专题15 数列构造求解析式必刷100题(解析版)-2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)

1、专题15数列构造求解析式必刷100题任务一:善良模式（基础）1-30题一、单选题.数列4中，+i=2a+l,4=1,则=（）A.32B.62C.63D.64【答案】C【分析】把%=2%+1化成all+,+1=2（4+1）,故可得a+1为等比数列，从而得到的也.【详解】数列%中，%+|=2&+1,故%“+1=2（。，,+1）,因为1=1，故4+1=20,故4+lwO,所以号詈=2,所以%+1为等比数列，公比为2,首项为2.所以4+1=2即=2-1,故&=63,故选C.在数列4中，4=1,且。用=2“+1,则%的通项为（）A.a=2-1B.4=2C.。“=2+1D.a=2n+1【答案】A【分析】依

2、题意可得。用+1=2（/+1）,即可得到为+1是以2为首项，2为公比的等比数列，冉根据等比数列的通项公式计算可得：【详解】解：%=2%+1,+1=2（”“+1）,由q=l,徨q+l=2,，数列血+1是以2为首项，2为公比的等比数列，an+=2-2=2,即凡=2-1.故选：A.设数列呢满足“1=1,放=3,且2。=（一l）a,Li+（+l）a+i,则。20的值是（）【答案】D【分析】首先证得(如一(-I)”一为常数列，得至lJ%-(-l)a“T=5,进而证得数列响,是以1为首项，5为公差的等差数列，从而求出通项公式，进而求出结果.【详解】因为2910n=(-I)如I+(+I)小I，所以nan-(

3、/-1)an-1=(n+1)ani-na,t故数列(0一(九一1)。”“为常数列，且2a2-=5,所以natl-(n-X)an_x=5,nan-(n-X)an_x=5,因此数列“，是以1为首项，5为公差的等差数列，所以4=1+5(-1)=5-4,因此g故选：D.设数列%中，ai=2,a+i=2a+3,则通项a“可能是()A.53/1B.3-2-11C.5-3n2D.5-2n-1-3【答案】D【分析】用构造法求通项.【详解】设a.+i+X=2(q+x),则a+l=2a+x,因为a”11=1an+3,所以x=3,所以a“+3是以q+3为首项，2为公比的等比数列,a“+3=5x2-l所以a,=5-2

4、i-3故选：D.已知数列%满足：卬=1,。,用=兰二(),则数列4的通项公式为()4十z【答案】D【分析】对4M两边取倒数后，可以判断是首项为1,公差为;的等差数列，即可求得.4+22【详解】由数列q,满足：4=l,a+i=两边取倒数得：即=,4+142an+la2所以数列：是首项为1，公差为3的等差数列，111/八+1所以一=+彳(-1)=丁， TOC o 1-5 h z anax222所以。“=等故选:D.已知数列叫中，q=L一=i+_(“)，贝！|4)=()an1111A.B.-C.-D.一78910【答案】D【分析】令a=(),由等差数列的性质及通项可得=，即可得解.【详解】令b“=L

5、nwN*),则b“+1=l+或，4=1,an所以数列4是以I为首项，1为公差的等差数列,所以=,=,，n所以4。=/故选：D.已知数列叫的前”项和为S，4=1,%=2,an=3a_l+4_2(n3),则与=()4,0-14-1A.B.C.41-1D.4-1【答案】A【分析】由已知得出数列q+4+J是等比数列，然后可利用数列q+。“的奇数项仍然为等比数列,求得和兀.【详解】因为=3a“_i+4a“_2(N3),所以a“+4,=4(a“_|+a2)，又4+出=3a0，所以=4523),所以”,+/“是等比数列，公比为4,首项为3,an-*an-23(1-165)1-16则数列%17+%也是等比数列

6、，公比为4?=16,首项为3.所以，。=故选：A.已知数列4满足：q=%=2,a=3an_l+4an_2(n3),则%+%=()A.47B.4【详解】2=2+41,即 24+2%“ = 1，C.49D.410【答案】C【分析】由已知关系求得数列q+4,J是等比数列，由等比数列通项公式可得结论.【详解】由题意4+。2=4,由an=3a“t+”2(N3)得a“+%=4(a_,+a_,),即:叱 1A. B.20182019【答案】D【分析】由递推式可得数歹为等差数歹L=4(n3),所以数列an-+an-24+。向是等比数列，仅比为4,首项为4,所以为+。=49.故选：C.已知数列4满足递推关系，4

7、+4,=。“-。用吗=；，则网=()1D.20211C.2020根据等差数列的通项公式即可得结果.【详解】1L111.因为4+1.。=%-%+，4=彳，所以:;-7=1，7=2,ZMn+IU即数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以-=2+2019x1=2021,所以42。=焉，W2()2O幺1故选：D.,(wN,),则数列4的通项公式为().已知数列%满足：4=1,4=皆A.a=B.a=C,an=2n-D.a=-1zz1z【答案】B【分析】取倒数，可得,+1是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可得结论.【详解】=-V?(eN*)。“+20a =.” T-故选:B.11.数列4满足22 =

8、 2%,用-1,且4=1,若a“,as=二一421653216155,若41Vg，则n的最小值为5,故选c.12.已知数列qj满足4=50,2an+I=a-l,则满足不等式4%”。的k（2为正整数）的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】先求得4的通项公式，然后解不等式4q”。求得左的值.【详解】依题意+1=ga“-g，a“+i+l=g（a.+l），所以数列4+1是首项为50+1=51,公比为3的等比数列，所以。“+1=51（；）,所以4=511；）-1.由得-1-51-W-1513,则的最小值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【分析】根据递推关系可得数列是以

9、I为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得a“=2T+l,即求.【详解】a1因为4M=24-1,所以a,M-l=2（a“-l）,即-=2,1一1所以数列,-1是以1为首项，2为公比的等比数列.则4-1=2、即。=2一+1.因为。513,所以2+1513,所以2”t512，所以10.故选:C14.已知数列4满足4,=肃丁（22,wN*）,且4=g,贝的第项为（） TOC o 1-5 h z fl1A.2nB.-C.3m-1D.22n【答案】A【分析】在等式。“=卢七两边取倒数，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得【详解】aJ2a+11当“22且wN*，在等式。

10、两边取倒数得一=3=+2,21+1an%11c1cf11=2,且一=2,所以，数列为等差数列，且首项为2,公差为2,anan-aatlJ因此，一=2+2（-1）=2”.an故选:A.数列q,中，若q=l,=2a.+3（21）,则该数列的通项a“=（）A.2n+,-3B.2-3C.2+3D.2-1-3【答案】A【分析】据递推关系式可得+3=2（a“+3）,利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为a”=2。“+3（21）,所以。“+|+3=2（,+3）,即数列4+3是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a,+3=4-2T,故。“=4-2-3=2-3,故选：A.已知数列q满足。e=血,+1,且4

11、=1,4=3,则数列叫前6项的和为（）.A.115B.118C.120D.128【答案】C【分析】由题干条件求得4=2,得到“z=2a“+l,构造等比数列可得数列q的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列叫前6项的和.【详解】a2=丸4+1=2+1=3,则4=2,可得4+1=+1,可化为+1=2（。.+1）,有4+=2,得q=27,则数列前6项的和为（2+2?+L+26=斗/-6=120.故选：C第II卷（非选择题）二、填空题.已知数列,满足=3a“+2,4=l,则4=.【答案】2x3T-1【分析】先判断事4+1是首项为2,公比为3的等比数列，即可得到a,+1=2.3，从而求出明.【详解

12、】因为4用=3a“+2,q=1,所以a“+i+l=3（a“+l）,由q+l=2#0,所以a“+l为首项为2,公比为3的等比数列，所以a“+1=2.3，所以q=2x3-,-l.故答案为：2x3T_i.已知数列可的各项均为正数,且-。2_=0,则数列,的通项公式4=【答案】+1【分析】因式分解可得+“+)=0,结合%0,即得解【详解】由a；-w(n+l)=0,得4-(+l)(a“+)=0.乂凡()，所以数列a.的通项公式q=+L故答案为：+1.已知数列”满足4=1,且a“=1a,-+(g)(22),贝!J数列。”的通项公式?=【分析】利用条件构造数列3%,可得数列为等差数列即求.【详解】.34=3

13、T%+1(n2),即3q-3&_|=1(22).又q=l,3a,=3,数列3。,是以3为首项，1为公差的等差数列，3=3+(1)x1=+2,数列的通项公式。“=竽.故答案为：亨.若正项数列。“满足q=2,2,neN*,且4=1,则%=.【答案】15【分析】根据题意整理可得7?不=7%；，所以小不为常数列，令=5即可得解.+(n-l)nn(n+l)【详解】由(-1)%=(+l)a,i可得,n+1ni两边同除可得就I1篇故数列一AkI为常数列，(/7+1)ana.1所以而寸广3，所以令=；，解得4=15.故答案为：15.数列为的前项和为S“，已知=1,a+l=5(=1,2,3,-),则%=一，n【

14、答案】(+力2”2【分析】由给定条件借助n+1=-S,消去a用，求出S“即可得解.【详解】因”eN*，。川=95，而。“”=5的7“，则5向一J=史工5”,，产出土为.，nnn于是得辿=24，又3=?=1,则数歹12是首项为I,公比为2的等比数列，n+1n11n从而有&=2，即S=-2T,an+i=-n-2-=(n+2)-2-,nn“22时,a=(n+l)-2n-2,而4=1满足上式，所以4=(+1)-2-2,eN*.故答案为：(+1)212.在数列,中，4=2,凡+|=2(1+：卜,+4+4,则%=.【答案】460【分析】由已知可得个=么+4,即数列1%+同是以6为首项，2为公比的等比数列，

15、由此可求出4,的通项公式，得出所求.【详解】an2),即4+1)=3(%+1)且4=2,，q+1是首项为3,公比为3的等比数列，即+1=3”，1/11a2=3:-1=8,a,=35-l=26.(2)设c“=a+,由(1)知a“=3-l,又勿=bg3(a“+D=.：.c=3+n-,S=(3+32+.+3)+(1+2+.+m-1)=-3)+(仁1出2二1)=1(34+n2-n-3).1-32230.已知数列,满足4=1,a2=3,S.an+2-2a+l+a=4,nwN*.(1)求数列4的通项公式；(2)设2=4,neN：求的最小值.n【答案】3)凡=22-4+1；(2)1.【分析】(1)构造向-4

16、，结合已知条件可知%是首项为2,公差为4的等差数列，写出通项公式，再应用累加法有。+6+.+%_|=。0-1,即可求4的通项公式；|(I)知：bn=2n+-4,易知22#-4在wN*上恒成立，且数列单调递增，即n可求其最小值.【详解】(1)令与二4川一勺，则%+g=4，而4=/一4=2，1”是首项为2,公差为4的等差数列,即=2+4(-1)=4-2,/.G+c2+c“t=%+丐一2+“an-=凡一囚=-1,又G+Q+c”t=4-(1+2+.+711)2(-1)=2(-1)2rl2-477+2,an=2/-4+3.(2)由题设，bn=-=2n+-4fneN,nn.瓦22,2小：-4=2m-4,当

17、且仅当=半仁(1,2)时等号成立，故2a-4且在22上3单调递增，又a=ib2=j.,.当”=i时，”,的最小值仇=i.任务二:中立模式（中档）-50题一、单选题1.已知数列凡满足q=,%=；,2，=（2记数列前八项和为臬，则（）A.7cs2如8B.8Vs2叫9C.9cs2021V1D.10S202i2）,利用累加法可求得2”=1+=,求得2。的范围，从而可得的范围，从而可得出答案n+V2-1【详解】解：由2%_2=（24_1）（2册”一。可得（2%一1）=（2册-1）（27）,化简得二二一4=1（22），2+,-12-1累加求和得77=2-121 TOC o 1-5 h z 7=1.1!=1

18、化筒得-2+1-“+&-1,2-1因为0-所以2（1+工+，】，7I+1n）un,+2,+1即log。an2.+1n_.1,4,5,+2.n+2S=q+&+412T+log2T+log27+*,+1OS2r=1Og2-234+l6_,1,3,4,zz+1,+lS“=4+%+logz7+logz7+logz7+log?=lo2r223n4707inii所以log228log2S2021Vlog2log,29,62即8Vs2Ml9.故选：B.2.已知数列q满足（%1）&-1）=3（。.一凡“），a,=1,设.=2（各一八，若数列%是单调递减数列，则实数2的取值范围是（）A.，+8）B.（；，+8）

19、c.（；，+8）D.（1，+）【答案】B【分析】将递推关系式整理为7-=:，可知数列二为等差数列，借助等差数列通项4+1-】a“T3J公式可整理求得,从而得到c“的通项公式：根据数列5的单调性可采用分离变量法得42到人初一商结合导数的知识可求得k + 2 + 1 Jmax,由此可得结果.【详解】由(4,+1)=(4-1)=3(4一。“+1)得：(4用一1)(4,-1)=3(4,-1)(-1)-.=1即_I_=1(an-l)(an+l-l)3a-l3- %7) = a-l 0,-1 3VI是公差为1的等差数列.1311,n+1-1In-11=5.3V3123 + 4刀=77? 2| = 2 +

20、4 J. ，“是递减数列，. N*, Mg,即 2“7M只需2max=42=2(x+21-4(x+1=4-2x?=2卜-0)k+&)(x+2(x+1)2-(x+2(x+1)2-(x+2)2(x+1)2(x+2)2(x+1)2f(X)在(1,0)上单调递增,在(+8)上单调递减.又/=(，2)=g,二当wN*时，4)a=l)=2)=；,即一二71=:，即实数4的取值范围是(士内丫l+2+1几*3313)故选:B.3.已知在数列叫中，q=g,1=)+,则4=()J_22_J_J_22_2y;F-22r3F-F【答案】a【分析】依题意可得2叫/-3=*（2a“-3），即可得到2%-3是以-g为首项，

21、|为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得;【详解】解:因为q=,afl+1=-an+f-l，所以2叫42a+1,整理得632y32+。向一3=|(2%-3),所以数列2见-3是以2q-3=为首项，3为公比的等比数列.所以2a“-3=-g图,解得4=最-，故选：A.设数列满足4=3m“m=3%-4，若=+8”土5,且数列么的前n项和为s,anan+则，=()A.nl+-IB.-+C.nfl+-1D.V6n+9J36/7+96/14-9716+9J【答案】D【分析】先根据。”的递推关系求出凡的通项公式，代入的表达式中，求出2的通项，即可求解九的前”项和5.【详解】由%=3。“-4可得%

22、-2(”+1)+1=3&-(2+1),:4=3,/.ax-(2x1+1)=0,则可得数列。“-(2+1)为常数列0,即4-(2+1)=0,.%=2+14+8+5_(2+1)(2+3)+2_1+2_1+_J1_(2n+l)(2n+3)-(2+1)(2+3)一(2+1)(2+3)-2+12+3*, s2/1 + 33 2 + 3=(1 +6 + 9)故选：D.数列4满足4=1,吗,+|=(+l)a“+(+l),若以=a.cos等,且数列,的前”项和为S”,则用=()A.64B.80C.-64D.-80【答案】C【分析】由已知可得巴弋-殳=1,即数列是等差数列，由此求出=/COS，分别令n+1nnj

23、3=1,2,3,11可求出S”.【详解】数列4满足4=1，%,+i=(+1)4+(+1)，贝|J&L=&+1,n+nUj得数列皆是首项为1、公差为1的等差数列，即有&=，即为。“=2,n门.,2n7r22n兀贝ijbn=ancos=nrcos,贝=-卦十2一*。，+112)+(32+62+9，)=-(l2+22-32-32+42+52-62-62+72+82-92-92+102+ll:)=-gx(5+23+41+59)=-64.故选：C. TOC o 1-5 h z .已知数列qj满足3a“-2a,r=a.4)(/?2,ne,N*),且q=0,4=2021,贝(j0)=()20212021_2

24、0212021A.B.C.D.31336365【答案】A【分析】由力”-2al=%(N2,eN，)可得2(=+1,从而得数列以生一4为首项,2为公比的等比数列，根据&=4-4,可化为4=31%,从而即可求得答案.【详解】由%-2%=aN2,sN.)nJ2(a-a_t)=a+1-a,若。“一。1=0,则/=%=，与题中条件矛盾，故见一。“一户0,所以刍曰二&=2,即数列。向-%是以4-4为首项，2为公比的等比数列，a.一%所以a“+i-a“=。2,2,所以=2021a2-2+2-2+2-22+2-23+2-24=31=2021,所以=不一，故选：A.已知数列%满足=2,4,%+。“=341-1(

25、22,6%”),若7；=的2勺，当】10时，的最小值为()A.3B.5C.6D.7【答案】C【分析】将已知递推关系式变形可得二7一一二=:，由此可知数列为等差数列，由等差a“T2aw-lj数列通项公式可取得不，进而得到%;由=42/。可上下相消求得，结合wN,anL解不等式可求得的最小值.【详解】一|由4%+a=3a,i-1得：an=2j,an-+1.2的22(加1) TOC o 1-5 h z an-+1an-+1/一+1a“_i+1a“_i-1+211111an-12(a_一1)2(%-1)an_x-12an-121数列一;是以一二=1为首项，;为公差的等差数列，a“T4T21I/八+1,

26、+3=l+_(n-l)=_(则凡=,1乙z+1.456+2+3(/1+2)(+3)ln=4a吗4=x-xx-xx=乙234n+16由7；10得：(+2“+3)0,又eN，；.26且eN，二的最小值为6.故选：C.8.数列,各项均是正数，4=g,出=|,函数y=gx在点处的切线过点an+1-2ana,则下列命题正确的个数是().为+。4=18；数列%+4用是等比数列；数列4,3叫是等比数列；4=3*.A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到=4=2J，整理得到an-4+2+2a“+i%+2-2。“+尸冽，利用构造法求出数列的通项,即可判断:【详解】解：山

27、y=gx3得y= TOC o 1-5 h z la3_Za33所以=4-33_Q：,an一(4+224+)an-。“+2+%+；4+2-加+1一%=勿”=%+2-2。同=(*),339=1,%加2=3q=3=3x-+2x-=3+-=-,39927=2,%2a3=3a24=3x4-2x=9+=,.927361Q七环222由(*)知”+2+4川=3(4+1+/)，,首项4+4*。，”3=0,.+4+J是等比数列，正确；4+2-34+=-1(%+|-3%)，首项为-3q=|-3x；=o,不符合等比数列的定义，错误；由对可知：勺+4_1=232,两边同除3得小+g得J，令李=4，+3%=於4=-31+

28、，n-2-；2一：=_;1如_,636)6二=%=夏=0,即数列是恒为。的常数列163636661J.%Y=0=黑=!=a=93=；3T,故错误.o3ooZ故选：B.9.已知数列q满足4=1,4川=(旷)，若如I=(-2田+1(1B.A,C.4,且4伉求得实数4的取值范围.【详解】由数列上+1是首项为2,公比为2的等比数列,UJs+I=2x2n-=2,an=(n-22)-|+1得%=(-2办2,因为数列是单调递增数列,所以N2时，b+lb,m4-1：.(n-2A)-2(n-2A)-2n-,即/1”,得2422,得i0,根据递推公式可得出40,%0,，进而可知，对任意的neN*，。，在等式4+1

29、=1（_,+1）一两边取对数可得323陛2（。“+1）=1呜=2隰（%+I）+log2：.令以=1%（4+1），则或。,可得”=%+噫|,则+唾：:|=2（%+1%|所以，数歹+1。82是等比数列,339且首项为4+log2弓=log2（4+1）+log?-=log,-,公比为2,39因为把一 2 二泰,所以必- = 2, 2n-7/5+log2-=2即电（%+1）=321%3-小。叼=31陶375.故选：B.13.已知数列qj的前项和为S“，q=5,且满足詈-2 =#=，若，qeN*, Pq, 277-52/i-z则t-s,的最小值为（）A. -6B. -2C. -1D. 0【答案】A【分析

30、】转化条件为3三4 = 2,由等差数列的定义及通项公式可得。“=（2-3）（2-7）,求 2- 5 2/2-7得满足4 4 0的项后即可得解.【详解】log,-=16（2log,3-1）=32log23-16,乂册i所以数列篇是以T为泞项公差为2的等松列.所以y=T+2(n-l)=2-3,所以a“=(2-3)(2-7),令4=(2”-3)(2-7)40,解得;44鼻，所以/0吗解：由a“+=:。“，力以。+1=u-。，得o二-所以数列是以#;=1为首项，以2为公比的等比数列，1+1J1+1所以4=2，所以a=(+l)-2T.设。“的前项和为s“，则S“=2x2+3x2i+4x22+(+l)-2

31、T,两边同乘2,得25=2x2l+3x22+.-+n-2*l+(n+l)-2,两个式子相减得-5=2x2+(2+22+-+2,-|)-(n4-l)-2,=24-21-2-(n+)-2tt=-n-2n所以S2所以生2021x2_2021力以，以以+%“9-2019x2刈-2019.故选：A16.若数列4的首项4=-21,且满足(2-3)a,M=(2-l)a.+42-8+3,则%的值为()A.1980B.2000C.2020D.2021【答案】A【分析】由条件(2-3)4*1=(2-l)a“+42-7+3可得=从而数列是首项2n-2n-32n-3)为21,公差为1的等基数列，由q=21,可得.=2

32、1,得出包的通项公式，进一步得出答案.【详解】*.*(23)。+I=(2-1)4+4-7/?+3,(2九一3)。“土=(2+(2-3)(2/11),.卧-善二=1，所以数列是苜项为21,公差为I的等差数列，2n-l2/7-3-3JA=21+(n-l)xl=n+20,2一3工。=(+20)(2-3),ngNa24=1980,故选：A.17.设数列“的前项和为S,且q=l,a.1+25-1)(“e设),则“S.-21的最小n值为2A.-2B.-1C.-D.33【答案】B【分析】S,n=l利用数列的通项与前项和的关系/=。，因为。+| = + 6y1ati + 2 + 9 , 即J* + 2-也+2

33、=3, 也+2是以3 所以，4+2=3-1吗+2 = (3-1)2,即 叫 故选：C.已知在数列,中，a =1, %： j_2_2_A, 23 321) = 2 1,故 S“ = 2/?2 - n.? -3x2,x 1，贝ij y= 6/ - 6x = 6x(x-l)20.=1 时,S 一2, 有最小值 12=-1.+- 6+ 2 + 9 ,则 % =()C. 6398D. 40282+3/，所以构造数列也+2为等差数列，算出所以1+2 = (,+2+3产，为公差，以2为首项的等差数列.7=802-2 = 6398.8+出，则“,=()C -1d - 2“ 3 3” 2【答案】A【分析】递推关

34、系式乘以2山，再减去3,构造等比数列求通项公式.【详解】因为4=|，4+1=+（；），所以2叫aM=2a“+l,整理得2叫*-3=:（2工一3）,所以数列2q-3是以2q-3=-g为首项，|为公比的等比数列.所以2%-3=1（|），32解得4=.-守故选：A.20.如果数列,满足4=2,a2=,且=（“22）,则这个数列的第10项an-ananan等于（）111121029105【答案】D【分析】由胆设条件知乡吟，所以i+i）,由此能够得至W为等基数列，从而得到第10项的值.【详解】解：.%二%=%一%1(n22)an-ananan+一+=一,即，*%and1=2,a2=1111,/.=一,=

35、1,/.cq2a2为以!为首项,-j为等差数列.11.11-=-02al22;为公差的等差数列.IAJ/乙111/nI422、12+9=5.(12210=-故选：D.二、填空题21.已知数列,满足%+22【答案】(+1)【分析】由已知条件可得-|-(4+2a”+J等差数列，进而可得-=式即可求解.【详解】解：由4d+&包=2+。“小得一凡+24a由4=1,%=?得=2,3%4所以一!，是以2为首项,I-所以=2+(-1)=+1%4第口卷(非选择题)片=2+。“+|,且q=l,4J,则。“的通项公式”“=|=1从而有二是以2为首项，1为公差的+IaJIAman)=2+(-1)=+1,最后利用累加

36、法及等差数列的前项和公=i,-K-1=1,n+2anan+(。什2/“+1J1为公差的等差数列，当22时，=I1+jh%(勺%)an-2)l2%)%z、n(n+1)=+(/!-l)+.+2+l=,2所以凡二而用,当九=1时，4=1也适合上式,2所以=而而2故答案为；而可SS+122.设数列叫满足q=2,%=6,4=12,数列4前项和为S,且黄字不=3(“eN且22).若但表示不超过x的最大整数，b,=卢，数列他,的前项和为T”,则心22的值为.【答案】2023【分析】根据递推公式，可知4*从第2项起是等差数列,可得-4=2+2,再根据累加法,可得4=(+1)，由此可得当22时，b=一L=1,又

37、4=匕工=2,由此即可求出2022【详解】当“22时，r=3,3+1-3+.4+2+。的+。“+1=3%+1_2a“+I+4=2,上4+2-4+1-(4+1-4)=2.a+l-a从第2项起是等差数列.又,.4=2,d2=6,%=12,/.(a,-a2)(a,a)=2,a”+ia“=4+2(-l)=2+2,当22时，an=(a“一)+(*-4-2*-+3-4)+4/、n(n+/、=2/7+2(n-l)4-L+2x2+2=2x_-=n(n+)(n+l)2n+1(册n.WN2时，=又.西=叱匚=2,2213220232-T2O22=+-=2+2021=2023.故答案为：202323.已知S.是数列

38、叫的前项和，qm-3q,+2a“T=l,q=l,4=4,求数列4的通项公式.【答案】4=2e-2【分析】根据已知条件构造a+l-a+l=2(4a,-+1),可得an+l-a+1卜是公比为2的等比数列,即an4l-a=2+|-1,再由累力口法以及分组求和即可求解.【详解】所以=2(4-)+1,因此本=2,因为4=1,a2=4,所以/-4+1=4,故数列。，用一。“+1是首项为4，公比为2的等比数列,所以4“一。”+1=42-=2向，即.一4=2同1,所以当22时,出“I=21t%勺=2,1,4/=21,L,一=211以上各式累加可得:2“1一2”。册一4=(22+23+-+2)-(n-l)=1-

39、Z=2n+l-4-(n-l)=2nl-n-3,因为4=1,所以a“=2i-2,”22；又4=1符合上式，所以%=2-w-2.故答案为：an=2+-n-2.5-S+124.设数列4满足4=2,%=6,%=12,数列4前项和为S，且r二二二3%+1一%+1(eN且”22).若国表示不超过x的最大整数，b“=色卢，数列也的前项和为，则422的值为.【答案】2023【分析】根据递推公式，可知q“一从第2项起是等差数列,可得i=2“+2,再根据累加法，z、F(n+1)21fl4.1V可得+由此可得当22时，bn=L=1,又1=2,由此即可求anJ4出与022【详解】.。”+2+4川+凡+13%+i+l-

40、24x+4=2,%+2-4用一(47-4，)=2川-4,从第2项起是等差数列.乂,.4=2，%=6,3=12,.(4-%)一(%-aj=2,a“+=4+2(-1)=2+2,当22时，4=(anan-t)+(an-lan-2)+-+(a2-ai)+ai=2n+2(n-l)+L+2x2+2=2x”(丁)=(+1),(+1)2n+1.-=(7?2),.(l+l)2乂也=-乙=2,q22322023?T2(f22=+=2+2021=2023._“lL%L。2022_故答案为:2023.51125.已知数列4中4=1,n+l=-一，设“=一二，求数列的通项公式71【答案】4M【分析】首先判断，+;1是等

41、比数列，并求得其通项公式，从而求得数列的通项公式.【详解】51,11a-2依题意。用=彳.则。”*1-2=3=-,2a2a2azi TOC o 1-5 h z 14两边取倒数并化简得=7+2,%-2a-2即或+i=妆+2=%+g=4（+1）,r?12121所以数列或+刀是首项为伉+三=-+-=公比为4的等比数列，3JJq-/Jj0101所以=4-产，71故答案为：hn=-.已知数列,满足4=3,4向+1=2（3-1）（：“+1）（“）,则数列%的通项公式+2,3-1为“二【答案】2（3）_n【分析】将已知递推关系式变形为黑兰=,U,令2=科，采用倒数法可证得数列1为3-1吧+23-1bn3-1

42、等片数列，利川等差数列通项公式求得或后，整理可得所求通项公式.【详解】由”得:%+1 .一 2(6 + 1)- 3T3” 1 % + 2 3 1 a” +1 + 2 3n-设bo =%+l3-l则有2月这+2口=11,1. .4+13 + 1 c即喜3T 5,又八tt=i=2.f1111111zn.数列1了是以百=5,3为公差的等差数列，.万=5+（-1）=5,.也3即2=2,一坐二Un3n-lnnn故答案为：20“二I）；.若数列叫满足4=1,为“=6q+2”，则数列叫的通项公式。“=.【答案】2x6T-2T【分析】由=6勺+ 2向，可得爵=3x次+ 1,设咤，即鼠+g=3（+|,先求出的4

43、通项公式，进而得到答案.【详解】由。“八=64+2，可得招=3x2+1，设4,=*Z2./则%=3仇+1,则%+；=3(+g所以+；是以1为苜项，3为公比的等比数列.则+g=3T,则纥=31-g,所以4=2x6-2,故答案为：2x6T-2T.已知数列4中，a,=|,且满足q=；a,T+(N2,GN*),若对于任意wN,都有&2为成立，则实数义的最小值是.n【答案】2【分析】将己知等式化为2%“=2%t+1,根据数列2%.是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式,将不等式化为a22”恒成立,求出2的最大值即可得解.【详解】因为“22时，%=S，所以2q=2-%_产1,而2%=3,所以数列2为

44、是首项为3公差为1的等差数列，故2凡=+2,从而,=乂因为人2为恒成立，即；in(+2)恒成立,所以力J(：2)n22n2 31-/3/3 ,得 =2, n g N*,n 2(+2)(+1)(+3)由-(:：(eN*,N2)得所以4K =1，=2,所以2之2,即实数人的最小值是2.-Jmax故答案为：2(+2)2x(2+2).在数列,中，=1,且=34+(-1),则“=.(用含”的式子表示)答案3一(-1)”4【分析】将条件变形为%+；(-1)”=34+；(-1)”,即数列卜是首项为，公比为3的等比数列，然后可算出答案.【详解】因为。”+1=3。“+(-1).所以4川+；(T)/=3,所以数列

45、“+；(-1)”是首项为，公比为3的等比数列，所以所以4故答案为：37(二1)：4.若数列4满足6=1,且见“=4q+2,则4=,【答案】2016【分析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.【详解】因为向=4。“+2”，所以一+2=4(4+21,，数列a+2T是等比数列，首项为2,公比为4,则通项4+2T=2x4T,可得：a“=22T-2T,则ab=22x6*-26-*=2,-25=2016.故答案为：2016.在数列中，4=1,3-4=3%1-2-3-2+2(.2),S.是数列义1的前项和，n则S.为.【答案】3(1T【分析】将y-an=3T4T_2.3-2+2(.2)化为3-,(,

46、+1)=3一(%+1)+2(.2),再由等比数列的定义和通项公式、求和公式,可得所求和.【详解】解：由4=1,-2S+2(.2),可得3T(%+1)=32(a“_1+1)+3T-3-2-2-3-2+2(.2),即3小(q+1)=3一2(%+1)+2(.2),所以数列3T(,+1)是以31(4+1)=2为首项、2为公差的等差数列，所以尸4+1)=2，2(1-),J*).3故答案为：3(1-).若数列,满足4=2,4M=4a“+4j+l,则使得%22020成立的最小正整数”的值是.【答案】11【分析】根据递推关系式可证得数列、届+为等比数列，根据等比数列通项公式求得J，代入不等式，结合eN*可求得

47、结果.【详解】+i=%+4血+1=(2阮+1);；.向?=2飙+1卮?+1=2(乩+1),数歹Ia+1是以8+1=应+1为首项，2为公比的等比数列，.阮+1=(夜+1)x2“t,.疯=(夜+1)x2T-1,山220202得：疯22020,BP2-=2021x(/2-1)837,29=512,严=1024且wN*，满足题意的最小正整数=11.故答案为：11.已知数列,满足4=5,(2+3)。“+|-(2+5)%=42+16+15,贝！K=.【答案】22+3【分析】转化原式为#+-k%=1,可得是以I为首项，1为公差的等差数列，即得解【详解】依题意，(2+3)。川-(2+5)(=(2+3)(2+5

48、),故詈七一卢=1,故数列彳%是2n+52+32+3J以1为首项，1为公差的等差数列，故三%=，则。“=22+3”.故答案为：21+3.已知数列应满足区=七七-11+1(n0N-),且s=6,则断的通项公式为.【答案】22-【分析】an_10n+l_1%_1由宓意令。=1可得6，与N2时，转化条件“H卜二+1，进而可存与二=2,即n-nn-可得解.【详解】因为数列Qn满足2=-11+1(。闭N*),所以&-1=一nn1几+1jnn/?+1)当n=l时，4-1=0即ai=l.当22时，由-1=七彳甥-1可得；-1：;In+1)-=n-n回数列十，从第二项开始是常数列,又万一2圄一22-1n-Qa

49、n=2n2h（w2）,又4=1=2-1满足上式，13aH=2n2-n.故答案为：2n2n.设数列4满足4=4,%=10,a；血?=503，Vo3,贝！J片心9-3皿/因=.【答案】In5【分析】由题意可得,1nM施；）=In（5吭），化简整理得2ln1lnWlna-,-7111n-2J=ln5.令=lna+1glna“，可得2（一1一In5）=*-In5,由此可得b=】n5,从而可求出答案.【详解】解：Ja“_2=5a；_,Vn3,.当N3时，In（a；ya）=In（5q；_1）,即2Ina“+；Ina.?=皿5+2Ina“_1,2Inart-2Inc*-b-lnan_2=ln5,21na“-

50、gnq_j-na,；In%=】n5,令2=lnq+-Jlna“，则24_一白吃=姑5,且4=ln%-Jlna】=ln5,二2-In5）=2-皿5,又4_ln5=0,.也=2Wln-lln,t=ln5f故答案为：In5.已知数列4满足用=34+10,2=4-4（+1）,若垢浊,则数列%的首项的取值范围为.【答案】（3,+w）【分析】利用构造法求得a=（q+5）-3”T5,由方川2可得出4+5高，可得4+5（京.进而可求得为的取值范围.【详解】=3。，+10,.。,+|+5=3（q+5）,若4+5=0,得q=-5,可知=-5,此时，b=-4n-9,数列是递减数列，不合乎题意；若4+5=0,得4#-

51、5,则数列%+5是以3为公比的等比数列，所以，/+5=（%+53小，则%=（吗+5）31-5,也=%-4（n+1）,且也用包,即（4+5）354（+2）（4+5）-3-5-4（n+l）,整理得（4+53T2,.4+5,贝,易如数列侪是单调递诚数列，则q+5,=2,解得可-3.因此，数列为的首项的取值范围为（-3,e）.故答案为：（3,供）.数列叫满足q=l,a2Sn-）=2S（2,wN*）,则勺=.n = 1n2I,答案4=2,（2网一1）（2也一3）【分析】2为公差的等差数列，可得八11,1、1一利用项和转换，得至12=三-丁，故三是以k二1为首项,臬=:，再借助4=S“-Si，即得解2n-

52、i【详解】由于a,（2S.-l）=2S；,4=S.-S,i.-S,i）（25,-1）=2S.2S,iS“=Si-S”2为公差的等差数列故=是以1=1为首项,由于 4=S ”一 Sa5N2)71=1n21,故答案为：。”=238.已知数列q,满足q=l, M十场（”2 2）,则通项公式a“ =(21)(2-3)【答案】百匕（*）【分析】先取倒数可得-=网W=2+3,即-L+1=3!+J,由等比数列的定义可得n2时,4的峭an（的）+1=6$-2,即4=入，再检验n=1时是否符合即可。2,31【详解】 TOC o 1-5 h z an.,、3、12an.+3,3由题，因为4=。T(22),所以一=

53、y=2+,2%+3ana_1外111、所以一+1=3+1)4；当=2时=!，所以,+1=5+1=6,2.CL+53CI-,所以当22时,;+1=632则;=2.尸-1,即4=Clnan23-当”=1时,4=万匕=1,符合，所以q=姑7，故答案为:一(eN*)Z,139.数列4“满足：叫+2+（+1）4=（2+l）4+iT,4=1,a2=6,令c.=a”.cos彳,数列cj的前项和为S“，贝!|S4.=.【答案】16/? .12/1-1I2j? I = +1+6【详解】由递推关系整理可得：（。,+2-。”+1）=5+1）（4+尸4,）一1，贝IJ：据此可得:一/I二八一见n+1nn(n+1) T

54、OC o 1-5 h z 以上各式相力U可得：Z=4+l,.-.a+1-a=4n+l,nn再次累加求通项可得：4=2-(“22),-in=l时该式也满足题意，综上可得：an=2n2-n，则：C4n-3+C4n-2+C4n-1+C4n=a4n-2+“4”=32n。，(22+32-10),r.S,n=-=16+6n42.数列凡满足q=14+2=-(eN)记4=为，则数列也,的前项和S.=Vana”+ia：乙,但r2+3【答案】3【详解】试题分析：由Jr+2=得一-3=2,|4=1,所以数列与构成以1为首项，2 TOC o 1-5 h z 归心。，用4a,为公差的等差数列，所以，-l+S-DxZnZ

55、n-l,从而得到。；=白，则竽，13所以 S =- + t + -+2一1 12n f2nI32n-32n-=rHr+417-3 2 + 3222两式相减，得;S“=.崇+言-割22-2向2n2n+,所以邑=3-若三、解答题.已知在数列。中，q=T,且=3a“T-2+3(22,eN*).(1)求出，%，并证明数列是等比数列；(2)求qj的通项公式；(3)求为+生+4,的值.【答案】-4,-15,证明见解析=m-2x3T(3)3+T22【分析】an-n-(1)代值计算出生，小，根据递推公式可得据“八=3,即可证明；(2)由(1)可知”,是以-2为首项，以3为公比的等比数列，即可求出通项公式:(3

56、)分组求和，即可求出答案.解：因为q=-1,且a“=31T-2+3(N2,gN+)所以。2=3-2x2+3=4,%=3%2x3+3=-15,=3。”一|一2+3,a“_=3(a“_1_+l).a-1=-2,=311=42=312,，目飞_2.数列q-是等比数列,(2)解：由(1)可知%-是以-2为首项，以3为公比的等比数列,即a“_=_2x3T,即an=-2x3,*,i解：4+0+a”=(l+2+3+)-2(1+3+3+3”=业辿_2、15+2+1-3”.21-32242.已知S4Qn9求。”与Sn2【答案】GN*；s“=4一.【分析】1由题得S”=4“一,Sfl-i=4tzw-iJ-,n2,

57、两式相减化简即得a与Sn.22【详解】anan-l=2；/11:2Chi2H1（7/i12（5）（5）2小是等差数列，d=2,首项为2m.2nan=2+2（nI）=2n.J.Sn=4an=4n()n-1=4：j.2-22-22T43.设各项均为正数的等差数列&的前项和为，Ss=20,且,%-1,卬成等比数列.(1)求数列叫的公差d;(2)数列也满足bfw，且4+1=q,求数列也的通项公式.【答案】(1)d=l；h=+i+(-ir1.24【分析】根据4，%-1，%成等比数列可得(-if=生即，利用q，d&示出S$=20和（%-1）2=%卬，解方程组可求得q，d，结合得结果：13,13、（2）由（

58、1）可得+=-包+1,整理得一耳一=一（“一（一1）一,可知数列卜.彳（一1）一*为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）设等差数列”“的公差为d,Q%，%T，3成等比数列，（4-1）2=。2卬，即（4+5J-1）2=（0j+d）（q+10d）,5x4又 55=54+式d = 20,解得：，8217当1；时，/=4+3*圻/0,与0矛盾，:17即等差数列,的公差=1:由（】）得：=+1,.-.bn+bn+l=n+l,即纥+|=-4+1,+|=又+l=q=2,解得：=1,二数列么-；（-1）-是以4-=J为苜项，T为公比的等比数列，24J44.也一:（一1）一=（一1广x整理可得：h

59、=二+1+（一244n2444.已知数列4中，4=1, “用=neN*（1）求证：数列是等比数列（2）数列间满足的=（3-1）卡多，数列的前项和为，若不等式（-1）儿7；,+言对一切“恒成立，求4的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）-2/l3【分析】(1)将递推公式两边取倒数，即可得到一二=2+1,从而得到一!一+=3,即可4+1%2(a,2)得证：(2)由(1)可得见=，,从而得到=白,再利用错位相减法求和即可得到%即3122可得到(-I)4-定，对一切eN.恒成立，再对分奇偶讨论，即可求出丸的取值范围；(1)解：由“含(j)得晟所以数列，+1是以3为公比，以=为首项的等比数列.-+r

60、31 1一+ an 2a2J42)2 TOC o 1-5 h z 39解：由（I）得了+5=留3即4=了-“4,J-所以八券F.1C1C1/八11/=1X+2x+3xHF（/2-11X-+X-222?、*2-22”t711/八112212若为奇数，则一丸4齐，对一切eN*恒成立，.一/1一2v72tT两式相减得：与二泉+/+/+击_“吟=2_,因为不等式(-1)义7；+8对一切N*恒成立，2所以(-1)24-产，对一切eN*恒成立，2因为，=4-5订单调递增,，2，一若为偶数，则44一亍=，对一切恒成立.，2；(3)证明见解析.【分析】由条件取特殊值求的,%由条件证明数列、/为等差数列，由此可