极坐标与参数方程-题型归纳

1、- -高考高频题型整理汇总极坐标与参数方程除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及以下部分问题（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）利用圆心到直线的距离与半径比较dr:相离，无交点；d=r:相切,1个交点；dr:相交,2个交点;用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d二宀+By+C，算出d,在与半径比较。A2+B2题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=叱ByA2+B2第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：

2、代入公式：d=d+r，d=d-rmaxmin相切、相交：d=d+rd=0maxmin题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式l=2-r2-d2，d是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式l=|-q，解法参考“直线参数方程的几何意义”二)距离的最值：用“参数法”曲线上的点到直线距离的最值问题点与点的最值问题“参数法”：设点套公式-三角辅助角设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设套公式：利用点到线的距离公式辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如【2016高考新课标3理数】在直角坐

3、标系xOy中，曲线c的参数方程为x=“3cosa(a为参数),iIy=sina以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为psin+%=2逐24写出C的普通方程和C的直角坐标方程；12设点P在C上，点Q在C?上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标I)C1的普通方程为f+y2=!，C的直角坐标方程为x+y4=02(解说：C：J一*X=、3cosa利用三角消元：移项一化同一平方一相加y=sina这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边x；=cosav3n两边同时平方y=sinaX2T=COS2an两道式子相加X2+y2=1y2=sin2a(口)由题意，可设点P

4、的直角坐标为&3cosa,sina)(解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示)因为C是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C的距离d(a)的最小值，22d(a)二*3cosa血41f2lsinQ+*)-21(欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一)当sin(a+|)=1时即当a=7Z)时，d(a)取得最小值，最小值为2，此时p的直角坐标三)直线参数方程的几何意义1经过点P(x,y)，倾斜角为a的直线I的参数方程为f=x0+1cosa(t为参数)若A,B为直线I上两Iy=y+1sina0点，其对应的参数分别为t1，t2,线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0

5、，则以下结论在解题中经常用到：ttttt二宁；(2)|PM|=|t|二牙；|AB|=-tj;(4)咛田书(5)|pa|+|pb|=即+盯=询=卫+12)2-当讥0）与曲线C1,C2分别交于A,B两点，求|AB|.解：（I）：曲线q的参数方程为卩二岛二虫（其中a为参数），y=2+V7sind曲线C1的普通方程为X2+（y-2）2=7.曲线C2：(x-1)2+y2=1,把x=pcos0,y=psin0代入(x-1)2+y2=1,得到曲线C2的极坐标方程（pcose-1）2+（psine）2=1,化简，得p=2cos0.（口）依题意设人（）,B（）,1626曲线的极坐标方程为P2-4psin0-3=

6、0,将.（p0）代入曲线J的极坐标方程，得P2-2p-3=0,1解得P1=3,同理，将.（P0）代入曲线C2的极坐标方程，得,6*|AB|=|PiP2l=3弓-（五）面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题2016包头校级二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为,(t为y=3+v2sint参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为42(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)点P是圆C上任一点，求/AB面积的最小值.圆C的普通方程为(x+5)2+(y-3)2=2.由pcos(e+2!

7、)=-叼，化简得竺pcosO-竺psin6二-422即pcos0-psin0=-2,即x-y+2=0,则直线l的直角坐标方程为x-y+2=0;设P点的坐标为(-5+pcost,3+sint),P点到直线l的距离为d=5+迈匚口就-芒-迈日曲卄2丨二匚V241极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化- -角坐标的伸缩设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换申：=八）的作用下，点P（x，y）对应到点P（x，yj，称申为平面直角坐标系中的坐标伸缩Iy=yS卩）二入x,入0y=|jy,p0变换，简称伸缩变换平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍

8、然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）【强化理解】1曲线C经过伸缩变换工为后，对应曲线的方程为：X2+y2=1,则曲线C的方程为（）才=3y2222A.B.C.,D4x2+9y2=14y429149f,1【解答】解：曲线C经过伸缩变换鼻乜工后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，=3y2把代入得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4X2+9y2二36变成曲线乂2+y2=1.乂二入x（入0）,【解答】解：设变换为:可将其代入xf2+yf2=1,得入2X2+P22=1y=py（U0）,X2y211将4X2+9y2=36变形为

9、+-4=1,比较系数得入=3，M=2- -所以1=-x,3，将椭圆4x2+1ly2y.至U圆乂2+丫2二1.(x)2力2亦可利用配凑法将4x2+9y2二36化为3I丿4-二1,与乂2+犷2二1对应项比较即可得VxX=3,罔.119y2二36上的所有点的横坐标变为原来的3,纵坐标变为原来的2,可得13、(2015春浮山县校级期中)曲线X2+y2=1经过伸缩变换巨后，变成的曲线方程是()13y+/=12592A.25x2+9y2=1B.9x2+25y2=1C.25x+9y=1D.玄【解答】解：由伸缩变换s=5，代入曲线X2+y2=1可得25(x)2+9(y)2=1,v=3y二、极坐标1.公式：(1

10、)极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x,y)极坐标(p,0)互化x=pcosOp2=x2+y2公式y二psin0tan0=(x丰0)、x已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标(1)点：有关点的极坐标与直角转化的思路A:直角坐标(x,y)化为极坐标(p,0)的步骤p2=x2+y2运用y()tan0=(x丰0)、x在0,2“)内由tan0=上(x丰0)求0时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.xB：极坐标(p,0)化为直角坐标(x,y)的步骤，运用；x=pC0S0y=psin0(2)直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A:直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式；x=pco

11、s0，将式子里面的x和y用pcos0和psin0转化，最后整理化简即可。Iy=psin0例如：x+3y-2=0:用公式将x和y转化，即pcos0+3psin0-2=0B:极坐标转化成直角坐标类型：直接转化直接利用公式转化例如：P(j2cos6+sin=1思路：第一步：去括号，Pj2cos6+psin6=1第二步：用公式；x=pcos0转化，即Qx+y=1Iy=psin0类型：利用三角函数的两角和差公式，即2psina）=k或2pcosa）=k思路：第一步：利用两角和差公式把sin（0a）或cos0a）化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简（x=pcos0第二步：利用公式!y=Psin0转化例

12、如：直线l的极坐标方程是2psinAI3丿二3/值化成数字整理化简，1jy/32p（sin0cos齐cos0sin亍二爪=2p（2sin+cos0）二心sin0+后cos0二爪第二步：第二步：利用公式x二pcos0y=Psin0转化psin0+0）思路:直接代入y-tanx即y-xT3y-v3xT*3y-x，x-J3y-033（注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0）三、曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换sV壮、mTHl-ws寸Humu一S寸H、CN;IUCN寸I-lX寸HSoo寸HuSoo寸HX.0-【細】UCN寸I-l0寸1+HUFdz+Hsoodgz

13、dnmOH寸1+HUFdz+Hsood8(HZUF+Hzsogzd.0HEI+Hsdz+pz启Szd+9I+HsoodgHzsoozd品EHZ(I+HESd)+z(寸Hsood)0寸1+Hsdz+Hsood8zd0H寸I+iz+K8zy+ZK品0HEI+AZ+zy+9I+K8ZKEHz(I+i)+z(寸H)寸Izi+zKnm寸IOHXKzi+zKi+KHzi+zK.HESd+HsoodHzd|gdYajljMIEmlgasHu-S+Hsod:- -TP二-42+(5n限=-，直角坐标是（2，-4：3)2=8,tan0二=-对应的极坐标为8,0eO,2n），又点（4，-矢在第四象2、将下列直角坐

14、标方程与极坐标方程进行互化y2=4x;n0=3(PeR);1P2cos20=4;p=2cose【解答】解：将x=pcos0,y=psin0代入y2=4x,得(psine)2=4pcos&.化简得psin20=4coseynyll当xhO时，由于tan0=x，故tan3=x=“J3，化简得y=.l3x(x/0);当灭=0时,y=0.显然(0,0)在y=,3x上，故e=n(peR)的直角坐标方程为y=j3x.因为p2COs20=4，所以P2COS2&-P2Sin2。=4,即X2-y2=4.1J因为P=2cose，所以2p-pcos0=1,因此2；：X2+y2-x=1,化简得3x2+4y2-2x-1

15、=0.TOC o 1-5 h z3化极坐标方程P2cose-P=0为直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1C222【解答】解：p2cose-p=o,.pcose-1=0或p=opcose二、Psin6-yx2+y2=0或x=1,故选C.4将曲线pcose+2psine-1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A.y+2x-1=0B.x+2y-1=0C.X2+2y2-1=0D.2y2+X2-1=0TOC o 1-5 h z【解答】解：由曲线pcos0+2psin0-1=0,及,sin9可得x+2y-1=0.曲线pcos0+2psin0-1=0的

16、极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y-1=0.故选：B.-(n)气2-5、在极坐标系下，已知圆O：p二cos0+sin8和直线l:psin0-才二号.，求圆0和直线l的I丿直角坐标方程；【解答】解：圆0：P二cos0+sin0,即P2=pcos0+psin0,圆0的直角坐标方程为：X2+y2=x+y,即X2+y2-x-y二0,/n直线l:psin0-42,即psin0-pcos0=1,则直线I的直角坐标方程为：y-x=1,即x-y+1=0.1.必记的曲线参数方程已知条件普通方程参数方程经过点P(x0,y0)，倾斜角为ayy二k(x-x)00 x二x0+tcosa,b0)a2b2VX二acos0

17、,.c(0为参数)y二bsin0实轴a和虚轴bX2y2双曲线7=1(a0,b0)a2b2厂ax-q,C0S0(0为参数)0)Vx=2pt2,y二2pt2.参数方程与普通方程的转化(1)参数方程转化成普通方程类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。例如：曲线C：x=2+t2(t为参数)T1材2y=1+tr2解：思路一：代入消元：x=2+孑t,.孑t=x2,代入y=1+孑t,得y=x1,即xy1=0.思路二：加减消元：两式相减，xy1=0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边化同：把三角函数前面的系数化成相同平方：两道式子左右同时平方相加：平方后的式子进行相加注：有时候并不需要全部步骤）x=1+cos0,例如：圆|y=-2+sine消参数，化普通方程#（X-1）2+（y+2）2=1-平方*(X-1)2=C0S29(y+2)2=sin29相加：（x-1)2+(y+2)2:=13.参数方程涉及题型（1）直线参数方程