例如：属于

10、力的：力系、等效力系、合力、分力、平衡力系、主动力、约束反力、作用力、反作用力、内力、外力等。属于物体的：变形体、弹性体、刚体、自由体、非自由体等。属于数学的：代数量、矢量（向量）、单位矢量、定位矢量、滑动矢量等。 静力学公理是最普遍、最基本的客观规律，是静力学基础，要讲透。并使学生深入理解和熟记这5个公理与2个推论。 多举例题讲清楚约束反力的确定方法和受力图的正确画法。 鼓励使用多媒体教学，学生可以在理论力学精品课程网上观看电教片及相关课件。如力学在机械工程中的应用力学在土木工程中的应用约束及物体的受力分析等。2.建议学时课内（5学时）课外（7.5学时）3作业布置习题：1-1 （b）(f)

11、(g) 1-2（a） （c） （e） 1-3(a)(e)(f) 1-4(a)(b)(c)(d)(e)(f) 1-5（a） （b） （d）第2章 平面汇交力系与平面力偶系一、目的要求1平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法，并能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解，掌握汇交力系合成的解析法和平衡方程，并能熟练的应用平衡方程求解汇交力系的平衡问题。3. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。4深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。二、基本内容1平面汇交力系合成的几何法力多边形法则

12、平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。即 或 合力的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。作出图示首尾相接的开口的力多边形，封闭边矢量即所求的合力。2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。其矢量表达式为（2-2）力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。如图2-4所示。3力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力在轴上的投影分别为 力的投影是代数量。4平面汇交力系合成的解析法合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别

13、为零。即 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。5.平面内的力对点O之矩是代数量，记为Mo(F)其中F为力的大小，h为力臂，ABO为力矢AB与矩心O组成三角形的面积。一般以逆时针转向为正，反之为负。力矩的解析表达式为： 合力矩定理： 6.力偶和力偶矩：大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。 力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。 力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。力偶的性质(1)力偶在任一轴上的投影等于零，力偶与一个力不等效，它既不能合成一个力，也不能与一个力平衡，（2）力偶对任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。（3）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此

14、等效。两个推论：（a）力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对物体的作用。（b）只要力偶矩不变,可任意改变力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用。7.平面力偶系的合成与平衡条件（1）平面力偶系的合成平面力偶系合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即 一个独立的平衡方程，可解一个未知量。三、重点和难点重点：1.力在坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。2.力对点之矩的计算、力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条件。难点：力偶系的合成与平衡问题四、学习建议力在坐标轴上的投

15、影与力沿坐标轴分解是两个不同概念，对比其联系与区别。力偶是力学的基本元素之一，将力和力偶从要素、定量描述、在轴上的投影、对点的矩、等效条件、性质等方面进行比较，清楚力偶矩与力矩的异同点。对力偶系的简化方法及简化结果应了解透彻。对力偶系的平衡问题通过典型例题进行练习。第1节 汇交力系一、目的要求1理解汇交力系合成的几何法，力多边形法则和三角形法则。2能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。3掌握汇交力系合成的解析法，对合力投影定理有清晰的理解，并能熟练地计算。4深入理解平面汇交力系的平衡条件及平衡方程的应用。二、基本内容1基本概念1）力多边形法则2）力在轴上的投影为 N=Fcos式中为力

16、F与n轴间的夹角，投影值为代数量。3）力在空间直角坐标轴的投影(a)直接投影法：已知力F和直角坐标轴夹角、，则力F在三个轴上的投影分别为 (b)间接投影法（即二次投影法）：已知力F和夹角、，则力F在三个轴上的投影分别为 力沿坐标轴分解满足力的平行四边形法则.在直角坐标系下有X=Fx ，Y=Fy ，Z=Fz4）力的解析表达式为F=Xi+Yj+Zk5）合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。 FRx=XFRy=YFRz=Z2汇交力系的平衡条件和平衡方程汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力为零。其解析表达式称为平衡方程。X=0Y=0Z=03汇交力系平衡方程的应用应用平

17、衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要方法。这种解题方法包含以下步骤：根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平衡汇交定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。建立平衡方程式，求解未知量。为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应注意如下几点：(a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本

18、式、二矩式、三矩式等等）。(b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等），则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。三、重点和

19、难点重点：力在坐标轴上的投影、合力投影定理、汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。难点：物体系平衡问题中正确选取研究对象。四、教学建议1教学提示讲清用三力平衡汇交定理确定未知约束反力方向应注意的问题。讲清力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴分解是两个不同概念，对比其联系与区别。对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象，应通过典型例题着重讲解，并引导学生进行归纳总结2观看精品课程网上名师教学录象及教学模型。3. 建议学时课内（3学时）课外（4.5学时）4作业布置习题2-12、2-14、2-17、2-19、2-20。第2节 力偶理论一、目的要求1、熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。2深入理解力

20、偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。3熟练掌握力偶系的合成与平衡的求解。4理解力的平移定理及其意义。二、基本内容1基本概念1）平面内的力对点O之矩是代数量，记为Mo(F)其中F为力的大小，h为力臂，ABO为力矢AB与矩心O组成三角形的面积。一般以逆时针转向为正，反之为负。2）空间中力对点之矩在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为其中r为力F作用点相对于矩心O的位置矢径3)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即在直角坐标条下有Mx(F)=yZ-zY My(F)=zX-xZ

21、 Mz(F)=xY-yX4）力矩关系定理 力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。在直角坐标系下有Mo(F)=Mx(F)i+My(F)j+Mz(F)k5）力偶和力偶矩：(a)力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。(b)力偶矩平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向，即M=Fd式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是个自由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向

22、与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。6）力偶的性质(a)力偶在任一轴上的投影等于零，它对任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。（b）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。力偶矩（矢）是力偶作用效果的唯一度量。2力偶系的合成与平衡(a)力偶系的合成(b)力偶系的平衡Mx(F)=0My(F)=0Mz(F)=03力偶系的平衡应用三、重点和难点重点：力对点之矩和对轴之矩的计算、力偶矩的概念、力偶性质和力偶等效条件；力的平移定理。难点：1、空间力偶的矢量表示。 2、力偶系的合成与平衡问题四、教学建议1教学提示强调力偶是力学的基本元素之一，并将力和力偶从要素、定量描述、在轴上的投

23、影、对点的矩、等效条件、性质等方面进行比较，加深理解，讲清力偶矩与力矩的异同点。对力偶系的简化方法及简化结果应阐述透彻。对力偶系的平衡问题应通过典型例题着重讲解，并引导学生进行归纳总结。2观看精品课程网上名师教学录象及教学模型。3. 建议学时课内（4学时）课外（6学时）4作业布置习题3-3、3-7、2-10、3-12、3-14。第3章 空间力系一、目的和要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。2、熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。3、对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。4、了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。5、能正确地画出各种常见空间的约束反力。6、会

24、应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。7、对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体的重心。二、基本内容1基本概念1）力在空间直角坐标轴的投影(a)直接投影法：已知力F和直角坐标轴夹角、，则力F在三个轴上的投影分别为 (b)间接投影法（即二次投影法）：已知力F和夹角、，则力F在三个轴上的投影分别为 2)力矩的计算(a)力对点之矩在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为其中r为力F作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即在直角坐标条下

25、有Mx(F)=yZ-zY My(F)=zX-xZ Mz(F)=xY-yX（c）力矩关系定理 力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。在直角坐标系下有Mo(F)=Mx(F)i+My(F)j+Mz(F)k（d）合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo(FR)=Mo(F)空间力系的合力对任一轴（例如z轴）之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即Mz(FR)=Mz(F)=(xY-yX)3）空间力偶及其等效条件（a）力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是个自

26、由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。（b）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。2空间力系的简化与合成的最终结果1）空间力系向已知点O简化空间力系向已知点O简化的一般结果为一个作用在O点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心O的主矩。主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。2）空间力系合成的最终结果空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳如下：主 矢主 矩最

27、后结果说 明FRMo=0平 衡Mo0合力偶此时主矩与简化中心的位置无关FR0Mo=0合 力合力作用线通过简化中心Mo0FRMo合 力合力作用线离简化中心O的距离为Mo0FRMo力螺旋力系的中心轴通过简化中心FR与Mo成角力螺旋力系的中心轴离简化中心O的距离为3空间力系的平衡条件和平衡方程空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为零。其基本形式的平衡方程为：X=0 Mx(F)=0Y=0 My(F)=0Z=0 Mz(F)=0须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴

28、线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。使计算更为简便。几种特殊力系的平衡方程（a）空间汇交力系X=0Y=0Z=0（b）空间力偶系Mx(F)=0My(F)=0Mz(F)=0（c）空间平行力系（若各力/z轴）Z=0Mx(F)=0My(F)=04空间力系平衡方程的应用求解空间力系平衡问题的要点归纳如下：（1）求解空间力系的平衡问题，其解题步骤与平面力系相同，即先确定研究对象，再进行受力分析，画出受力图，最后列出平衡方程求解。但是，由于力系中各力在空间任意分布，故某些约束的类型及其反力的画法与

29、平面力系有所不同。（2）为简化计算，在选择投影轴与力矩轴时，注意使轴与各力的有关角度及尺寸为已知或较易求出，并尽可能使轴与大多数的未知力平行或相交，这样在计算力在坐标轴上的投影或力对轴之矩就较为方便，且使平衡方程中所含未知量较少。同时注意，空间力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。（3）根据题目特点，可选用不同形式的平衡方程。所选投影轴不必相互垂直，也不必与矩轴重合。当用力矩方程取代投影方程时，必须附加相应条件以确保方程的独立性。但由于这些附加条件比较复杂，故具体应用时，只要所建立的一组平衡方程，能解出全部未知量，则说明这组平衡方程是彼此独立的，已满足了附加条件。（4）求解空间力系平衡问题，

30、有时采用将该力系向三个正交的坐标平面投影的方法，把空间力系的平衡问题转化为平面问题求解。这时必须注意正确确定各力在投影面中投影的大小、方向及作用点的位置。5平行力系中心及物体的重心1）平行力系中心只要平行力系中各力的大小及作用点的位置确定，无论平衡力系中力的方向如何，其合力作用线必定通过确定的一点，该点称为平行力系中心。其坐标公式为2）物体的重心物体的重心是该重力的合力始终通过的一点。均质物体的重心与中心重合。物体的重心在物体内占有确定的位置，与物体在空间的位置无关。物体重心的坐标公式为三、重点和难点重点：1力在空间直角坐标轴上的两种投影法；2力对轴之矩和力对点之矩的计算及力矩关系定理；3空间

31、汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程及其应用；4各种常见的空间约束及约束反力画法；5重心的坐标公式。难点：1力在坐标轴上的二次投影；2空间力偶矩矢在坐标轴上的投影；3空间结构的几何关系与立体图；4解空间力系平衡问题时力矩轴的选取；5求组合体的形心坐标。四、学习建议计算空间力在坐标轴上的投影有两种方法，讲清各自的适用条件，区分力的轴上、平面上的投影。明确空间力偶矩矢的性质，为什么规定它为自由矢量、如何表示其等效条件，熟悉空间力偶系合成的解析法。力对点之矩是理解空间力系简化与合成的关键，而力对轴之矩是正确列出力矩式平衡方程的基础，故要充分重视力对轴之矩的计算。计算的方法有4种：（a）当力

32、臂便于确定时，可直接由定义计算；（b）一般情况下，常将力沿坐标轴分解，应用合力矩定理计算；（c）将力沿坐标轴分解之后代入力对轴之矩的分析表达式计算；（d）利用力矩关系定理计算。在计算力对轴之矩时准确地分析一个力对某轴之矩的正、负或为零也很重要（若一力与某轴共面，则此力对该轴之矩为零）。通过与平面任意力系对照和比较的方法，来理解空间任意力系向一点简化的方法、主矢和主矩的概念，简化结果、平衡条件及平衡方程，重点介绍力矩轴与投影轴选取原则与方法，简单系统的空间平衡问题。在计算重心坐标时要讲清坐标选取原则，利用对称均质物体的对称性求重心，对组合法求重心要求熟练应用，积分法、查表法、实验法等只作一般介绍

33、。第4章 平面任意力系与一般力系第1节 平面任意力系一、目的要求1掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。2深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。3能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。4正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。5.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。二、基本内容1.力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。2平面力系的简化步骤如下：选取简化中心O：题目指定点或自选

34、点（一般选在多个力交点上）建立直角坐标系Oxy主矢：平面力系各力的矢量和，即其中 其中为FR与x轴所夹锐角，所在象限由X、Y符号确定，并画在简化中心O上。主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。简化结果讨论a. 若：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩Mo度量，这时主矩与简化中心的选择无关。b. 若：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力FR，且有FR=FR。c. 若：平面力系简化结果为一合力FR，其大小、方向与主矢相同，作用线在距简化中心O为处。d. ，则该力系为平衡力系。3平面

35、力系的平衡条件和平衡方程平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。1）基本形式 2）二矩式 附加条件为：A、B两点连线不垂直于x轴3）三矩式 附加条件为：A、B、C三点不共线特殊力系的平衡方程1）共线力系：2）平面汇交力系：4）平面平行力系： 4平面力系平衡方程的应用应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要方法。这种解题方法包含以下步骤：根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。对选取

36、的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平衡汇交定理、力偶等效定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。建立平衡方程式，求解未知量：为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应注意如下几点：(a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。(b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组

37、线性方程组，这说明一个静力学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等），则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。5平面简单桁架内力的计算1）桁架：是由若干直杆在端点用铰连接而成的几何形状不变的结构。若所有杆件都在同一平面内称其为平面桁架。2）在工程中的桁架满足四点假设。称其为理想桁架，这样桁架的各杆都可以称为两端受力作用的二力杆件。3）桁架的坚固性条件和静定条

38、件：2n=m+34）求平面静定桁架各杆内力的两种方法。节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截断为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截断各杆件的内力。三、重点和难点重点：1.平面任意力系向作用面内任一点的简化及力系的简化结果。2.平面任意力系平衡的解析条件及平衡方程的各种形式。3.物体及物体系平衡问题的解法。难点：1、主矢与主矩的概念。 2、利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求解未知量。 3、物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。4会用节点法，截面法求解平面静定

39、桁架的内力四、学习建议对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。特别指出：主矢和主矩是在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特征，力系的主矢与简化中心无关。一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。注意对不同的简化中心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效力系。对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，通过典型例题着重了解，并进行归纳总结。特别指出如下要点：其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判断能力，

40、也需要经验的积累。在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无法求解全部未知量；(b)将系统中所有刚体相互隔离，取每个刚体单独作为研究对象，由于是静定问题，则全部内外反力借助全部的平衡方程均可解出，虽思路简单，但由于求出多个不需求的未知力，使求解工作量增加，且过程繁琐。因此，一般而言，应根据题目的具体要求，灵活选取研究对象，尽量以最少的研究对象求解系统的平衡问题。其二：在开始求解平衡方程时，如果独立平衡方程式的个数少于未知量的个数，可能出现两种情况：(a

41、)该问题是静不定问题；(b)该问题为刚体系统的平衡问题，需再次选择研究对象。应注意的是，此种情形下，虽然不能依据这些平衡方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一个或两个未知量。简单桁架的内力计算实际上是平衡方程的工程应用，当桁架结构比较复杂，杆件总数和节点数都比较大的情形下，则无论采用节点法或截面法，计算量都可能较大。若采用计算机分析方法，则会简单得多。目前一些工程力学应用软件中，都包含有分析静定和超静定桁架内力的程序。第2节 一般力系一、目的和要求1、掌握空间力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，明确空间力系合成的四种结果。2能正确地画出各种常见空间的约束反力。3、会应用各种形式

42、的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。4深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。5能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。6、对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体的重心。7正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。二、基本内容1基本概念1）空间力系向已知点O简化空间力系向已知点O简化的一般结果为一个作用在O点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心O的主矩。主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。2）主矢和主矩主矢：力系各力的矢量和，即主矩：力系中各力对于任选简化中心O

43、之矩的矢量和，即3）静定和静不定问题4）合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo(FR)=Mo(F)空间力系的合力对任一轴（例如z轴）之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即Mz(FR)=Mz(F)=(xY-yX)2空间力系合成的最终结果1）空间力系合成的最终结果空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳如下：主 矢主 矩最后结果说 明FRMo=0平 衡Mo0合力偶此时主矩与简化中心的位置无关FR0Mo=0合 力合力作用线通过简化中心Mo0FRMo合 力合力作用

44、线离简化中心O的距离为Mo0FRMo力螺旋力系的中心轴通过简化中心FR与Mo成角力螺旋力系的中心轴离简化中心O的距离为2）平面力系的简化步骤如下：选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上）建立直角坐标系Oxy求主矢： 其中为FR与x轴所夹锐角，所在象限由X、Y符号确定，并画在简化中心O上。求主矩： 逆正顺负，画在图中简化结果讨论a. 若：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩Mo度量，这时主矩与简化中心的选择无关。b. 若：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力FR，且有FR=FR。c. 若：平面力系简化结果为一合力FR，其大小、方向与主矢相同，作用线

45、在距简化中心O为处。d. ，则该力系为平衡力系。3空间力系的平衡条件和平衡方程空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为零。其基本形式的平衡方程为：X=0 Mx(F)=0Y=0 My(F)=0Z=0 Mz(F)=0须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。使计算更为简便。4平面力系的平衡条件和平衡方程平面力系平衡的充

46、分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。1）基本形式 2）二矩式 附加条件为：A、B两点连线不垂直于x轴3）三矩式 附加条件为：A、B、C三点不共线特殊力系的平衡方程1）共线力系：2）平面汇交力系：3）平面力偶系： 4）平面平行力系： 5空间力系平衡方程的应用求解空间力系平衡问题的要点归纳如下：（1）求解空间力系的平衡问题，其解题步骤与平面力系相同，即先确定研究对象，再进行受力分析，画出受力图，最后列出平衡方程求解。但是，由于力系中各力在空间任意分布，故某些约束的类型及其反力的画法与平面力系有所不同。（2）为简化计算，在选择投影轴与力矩

47、轴时，注意使轴与各力的有关角度及尺寸为已知或较易求出，并尽可能使轴与大多数的未知力平行或相交，这样在计算力在坐标轴上的投影或力对轴之矩就较为方便，且使平衡方程中所含未知量较少。同时注意，空间力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。（3）根据题目特点，可选用不同形式的平衡方程。所选投影轴不必相互垂直，也不必与矩轴重合。当用力矩方程取代投影方程时，必须附加相应条件以确保方程的独立性。但由于这些附加条件比较复杂，故具体应用时，只要所建立的一组平衡方程，能解出全部未知量，则说明这组平衡方程是彼此独立的，已满足了附加条件。（4）求解空间力系平衡问题，有时采用将该力系向三个正交的坐标平面投影的方法，把空间

48、力系的平衡问题转化为平面问题求解。这时必须注意正确确定各力在投影面中投影的大小、方向及作用点的位置。6平行力系中心及物体的重心1）平行力系中心只要平行力系中各力的大小及作用点的位置确定，无论平行力系中力的方向如何，其合力作用线必定通过确定的一点，该点称为平行力系中心。其坐标公式为2）物体的重心物体的重心是该重力的合力始终通过的一点。均质物体的重心与中心重合。物体的重心在物体内占有确定的位置，与物体在空间的位置无关。物体重心的坐标公式为三、重点和难点重点：1平面力系、空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程及其应用；2各种常见的空间约束，平面固定端约束及约束反力画法3重心的坐标公式。难

49、点：1、利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求解未知量。 2、物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。3空间结构的几何关系与立体图。4解空间力系平衡问题时力矩轴的选取；四、教学建议1教学提示对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。特别指出：主矢和主矩是在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特征，力系的主矢与简化中心无关。一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。注意对不同的简化中心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效

50、力系。对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，应通过典型例题着重讲解，并引导学生进行归纳总结。特别指出如下要点：其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判断能力，也需要经验的积累。在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无法求解全部未知量；(b)将系统中所有刚体相互隔离，取每个刚体单独作为研究对象，由于是静定问题，则全部内外反力借助全部的平衡方程均可解出，虽思路简单，但由于求出多个不需求的未知力，使求解工作量增加，

51、且过程繁琐。因此，一般而言，应根据题目的具体要求，灵活选取研究对象，尽量以最少的研究对象求解系统的平衡问题。其二：在开始求解平衡方程时，如果独立平衡方程式的个数少于未知量的个数，可能出现两种情况：(a)该问题是静不定问题；(b)该问题为刚体系统的平衡问题，需再次选择研究对象。应注意的是，此种情形下，虽然不能依据这些平衡方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一个或两个未知量。适当介绍有关结构分析软件，初步培养学生力学建模和解决复杂物系平衡问题的能力。采用模型或多媒体课件讲解建立空间概念。通过与平面任意力系对照和比较的方法，来理解空间任意力系向一点简化的方法、主矢和主矩的概念，简化结果、平衡条件

52、及平衡方程，重点介绍力矩轴与投影轴选取原则与方法，简单系统的空间平衡问题。在计算重心坐标时要讲清坐标选取原则，利用对称均质物体的对称性求重心，对组合法求重心要求熟练应用，积分法、查表法、实验法等只作一般介绍。2建议学时课内（12学时）课外（18学时）3作业布置习题4-1 4-2 4-6 4-8 4-9(a)(e) 4-10(a)(d) 4-11(b)(c) 4-12(b)4-22 4-24 4-26 4-29 4-31(a) 4-32(c) 4-34(a)(b) 4-35 4-39(a)4-41 4-42 4-46 4-48 4-59第5章 摩擦一、目的要求1牢固掌握滑动摩擦的性质，深刻理解库

53、仑摩擦定律的内涵，熟练求解考虑滑动摩擦时的平衡问题（解析法、几何法）。了解全反力、摩擦角、自锁等概念，了解滚动摩擦现象。二、基本内容1摩擦1）摩擦现象：按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，可分为滑动摩擦和滚动摩擦。2）库仑摩擦定律：滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前者称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小随主动力改变，应根据平衡方程确定。静摩擦力Fs变化的范围在零与最大值Fmax之间，即0FsFmax当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值Fmax，其大小由库仑静摩擦定律决

54、定，即Fmax=fsFNfs称为静滑动摩擦因数，与接触面的性质有关，用实验方法测定。当物体发生滑动时的摩擦力称为动滑动摩擦力，其方向与相对运动方向相反，大小为Fd=fFN其中f称为动滑摩擦因数，一般有ffs摩擦角与自锁现象摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有tan=fs当作用于物体的主动力的合力的作用线与支承面的法线所夹的锐角小于摩擦角时，无论这个力有多大，物体总能保持平衡状态的现象。称为自锁。即自锁现象发生时总有0其中：滚动摩阻力偶与滚动摩阻系数两个相互接触的物体有相对滚动或滚动趋势时，支承面给物体的作用中除了可能存在的摩擦力F之外，还有一个阻碍滚动的力偶M作用于物体，该力偶称为滚动

55、摩阻力偶。其方向与相对滚动趋势相反，大小由平衡条件决定，并且有0MMmax其中Mmax= FN为滚动摩阻力偶的最大值， 称为滚动摩阻系数，具有长度量纲。三、重点和难点重点：1滑动摩擦力和临界滑动摩擦力，滑动摩擦定律。 2考虑滑动摩擦时物体的平衡问题的求解方法。难点：正确区分不同类型的含摩擦平衡问题；正确判断摩擦力的方向及正确应用库仑摩擦定律。四、教学建议1教学提示讲清摩擦力与运动状态之间的关系，通过实例说明物体处于不同状态下摩擦力的大小和方向的确定方法。滑动摩擦和滚动摩擦都是接触面对物体的约束作用。滑动摩擦显示为一个力，滚动摩擦则显示为一个力偶，二者性质不同。一般有滚动摩擦的场合，总会有滑动摩

56、擦存在，但是，不一定是最大值，对又滑又滚的临界平衡问题，两者都是最大值，而只滚不滑（纯滚动）的情况，一般仅滚动摩阻力偶矩达到最大值。通过例题总结考虑含摩擦平衡问题的类型题及解题要点，值得强调，在分析求解考虑摩擦的平衡问题时，首先需要对物体所处的状态作出判断，其次是要判断物体的运动趋势，以便正确分析摩擦力和滚动摩阻力偶。物体平衡时，既要满足平衡条件又要满足接触面的物理性质给出的限制条件。要注意只有物体处于临界平衡状态时才能使用关系式Fmax=fsFN Mmax= FN有时利用几何平衡条件和摩擦角的概念求解考虑摩擦的平衡问题（夹具或机构的自锁等）较为方便，此时三力平衡汇交定理和二力构件的概念十分有

57、用。2建议学时课内（3学时）课外（4.5学时）3作业布置习题 4-1 4-3 4-5 4-6 4-8 4-10 4-13 4-15 4-18 4-20 4 21 4-23 4-25第2篇 运动学第6章 点的运动学一、目的要求1能用矢量法建立点的运动方程，求点的速度和加速度。2能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求点的轨迹、速度和加速度。3能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。二、基本内容1点的运动矢量表示法，直角坐标表示法，自然法表示法。（1）基本概念在已有物理知识的基础上，重点强调切向和加速度，法向加速度与密切面的

58、概念。（2）主要公式三、重点和难点1重点（1）点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程，点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影。（2）点的曲线运动的自然法（以在平面内运动为主），点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。2难点：自然轴系的几何概念，速度与加速度在自然轴上投影的推导。四、教学建议1教学提示（1）在已有物理学的相关知识基础上，引导学生理解，消化并熟练掌握点的运动方程、点沿空间任意曲线运动速度、加速度等新知识。（2）讲清基本概念，区分点的路程和位移、平均速度与瞬时速度、平均加速度和瞬时加速度、与，与等概念。（3）对描述点的运动学的三种方法加以总结，比较它们的联系及如何应用，介绍

59、点的运动学的问题的大致类型及求解时有关的注意事项。2.例题（1）一个可以分别用直角坐标法与自然法均可求解的例题（第一类问题）。（2）一个已知加速度求运动的例子（第二类问题）。（3）一个已知直角坐标的运动方程，求自然法中轨迹曲率半径的例子。3.建议学时课内（3学时）课外（4.5学时）3作业布置习题：6-9，5-13，5-18第7章 刚体的基本运动一、目的要求1明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。2对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。3能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度

60、和加速度。4掌握传动比的概念及其公式的应用。5对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。二、基本内容刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。（1）基本概念刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。（2）主要公式平动刚体上，任意两点之间均有，定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为，以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为三、重点和难点1重点（1）刚体平动及其运动特征。（2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。（3）转动刚体内各点