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1、完整高数公式大全赶紧收藏了以后用高等数学复习公式高等数学复习公式 作者:日期:高等数学公式平方关系：sinA2(a)+cosA2(a)=1tanA2(a)+1=secA2(a)cotA2(a)+1=cscA2(a)积的关系：sina=tana*cosacosa=cota*sinatana=sina*secacota=cosa*cscaseca=tana*cscacsca=seca*cotacost=A/(AA2+BA2)%/2)tant=B/AAsina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1cos(a-t),tant=A/B倍角公式：sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+cota

2、)cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)tan(2a)=2tana/1-tanA2(a)三倍角公式：sin(3a)=3sina-4sinA3(a)cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa倒数关系：tanacota=1sinacsca=1cosaseca=1半角公式：sin(a/2)=P(1-cosa)/2)cos(a/2)=P(1+cosa)/2)直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，降幂公式sinA2(a)=(1-cos(2a)/2=versin(2a)/2cosA

3、2(a)=(1+cos(2a)/2=covers(2a)/2tanA2(a)=(1-cos(2a)/(1+cos(2a)tan(a/2)=P(1-cosa)/(1+cosa)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina万能公式：sina=2tan(a/2)/1+tanA2(a/2)cosa=1-tanA2(a/2)/1+tanA2(a/2)tana=2tan(a/2)/1-tanA2(a/2)积化和差公式：sinacos0=(1/2)sin(a+0)+sin(a-0)cosasin0=(1/2)sin(a+0)-sin(a-0)cosacos0=(1/2)cos(a+0)+cos(

4、a-0)sinasin0=-(1/2)cos(a+0)-cos(a-0)和差化积公式：sina+sinp=2sin(a+p)/2cos(a-p)/2sina-sinp=2cos(a+p)/2sin(a-p)/2cosa+cosp=2cos(a+p)/2cos(a-p)/2cosa-cosp=-2sin(a+p)/2sin(a-p)/2推导公式tana+cota=2/sin2a三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(a+0)=cosacos0-sinasin0cos(a-0)=cosacos0+sinasin0sin(a0)=sinacos0土cosasin0tan(a+p)=(tan

5、a+tanp)/(1-tanatanp)tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp)三角和的三角函数：sin(a+0+Y)=sinacos08SY+cosasin0cosY+cosacos0sinwsinasin0sinYcos(a+0+Y)=cosacos0cosY-cosasin0sinY-sinacos0sinY-sinasin0cosytan(a+0+Y)=(tana+tan0+tanwtanatan0tanY)/(jtanatan0-tan0tanY-tanYtana)辅助角公式：Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中sin

6、t=B/(AA2+BA2)A(1/2)tana-cota=-2cot2a第3页共19页高等数学复习公式高等数学复习公式第 页共19页第 页共19页1+cos2a=2cosA2a1-cos2a=2sin2a1+sina=(sina/2+cosa/2F2sin(2na)=sinacos(2na)=cosatan(2na)=tanacot(2na)=cota淇他：sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n*3/n)+sina+2n*(n-1)/n=0cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+cosa+2n*(n-1)

7、/n=0以及sinA2(a)+sinA2(a-2n/3)+sinA2(a+2n/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O三角函数的角度换算编辑本段公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kn+a)=sinacos(2kn+a)=cosatan(2kn+a)=tanacot(2kn+a)=cota公式二：设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin(n+a)=sinacos(n+a)=cosatan(n+a)=tanacot(n+a)=cota公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系:sin(a)

8、=sinacos(a)=cosatan(a)=tanacot(a)=cota公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(na)=sinacos(na)=cosatan(na)=tanacot(na)=cota公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:公式六：n/2a及3n/2a与a的三角函数值之间的关系：sin(n/2+a)=cosacos(n/2+a)=sinatan(n/2+a)=cotacot(n/2+a)=tanasin(n/2a)=cosacos(n/2a)=sinatan(n/2a)=cotacot(n/2a)=tanas

9、in(3n/2+a)=cosacos(3n/2+a)=sinatan(3n/2+a)=cotacot(3n/2+a)=tanasin(3n/2a)=cosacos(3n/2a)=sinatan(3n/2a)=cotacot(3n/2a)=tana(以上kGZ)部分高等内容编辑本段高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2tanx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数,eAz=exp(z)=1+z/1!+乙人2/2!+乙人3/3!+乙人4/4!+.+zAn/

10、n!+.此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y”;y=y”，有通解Q,可证明Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函一双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值aO30456090sina01/2乜/2也/21cosa1也/2乜/21/20tana0P3/31p3NonecotaNonep31P3/30导数公式:(tgx)=sec2x(ctgx)=-CSC2x(secx)=secx-tgx(cscx)=-cscx-ctgx(ax)=axIna(logx

11、)=axlna(arcsinx)=(arccosx)=(arctgx)=(arcctgx)=基本积分表：Jtgxdx=ln|cosx|+CJctgxdx=ln|sinx|+CJJsecxdx=ln|secx+tgx|+Ccscxdx=ln|cscxctgx|+CdxCOS2xJsec2xdx=tgx+C仝=Jcsc2xdx=-ctgx+Csin2xsecx-tgxdx=secx+Cdx1x=arctg+Ca2+x2aaJdx1=lnx2a22aJcscx-ctgxdx=cscx+Caxdx=+Clnashxdx=chx+C=ln(x+.x2土a2)+CTOC o 1-5 h zdx1,a+x=

12、ln+Ca2x22aaxdx.x小=arcsin+Ca2x2aJchxdx=shx+CdxI=Jsinnxdx=cosnxdx=n_11nn2n00Jx2+a2dx=x,;x2+a2+ln(x+fx2+a2)+C22JJx2a2dx=vx2a2lnx+%;x2a2+C22a2.xx2+arcsin+C2a三角函数的有理式积分:.2u1u2sinx=,cosx=1+u21+u2xu=tg,2,2dudx=1+u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦:shx=于双曲余弦:chx=ex+e_x2双曲正切:thx=ex_e_xchxex+e_xarshx=ln(x+需x2+1)archx=土ln(x+

13、%x2_1)arthx=1ln1+x21_xsmx.lim=1XT0Xlim(l+-)x=e=2.718281828459045xsX三角函数公式:诱导公式：函数角A、sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinacosatgactga和差化积公式：-和差角

14、公式:sin(aB)=sinacosB土cosasinBcos(aB)=cosacosB+sinasinBtg(aB)=1+tggtg卩ctg(aB)=性ctgB干1ctgBctgaa+Ba_Bsina+sinB=2sincos22a+卩.a_卩sina_sinB=2cossin22a+BaBcosa+cosB=2coscos22a+卩.a_卩cosa_cosB=2sinsin22-倍角公式:sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosasin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2actg2a-1ctg2a2ctg

15、a宀2tgatg2a1-tg2a半角公式:acos2=:1+cosa-2.a,1-cosasin=2a,1-cosa1-cosasinatg=21+cosasina1+cosaa1+cosa1+cosasinactg=21-cosasina1-cosabc正弦定理：叔=而=就=2R余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC兀arctgx=-arcctgxk!M点的曲率:十AalimAstOAsda=|yds7(1+y2)3.兀-反三角函数性质：arcsinx=一一arccosx2高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:(UV)(n)=2CkU(n-k)V(k)nk=0.n(n-1)n(n

16、-1)(n-k+1)=u(n)v+nu(n-1)v+u(n-2)VHFU(n-k)V(k)HFUV(n)2!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=广化)(b-a)柯西中值定理：f(b)一f=F(b)-F(a)F崔)当尸(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：ds=*1+y2dx,其中y=tga平均曲率:K=竺.Aa:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。As直线：K=0;半径为a的圆：K=丄.a定积分的近似计算:矩形法：f(x)沁a(y+y+y)n01n1a梯形法：f(x)沁-a(y+y)+y+yn20n1n-1a抛物线法：f(x)沁

17、a(y+y)+2(y+y+y)+4(y+y+y)3n0n24n-213n-1a定积分应用相关公式：功：W=F-s水压力：F=p-A引力：F=kmim2,k为引力系数r2函数的平均值：=ff(x)dxb一aa均方根:ff2(t)dtb一a1a空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d=|MM|=、(x一x)2+(y一y)2+(z一z)212v212121向量在轴上的投影:PrjAB=AB-cos申，申是AB与u轴的夹角。uPrj(a+a)=Prja+Prjau1212a-b=|a卜bcos0=ab+ab+ab,是xxyyzz个数量,两向量之间的夹角:COS0ab+ab+abxxyyzz*1:a2

18、+a2+a2b2+b2+b2xyzxyzjaybyka,|c|=|a|-|b|sin0.例：线速度:v=wxr.zbz向量的混合积:abc=(axb)-c=代表平行六面体的体积。axbxcxaybycyazbzczaxb|-|c|cosa,o为锐角时,平面的方程:其中n二A,B,C,M(x,y,z)00001、点法式：A(xx)+B(yy)+C(zz)=0,000厶一般方程：Ax+By+Cz+D=03、截距世方程:：+=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d二IAxQ.+By0+A2+B2+C2x=x+mtr八s、0空间直线的方程:=t,其中S=m,n,p;参数方程：y=y+nt0z=z+p

19、tJ0二次曲面:1、椭球面：兰+21+兰二1a2b2c22、抛物面：兰+竺二z(p,q同号)2p2q3、双曲面：单叶双曲面：竺+竺兰二1a2b2c2双叶双曲面:二a2竺+兰=1(马鞍面)b2C2多元函数微分法及应用全微分：dz=dx+竺dydu=udx+色dy+色dzTOC o 1-5 h zdxdydxdydz全微分的近似计算：Az沁dz=f(x,y)Ax+f(x,y)Ayxy多元复合函数的求导法：dz_dzdudzdvz=fu(t),v(t).dtdudtdvdtz=fu(x,y),v(x,y)dz_dzdudzdvdxdudxdvdx当u=u(x,y),v=v(x,y)日寸,du=du7

20、du7dx+dydxdydv=dx+dydxdy隐函数F(x,y)=0,隐函数F(x,y,z)=0,隐函数的求导公式:dyFd2yd.F、d.F、dydxFdx2dxFdyFdxTOC o 1-5 h zyyydzFdzFx,ydxFdyFzz高等数学复习公式高等数学复习公式第 页共19页第11页共19页dv_1d(F,G).dxJd(u,x)dv=_1d(F,G)dyJd(u,y)隐函数方程组:f(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0du=_1d(F,G)dxJd(x,v)du=_1d(F,G)dyJd(y,v)dFdF=d(F,G)=dudvFFd(u,v)dGdGGGdudvuv

21、微分法在几何上的应用:x=申(t)空间曲线y=屮(t)在点M(x,y,)处的切线方程:x_xz=(t)0-0z000(t)屮)00z-z0-(t)0FF|FFIFFyz,zxyGGrIgGGGyzzxxy0000F(x,y,z)=0,则切向量t=G(x,y,z)=0在点M处的法平面方程：0(t)(x-x)+屮(t)(y-y)+w(t)(z-z)=00若空间曲线方程为:曲面F(x,y,z)=0上一点M(x,y,z)，贝V：0001、过此点的法向量:n=F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)TOC o 1-5 h zx000y000z0002、过此点的切平面方程：F(x,y,z)(x

22、-x)+F(x,y,z)(y-y)+F(x,y,z)(z-z)=0 x0000y0000z00003、过此点的法线方程:-0=0=0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,方向导数与梯度：函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:-f=dfcos申+fsin申dldxdy其中申为x轴到方向l的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=dff+dfjdxdy它与方向导数的关系是:-f=gradf(x,y)-e，其中e=cosi+sin申.j，为l方向上的dl单位向量。f是gradf(x,y)在/上的投影。dl多元函数

23、的极值及其求法：设/(x,y)=f(x,y)=0,令：f(x,y)=A,f(x,y)=Bx00y00 xx00 xy00A0,(x,y)为极小值00无极值不确定AC-B20时,贝V：AC-B20)的引力：F=F,F,F，其中:F=fJJP(x,y)xdox3d(x2+y2+a2)2柱面坐标和球面坐标：F=fJLp(x,y)ydoy3d(x2+y2+a2)2y?xyzF=-faJJp(兀y)気z3d(x2+y2+a2)2柱面坐标：x=rcos0y=rsin9,z=zillf(x,y,z)dxdydz=JJJF(r,9,z)rdrd9dz,其中：F(r,9,z)=f(rcos9,rsin9,z)x

24、=rsin申cos9y=rsin申sin9,z=rcos申JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJF(r，申,9)r2sin申drd申d9=Jd9Jd申(JF(r，申,9)r2sin申drQQ重心：x=一JJJxpdv,M转动惯量：I=JJJ(y2+z2)pdv,xQ球面坐标：dv=rd申-rsin申d0-dr=r2sin申drd申d0y=MJJJypdv,MQ000z=丄JJJzpdv,M=JJJ(x2+z2)pdv,yQ其中M=x=JJJpdv=JJJ(x2+y2)pdvzQ曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：设f(x,y)在厶上连续，L的参数方程为:x=ty=申(t)Jf(x

25、,y)ds=ff申(t),屮(t)h：02(t)+屮2(t)dt(a卩)特殊情况:La第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为x=申，则：y=屮(t)JP(X,y)dx+Q(x,y)dy=JP申(t)，屮(t加(t)+Q申(t)，屮(t加(t)dtTOC o 1-5 h zLa两类曲线积分之间的关系JPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos卩)ds,其中a和卩分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式:-竺)dxdy=JPdx+Qdy格林公式JJ(-竺)dxdy=JPdx+QdyOxQyOxQyDLDL当P=-y,Q=x,即:：一巴=2时，得到D的面积：A=JJdxdy=1

26、Jxdy-ydxQxQy2DL平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且翌=孑。注意奇点，如(0,0)，应QxQy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在聖=空时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中:QxQy(x,y)、=y=0。00u(x,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x(x0,y0)曲面积分：高等数学复习公式高等数学复习公式第 #页共19页第 页共19页对面积的曲面积分JJf(x,y,z)ds=JJfx,y,z(x,y)1+z2(x,y)+z2(x,y)dxdyx

27、yy,z),y,zdydz,取曲面的前侧时取正号;Qx,y(z,x),zdzdx,取曲面的右侧时取正号。Dzx对坐标的曲面积分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：JJR(x,y,z)dxdy=jJRx,y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正号；JJP(x,y,z)dydz=JJPx(DQ(x,y,z)dzdx=两类曲面积分之间的关系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(Pcosa+QcosP+RcosY)ds高斯公式：高等数学复习公式高等数学复习公式第 页共19页第 页共19页JJJ严+QQ+QR）dv_1JPdydz+Qdz

28、dx+Rdxdy_J（Pcosa+QcosP+RcosY）dsQxQyQzQEE高斯公式的物理意义通量与散度：散度：divV_竺+翌+竺，即：单位体积内所产生的流体质量，若divV0,则为消失.QxQyQz通量:JJA-nds_JJAds_JJ（Pcosa+QcosP+RcosY）ds,n因此，高斯公式又可写成JJJdivAdv_JJAdsnQE斯托克斯公式一曲线积分与曲面积分的关系：JJ（攣-翌）dydz+（竺-竺）dzdx+（匹-竺）dxdy_JPdx+Qdy+Rdz宀宀QzQxQxQyrcosPQQyQQRQQQyQzE上式左端又可写成：EdydzQdzdxQdxdycosadxPQzR空间曲线积分与路径无关的条件:竺_匹QyQzQyQcosYQ旋度：rotA=dxPQyQQzRQxPQP_