八年级初二数学下学期勾股定理单元测试提优卷试卷

1、一、选择题1在ABC中，AB边上的中线CD3,AB6,BCAC8，则ABC的面积为（）A6B7C8D92已知：ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQAC，点F在CE的延长线上，CFAB，下列结论错误的是（）AAFAQBAF=AQCAF=ADDFBAQ3如图钢架中，A15，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（）A16B15C12D104一艘渔船从港口A沿北偏东60方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援有一救援艇位于港口A正东方向20（31）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45

2、方向以30海里/小时的速度前往C处救援则救援艇到达C处所用的时间为（）3B3C223DA3小时2小时小时2323小时5如图，在eqoac(,Rt)ABC中，C=90，AC=4，BC=3，BD平分ABC，E是AB中点，连接DE，则DE的长为（）2CA10B2512D326“折竹抵地”问题源自九章算术中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()A3B5C4.2D47如图，分别以直角ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1,S2,S3表示，

3、若S27，S32，那么S1（）A9B5C53D458如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）2C23A6BD129我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A7.5平方千米B15平方千米C75平方千米D750平方千米10一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（）A5B4C7

4、D4或5二、填空题11如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，矩形内一动点P使得SPAD点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_1S3矩形ABCD，则12如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是_（的值取3）13如图，RtABC中，A90，AC8，AB6，DEAC，CD1BC，3CE1AC，P是直线AC上一点，把CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线3DE上的点H处，CP的长是_14如图是“赵爽弦图”，ABHeqoac(,、)BCGeqoac(,、)CDFeqoac(,和)DA

5、E是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形如果AB13，EF7，那么AH等于_15如图，在ABC中ABAC8,BC4,ADBC于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作PEAB于点E，连接PB，则PBPE的最小值为_.16如图，长方形ABCD中，A=ABC=BCD=D=90，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若ABEeqoac(,与)ABE关于直线BE对称，当ABC为直角三角形时，AE的长为_17如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在ABC外eqoac(,作)BQCBPA，连接PQ，则以下结论中正确有_(填

6、序号)BPQ是等边三角形PCQ是直角三角形APB=150APC=13518如图，E为等腰直角ABC的边AB上的一点，要使AE3，BE1，P为AC上的动点，则PBPE的最小值为_19如图所示，圆柱体底面圆的半径是2，高为1，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是_20四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为eqoac(,Rt)ABM的较长直角边，AM7EF，则正方形ABCD的面积为_.三、解答题21在等边ABC中，点D是线段BC的中点，EDF120,DE与线段AB相交于点E,DF与射

7、线AC相交于点F1如图1，若DFAC，垂足为F,AB4,求BE的长；2如图2，将1中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BECF1AB23如图3，将2中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F,作DNAC于点N，若DNFN,设BEx,CFy，写出y关于x的函数关系式22如图，ABC,B90,AB8cm,BC6cm,P,Q是边上的两点，点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B沿BCA运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求线段PQ的长；（2）求点Q在BC上运动时，出发几秒后，

8、PQB是等腰三角形；（3）点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间23如图1eqoac(,，在)ABC中，ABAC，BAC90，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AEAB，连接CE（1）若AED20，则DEC度；（2）若AEDa，试探索AED与AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AFBE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH22AE224如图1，在等腰直角三角形ABC中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形ECD，且ECD90，连接A

9、E（1）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由（2）如图2，若BD4，P，Q两点在直线AB上且EPEQ5，试求PQ的长（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由25如图，ABD为边长不变的等腰直角三角形，ABAD，BAD90，在ABD外取一点E，以A为直角顶点作等腰直角AEP，其中P在ABD内部，EAP90，AEAP2，当E、P、D三点共线时，BP7下列结论：E、P、D共线时，点B到直线AE的距离为5；E、P、D共线时，S5S=3；2ABDADPSABP13；作点A关于BD

10、的对称点C，在AEP绕点A旋转的过程中，PC的最小值为5+232；AEP绕点A旋转,当点E落在AB上，当点P落在AD上时，取BP上一点N，使得ANBN，连接ED，则ANED其中正确结论的序号是_26如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，A=60，点E为AD边上一点，连接CE，BD.CE与BD交于点F，且CEAB.（1）求证:CEDADB；（2）若AB=8，CE=6.求BC的长.27如图，在边长为2正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.（1）如图1，过点E作EFBE交CD于点F，连接BF交AC于点G.求证：BEEF;设AEx，CG

11、y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE为边的菱形.28（1）如图1，在eqoac(,Rt)ABC和eqoac(,Rt)ADE中，ABAC，ADAE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；求证：BD2+CD22AD2；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABCACBADC45若BD9，CD3，求AD的长29如图1，已知ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CDAE，AD与BE相交于点F（1）求证：ABECAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边ADG，连接BG

12、）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；）若设BD1，DCk（0k1），求四边形AGBE与ABC的周长比（用含k的代数式表示）30已知，矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O（1）如图1，连接AF、CE求证：四边形AFCE为菱形（2）如图1，求AF的长（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFBeqoac(,和)CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和

13、点Q的速度；若不可能，请说明理由若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得2ACBC28，最后根据ABC12ACBC求解即可.【详解】解：如图，在ABC中，AB边上的中线，CD=3，AB=6，CD=3，AB=6，CD=AD=DB，12，34，1234180，1390，ABC是直角三角形，AC2BC2AB236，又ACBC8，AC22ACBCBC264，2ACBC64(AC2BC2)643628，又2ABC

14、1ACBC，SABC1287，22故选B.【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.2C解析：C【分析】根据BD、CE分别是AC、AB边上的高，推导出EBHDCH；再结合题意，可证明FACAQB，由此可得FBAQ,AFAQ；再经AEF90得FFAE90，从而证明AFAQ；最后由勾股定理得AQ2AD2QD2，从而得到AFAD，即可得到答案【详解】如图，CE和BD相较于HBD、CE分别是AC、A

15、B边上的高CEAB,BDACBECBDCAEFADQ90EBHEHBDHCDCH90EHBDHCEBHDCH又BQAC且CFABFACAQBFBAQ,AFAQ，故B、D结论正确；AEF90FFAE90BAQFAEFFAE90AFAQ故A结论正确；ADQ90AQ2AD2QD2QD0AQADAFAD故选：C【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解3D解析：D【分析】PPD30，PD=1P1P2，P1Da，22AP=a+3a+a4+23，根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找

16、出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离即AP5为4+23，设AP1a，作P2DAB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长【详解】解：如图，AP1与各钢条的长度相等，A=P1P2A=15，P2P1P3=30，P1P3P2=30，P3P2P4=45，P3P4P2=45，P4P3P5=60，P3P5P4=60，P5P4P6=75，P4P6P5=75，P6P5B=90，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条设AP1a，作P2DAB于点D，3212P1P2=P2P3，P

17、1P32P1D=3a，P4P3P5=60，P3P4=P4Peqoac(,5)，P4P3P5是等边三角形，P3P5a，最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，5解得，a2，所有钢条的总长为2510，故选：D【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键4C解析：C【解析】【分析】过点C作CD垂直AB延长线于D，根据题意得CDB=45，CAD=30，设BD=x则CD=BD=x，BC=2x，由CAD=30可知tanCAD=CD3x3即，AD320(31)x3解方程求出BD的长

18、，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可.【详解】如图：过点C作CD垂直AB延长线于D，则CDB=45，CAD=30，CDB=45，CDBD，BD=CD，设BD=x，救援艇到达C处所用的时间为t，tanCAD=CD3AD3，AD=AB+BD，x20(31)x3，得x=20（海里），3t=202BC=2BD=202（海里），22=（小时），303故选C.【点睛】.本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键5A解析：A【解析】试题解析：如图，过D作AB垂线交于K，BDBDBD平分ABC，CBD=ABDC=DKB=90，CD=KD，在BCD和BKD中

19、，CDKDBCDBKD，BC=BK=3E为AB中点BE=AE=2.5，EK=0.5，AK=AE-EK=2，设DK=DC=x，AD=4-x，AD2=AK2+DK2即（4-x）2=22+x2解得：x=3222在eqoac(,Rt)DEK中，DE=DK2KE2=（3）+（0.5）=2故选A6C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：102.x2+42=（10-x）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺故选C【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键7A解析：A【分析】根据

20、勾股定理与正方形的性质解答【详解】解：在eqoac(,Rt)ABC中，AB2=BC2+AC2，S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，S1=S2+S3S2=7，S3=2，S1=7+2=9故选：A【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方8A解析：A【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2eqoac(,+S)ABC-S3即可得出结论【详解】解：如图所示：BAC=90，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，以AB为直径的半圆的面积S1=2（cm2）；以AC为直径的半圆的面积S2=98（cm2）；

21、以BC为直径的半圆的面积S3=（cm2）；258eqoac(,S)ABC=6（cm2）；S阴影=S1+S2eqoac(,+S)ABC-S3=6（cm2）；故选A【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键9A解析：A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案详解：52+122=132，三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，这块沙田面积为：12550012500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）故选A点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键1

22、0D解析：D【分析】根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可【详解】当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：32425；当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边斜边长为4或5故选：D【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解二、填空题1182【分析】3根据SPAD1S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值【详解】设PAD中AD边上的高是

23、hSPAD1S3矩形ABCD，11ADhADAB，23h23AB4，动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离在eqoac(,Rt)ADE中，AD8，AE4+48，DEAE2AD2828282,即PA+PD的最小值为82故答案82【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质得出动点P所在的位置是解题的关键1215厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A和C展开到一个平面内根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程【

24、详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=39厘米，矩形的宽BC=12厘米蚂蚁需要爬行最短路程ACBC2AB21229215厘米故答案为：15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短13520或33【分析】根据折叠后点C的对应点H与AC的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论【详解】解：当折叠后点C的对应点H在AC的下方时，如下图所示RtABC中，A90，AC8，AB6，根据勾股定理可得BC=AB2AC210CD11

25、BC，CEAC，33，CEAC81101CDBC3333DEAC根据勾股定理可得DE=CD2CE22由折叠的性质可得：DH=CD=4EH=DHDE=3103，CP=PH设CP=PH=x，则EP=CECP=x83在eqoac(,Rt)PEH中，EP2EH2=PH284即（x）2（）2=x233解得：x=53即此时CP=53；当折叠后点C的对应点H在AC的上方时，如下图所示根据折叠的性质可得DH=CD=16EH=DHDE=3103，CP=PH设CP=PH=y，则EP=CPCE=y在eqoac(,Rt)PEH中，EP2EH2=PH283即（y）2（83解得：y=203163）2=y2即此时CP=20

26、3综上所述：CP=520或33故答案为：520或33【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键14【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a-b=7，解得a，b的值代入即可【详解】AB13，EF7，大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，四个直角三角形面积和为16949120，设AE为a，DE为b，即412ab120，2ab120，a2+b2169，（a+b）2a2+b2+2ab169+120289，a+b17，ab7，解得：a12，b5，AE12，DE5，AH1275故答案为：5【点睛】此题考查勾股定理的证明，

27、关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值1515【分析】根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案【详解】ABAC8,ADBC点B与点C关于AD对称过点C作CEAB于一点即为点P，此时PBPE最小ABAC8,BC4,ADBCBD=2BC在eqoac(,Rt)A中，ADAB2BD28222215SABC=11BCADABCE2242158CE得CE15故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题162或18【分析】分两种情况:点E在AD线段上,点E为AD延长线上的一点,进一步分析探讨得出

28、答案即可.【详解】解：如图点E在AD线段上，ABEeqoac(,与)ABE关于直线BE对称，eqoac(,A)eqoac(,BE)ABE,BAE=A=90o,AB=ABBAC=90o,E、A,C三点共线,CDAB在ECDeqoac(,与)CBA中，DBAC,DECECBECDeqoac(,)CBA,CE=BC=10,在eqoac(,RT)CBA中，AC=BC2BA2=10262=8,AE=AE=CE-AC=10-8=2;如图点E为AD延长线上,由题意得：ABC+ACB=DCE+ACB=90oABC=DCE,A=CDE在ABC与DCE中，CDABABCDCEABCDCE,DE=AC,在eqoac

29、(,RT)ABC中，AC=BC2BA2=10262=8,AE=AD+DE=AD+AC=10+8=18;综上所知,AE=2或18.故答案为:2或18.【点睛】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.17【解析】【详解】解：ABC是等边三角形，ABC60，BQCBPA，BPA=BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，ABP=QBC，PBQPBCCBQPBCABPABC60，BPQ是等边三角形，正确.PQ=BP=4，PQ2QC2423225,PC25225，PQ2QC2PC2，eqoac(,即)PQC90，PQC是直角三角形，正确.B

30、PQ是等边三角形，PBQBQP60，BQCBPA，APB=BQC，BPABQC6090150，正确.APC36015060QPC150QPC，PQC90，PQQC，QPC45，即APC135，错误.故答案为.185【解析】试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明ADFCDB，可以解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5解：如图，过B作BDAC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，则此时PB+PE的值最小，ABC是等腰直角三角形，AB

31、=CB,ABC=90，AD=DC，BAC=C=45，ADF=CDB，ADFCDB，AF=BC,FAD=C=45，AE=3，BE=1，AB=BC=4，AF=4，BAF=BAC+FAD=45+45=90,由勾股定理得：EF=AF2AE2=4232=5，AC是BF的垂直平分线，BP=PF，PB+PE=PF+PE=EF=5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.195【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长AB=2=2，CB

32、=1AC=AB2BC2=2212=5，故答案为：5.【点睛】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决2032【分析】由题意设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2b2，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a2b=b，由此分析即可【详解】解：设AM=2aBM=b则正方形ABCD的面积=4a2b2由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a2b=b，AM7EF，2a7b,a7b,2正方形EFGH的面积为4，b24，正方形ABCD的面积=4a2+

33、b28b232.故答案为32.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.三、解答题21（1）BE1；（2）见解析；（3）y23x【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得BED90，进而可得BDE=30，然后根据30角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，根据AAS易证MBDNCD，则有BMCN，DMDN，进而可根据ASA证明EMDFND，可得EMFN，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D作DMAB于M，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DMDNFN

34、EM，然后根据线段的和差关系可得BE+CF2DM，BECF2BM，在eqoac(,Rt)BMD中，根据30角的直角三角形的性质可得DM3BM，进而可得BE+CF3（BECF），代入x、y后整理即得结果【详解】解：（1）如图eqoac(,1)，ABC是等边三角形，BC60，BCACAB4点D是线段BC的中点，BDDC12BC2DFAC，即AFD90，AED360609012090，BED90，BDE=30，BE12BD1；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，则有AMDBMDANDCND90A60，MDN360609090120EDF120，MDENDF在MBD和NCD中，BE+C

35、FBM+EM+CNFNBM+CN2BMBD1BMDCND，BC，BD=CD，MBDNCD（AAS），BMCN，DMDN在EMD和FND中，EMDFND，DMDN，MDENDF，EMDFND（ASA），EMFN，1BCAB；22（3）过点D作DMAB于M，如图3，同（2）的方法可得：BMCN，DMDN，EMFNDNFN，DMDNFNEM，BE+CFBM+EM+FNCNNF+EM2DM=x+y，BECFBM+EM（FNCN）BM+NC2BM=xy，在eqoac(,Rt)BMD中，BDM=30，BD=2BM，DMBD2BM2=3BM，xy3xy，整理，得y23x【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四

36、边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键22（1）出发2秒后，线段PQ的长为213；（2）当点Q在边BC上运动时，出发83秒后，PQB是等腰三角形；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ为等腰三角形.【分析】（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ和PB的长度，再由勾股定理可以求得PQ的长度；（2）设所求时间为t，则可由题意得到关于t的方程，解方程可以得到解答；（3）点Q在边CA上运动时，BCQ为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答【详解】(1)BQ=22=4cm

37、，BP=ABAP=821=6cm，B=90，由勾股定理得：PQ=BQ2BP2426252213出发2秒后，线段PQ的长为213；(2)BQ=2t，BP=8t由题意得：2t=8t解得：t=83当点Q在边BC上运动时，出发83秒后，PQB是等腰三角形；(3)ABC=90，BC=6，AB=8，AC=6282=10.当CQ=BQ时(图1)，则C=CBQ，ABC=90，CBQ+ABQ=90，A+C=90，A=ABQ，BQ=AQ，CQ=AQ=5，BC+CQ=11，t=112=5.5秒；当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12t=122=6秒BE=ABBC当BC=BQ时(如图3)，过B点作BEAC于点E

38、，6824，AC105所以CE=BC2BE2=185=3.6，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，t=13.22=6.6秒.由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键23（1）45度；（2）AECAED45，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求BAE140，可得CAE50，由等腰三角形的性质可得AECACE65，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求BAE1802，可得CAE902，由等腰三角形的性质可得AECACE45

39、+，可得结论；（3）如图，过点C作CGAH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH2EF，CH2CG，由“AAS”eqoac(,可证)AFBCGA，可得AFCG，由勾股定理可得结论【详解】解：（1）ABAC，AEAB，ABACAE，ABEAEB，ACEAEC，AED20，ABEAED20，BAE140，且BAC90CAE50，CAE+ACE+AEC180，且ACEAEC，AECACE65，DECAECAED45，故答案为：45；（2）猜想：AECAED45，理由如下：AEDABE，BAE1802，CAEBAEBAC902，CAE+ACE+AEC180，且ACEAEC，AEC45+，AECAED45

40、；（3）如图，过点C作CGAH于G，AECAED45，FEH45，AHBE，FHEFEH45，EFFH，且EFH90，EH2EF，FHE45，CGFH，GCHFHE45，GCGH，CH2CG，BACCGA90，BAF+CAG90，CAG+ACG90，BAFACG，且ABAC，AFBAGC，AFBCGA（AAS）AFCG，CH2AF，在eqoac(,Rt)AEF中，AE2AF2+EF2，（2AF）2+（2EF）22AE2，EH2+CH22AE2【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推

41、进去解答是关键.24（1）AE=BD且AEBD；（2）6；（3）PQ为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证ACEBCD，可得AE=BD，EAC=DBC=45，可得AEBD；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证ACEBCD，可得AE=BD，EAC=DBC，可得AEBD，由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长【详解】解：（1）AE=BD，AEBD，理由如下：ABC，ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB

42、，且AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，EAC=DBC=45，EAC+CAB=90，AEBD；（2）PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2AE2=2516=3，PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D在AB的延长线上，ABC，ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，CBD=CAE=135，且CAB=45，EAB=90，PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2AE2=25

43、16=3，PQ=2AQ=6；如图4，若点D在BA的延长线上，ABC，ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，CBD=CAE=45，且CAB=45，EAB=90，PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2AE2=2516=3，PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AEBD是本题的关键25【分析】先证得ABEADP，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得PEB9

44、0，利用勾股定理求出BE，即可求得点B到直线AE的距离；根据的结论，利用SAPDSABPSABESAPBSAEPSBEP即可求得结论；在RtAHB中，利用勾股定理求得AB2，再利用三角形面积公式即可求得SABD；当A、P、C共线时，PC最小，利用对称的性质，ABBC的长，再求得AC的长，即可求得结论；先证得ABPADE，得到ABPADE，根据条件得到ABPNAB，利用互余的关系即可证得结论【详解】ABD与AEP都是等腰直角三角形，BAD90，EAP90，ABAD，AEAP，APEAEP45，EABPAD，ABEADPSAS，AEBAPD180APE18045135，PEBAEBAEP13545

45、90，PE2BE2PB2，AEAP2，EAP90，PE2AE2，7，22BE22解得：BE3，作BHAE交AE的延长线于点H，AEP45，PEB90，HEB180PEBAEP180904545，2HBBEsin453262，2，故错误；点B到直线AE的距离为6由知：ABEADP，EP2，BE3，SAPDSABPSABESAPBSAEPSBEP11AEAPPEEB221122232213，故正确；在RtAHB中，由知：EHHB62，AHAEEH262，AB2AH2BH22226262523，SABD115ABADAB23，故正确；222因为AC是定值，所以当A、P、C共线时，PC最小，如图，连接

46、BC，A、C关于BD的对称，ABBC523，AC2BC25231043，PCminACAP，10432，故错误；ABD与AEP都是等腰直角三角形，BAD90，EAP90，ABAD，AEAP，ADE中，BAPDAE，在ABP和ABADAPAEABPADESAS，ABPADE，ANBN，ABPNAB，EANADE，EANDAN90，ADEDAN90，ANDE，故正确；综上，正确，故答案为：【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键26（1）见解析；（2）BC27.【分

47、析】（eqoac(,1)）由等边三角形的判定定理可得ABD为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分eqoac(,BD)，ABD是等边三角形，可得BAO=DAO=30，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明EDF是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC，BC的长【详解】（1）证明：ABAD，A=60，ABD是等边三角形.ADB60.CEAB，CEDA60.CEDADB.（2）解：连接AC交BD于点O，ABAD，BCDC，AC垂直平分BD.BAODAO30.ABD是等边三角形，AB8ADBDAB8，BOOD4.C

48、EAB，ACEBAO.AECE6,DEADAE2.CEDADB60.EFD60.EDF是等边三角形.EFDFDE2,CFCEEF4,OFODDF2.在eqoac(,Rt)COF中，OCCF2OF223.在eqoac(,Rt)BOC中，BCBO2OC242(23)227.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键27(1)见解析；y【解析】22x0 x1；（2）见解析2x【分析】（1）连接DE，如图1，先用SAS证明CBECDE，得EB=ED，CBE=1，再用四边形的内角和可证明EBC=2，从而可得1=2，进一步即可证得结论；将BAE绕点B顺时针旋转

49、90，点E落在点P处，如图2，用SAS可证PBGEBG，所以PG=EG=2xy，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.【详解】（1）证明：如图1，连接DE，四边形ABCD是正方形，CB=CD，BCE=DCE=45，又CE=CE，CBECDE（SAS），EB=ED，CBE=1，BEC=90，BCF=90，EBC+EFC=180，EFC+2=180，E

50、BC=2，1=2.ED=EF，BE=EF.解：正方形ABCD的边长为2，对角线AC=2.将BAE绕点B顺时针旋转90，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，则BAEBCP，BE=BP，AE=CP=x，BAE=BCP=45，EBP=90，在PBG与EBG中，PBGEBG，BGBG由可得，EBF=45，PBG=45=EBG，PBEBPBGEBG（SAS）.PG=EG=2xy，PCG=GCB+BCP=45+45=90，在eqoac(,Rt)PCG中，由PC2CG2PG2，得x2y22xy2，化简，得y22x0 x1.2x（2）如图3，作法如下：延长BE交AD于点M，连接MO并延长交BC于点N，连接

51、DN交AC于点Q，连接DE、BQ，则四边形BEDQ为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q的位置是解决（2）题的关键.28（1）BCDC+EC，理由见解析；证明见解析；（2）6.【解析】【分析】(1)证明BADCAE，根据全等三角形的性质解答;(2)根据全等三角形的性质得到BDCE，ACEB，得到DCE90，根据勾股定理计算即可;(3)作AEAD，使AEAD，连接CE，eqoac(,DE)，证明BADCAE，得到BDCE9，根据勾股定理计算即可.【详解】（1）解：BCDC+EC，理由如下：BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，eqoac(,在)BADeqoac(,和)CAE中，BADCAE（SAS），BDEC，BCDC+BDDC+EC，；故答案为：BCDC+EC；证明：eqoac(,Rt)ABC中，ABAC，BACB45，由（1）得，BADCAE，BDCE，ACEB45，DCEAC