分块矩阵在行列式计算中的应用

1、分块矩阵在行列式计算中的应用分块矩阵在行列式计算中的应用矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线 性代数的一个主要研究对象.矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大 的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计 算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念,对行列式的研究重 在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为 困难.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚 至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好

2、的方法能极大降 低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变.在解决行列式的某些问题时，对 于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使 行列式的结构清晰，计算简化.本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵 的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨 论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵 在行列式计算中的优势.矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组 成的一样叱 特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理.这就是所谓的矩 阵的分块.把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每

3、一小块称为矩阵的一 个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵.这是处理级数较高 的矩阵时常用的方法.定义1国设A是加X 矩阵，将A的行分割为r段,每段分别包含陶行, 将A的列分割为s段，每段包含叫“a也列，则Al4：4i A” 就称为分块矩阵，其中&是叫X吗矩阵（/ = 1,2,j = 1,2,S ）.注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数.例如，对矩阵4分块，-110201301021010、232)A”A?1A/At) /其中A.0、2;飞2 O0 1 2,10T 0 3、0 1 2)矩阵的运算可将子矩阵当做通常矩阵的元进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时, 素

4、看待.加法运算设A = (%)”和8 = (4)小“为同型矩阵(行数和列数分别相等)，若 用相同的分块方法，即=(&)皿，B =(绯).，其中&、约是矩阵，i = l,2,s,j = l,2,且叫=i, j = n ,则A与8可直接相加，即. + 8= (4+%)_数乘运算设分块矩阵4网=(4)冈，k为任意数,则分块矩阵与k的数乘为 kA=(kAi)sxt.乘法运算一般地说，设A = ()”，8 = (%),“，将矩阵A、8分块，%纥 % J心 %网当 r匚. 1=、4 &As 一 2 2 2 4 ，一 5 A A A 1 n n A A ALI其中每个&是5. Xj小矩阵，每个Bjj是% X

5、勺小矩阵,于是有G c12 G,、C” 。22 C)rC = AB=r2,Ci % C”,其中Cjj是m, x和矩阵，Cjj =丹ABij .r-1应该注意，在进行乘法运算求乘积AB时，对矩阵A、8分块要求，矩阵A的列的分法必须与矩阵B的行的分法一致.矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有A3 = 8A.分块矩阵是一类特 殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律.根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘 法的运算性质相同.不过，分块矩阵运算时应注意以下儿点：(1)进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2)进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数；(3)进行乘法运算时

6、，不能随意交换两个相乘子块的顺序.在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便.而对于乘法, 在矩阵A与矩阵8相乘时，对8的一个分块方式，A可以有儿种分块方式都可与B 相乘，同样对A的一个分块方式，8也是如此.但不论怎样分块，始终坚持相乘 的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积 才有意义.例如，己知0 1 0、1 0 11 1 0；T 0A= 0 10我们把8分块为E,其中邑为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A可以分块为X 7 0 0 2 O 1 O loo或A 7 0 6 2 n 4 n I I o - 1 o Loo zr l、o 9 2 n

7、 n I o 16 1 0-0 r I我们可以看到第一种分法中有单位块，而(E. O A 工”o A,Jx Z对于乘法运算显然更加简便，即YA0:0I =A/、门 0 1 0 TOC o 1-5 h z (E.E.=-=0101.(A?% 2222 7 n ? ? nU 乙 乙1设A A2 A”、A _ &i 42&，是一个分块矩阵，那么它的转置为K孤A，A；2&2 A,s221 一 Alt A21A，分块矩阵的转置应遵守如下规则：A的每一块都看成元素，对A转置；(2)对A的每一块都转置.特殊的分块矩阵形式如么0、4一的矩阵，其中A,是矩阵(i = l,2,通常称为准对角矩阵.准对角矩阵具有如

8、下性质：(1)设(AO则有网=同闻;A可逆可逆。=1,2,且4TA；（3）对于两个有相同分块的准对角矩阵(Ao1如果它们相应的分块是同级的,那么显然有AB =7画A,B,它们还是准对角矩阵.与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种：（1）互换分块矩阵二个块行（列）的位置；（2）用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）；（3）将分块矩阵某一块行（列）的攵（矩阵）倍加到另一块行（列）. 定义20由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 现将某个单位矩阵如下进行分块，对它进行两行（列）对换；矩阵的某行、（列）乘以行列可逆阵P;某一行（列）乘以矩阵0加到另一行（歹IJ）

9、（1）分块初等对换阵上,就可得到如下三种分块初等矩阵:E”O分块初等倍乘阵O、分块初等倍加阵。、eJ隔eJ与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵（A B D）只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换:E,n V A 3jc DOCB,o Ya b _(pa pb e/c Drc D母熊算二/J同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果.我们通过验证，当用分块初 等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块 矩阵的初等行（列）变换.分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘） 一个分块矩阵能得到矩阵间的等式

10、，从而有利于计算矩阵行列式的值.定义3,21在一个级行列式。中任意选定k行左列（k ） .位于这些行和列的 交点上的公个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M ,称为行列式O的一个 攵级子式.当女 时，在。中划去这攵行攵列后余下的元素按照原来的次序组成 的-女级行列式AT称为攵级子式M的余子式.引理（拉普拉斯定理）设在行列式O中任意取定了1）个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式。.定理1设A是机阶方阵，8是“阶矩阵，。是阶矩阵，则证明利用拉普拉斯定理，只要将行列式A BO C按后行展开，在其所有的阶子式中，除|q外至少包含一列零向量，因此它们 的值为零.

11、而的余子式为同，且位于整个矩阵的第m+ 1,? + 2,+行， 第m + jn + 2,，/n + n列，即可得o c训5类似地行列式的形式为A OB C 时，由行列式的转置值不变，因此仍有 4* nD C通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式A BO C 换成A BC O又会有怎样的结论，它的值等于回吗定理2设A、8、。均为阶方阵，贝IJ=(一”同证明将拉普拉斯定理应用于上式的后行，在其所有阶子式中，除。外 至少包含一列零向量，因此它们的值为零.而。的余子式为网，且C位于整个矩 阵的第九 + 1/ + 2,行，第1,2,列，因此A B .其中 s = ( + 1X + 2) + , +

12、( + ) + (1 + 2 + + ) = 2 + 偶数,即A RC 0=(-1)” A M定理3 P=：是分块阶矩阵，其中A为/阶方阵，B为rs阶阵，。为L X-/ sxr阶阵，。为s阶方阵.(1)若A可逆,则|尸| =网。-CT倒；(2)若。可逆，则|p| = P|a cdTb .证明当网W0时，有(I O1-CAT /人c d)/A B、o oorB两边取行列式可得P = |A| |D-C4hB .(2)当回,0时,有 BD-iI。两边取行列式可得P = D |a-cd-b .将定理3中条件特殊化，可得到如下推论.推论1设A、B、C、。分别是r,rxs, sxr 9 s矩阵,则有= A

13、-BC.证明(1)只需在定理3中令4 =邑，即有E,BC DEy BO D CB= D-CB.(2)只需在定理3中令B =邑，即有A BC E、A-BC OC E,= A-BC.推论2设3、C分别是rxs, sxr,则有E, BC E，= Es-CB = Er-BC.证明只需在定理3中令A =邑，8 =二，则有E, BC E,= EsCB = Er-BC.定理4M设4、8、C、。都是阶方阵，则(1)当同工0且AC = C4时,= |AB-CD|；A R(2)当同 WO且 A8=8A时，c o=|QA-C4；A R(3)当)性0且。C = C。时，c D = AD-BC；A R(4)当|。性0且08 = 80时，c = DA-BC.证明由A、B、C、。均为阶方阵，当同W0且AC = C4时，利用定理3 得：AD-CA-l B=AD- ACA-l B = AD-CAA-i B= AD-CB,即BI)=|40-叫(2)、(3)、(4)类似可得.定理5【切设a、8都是阶方阵