大学物理(不容错过的考点)第四篇振动波动和波动光学课件

1、第四篇 振动 波动和波动光学我们生活在波的海洋中感谢：曹海静老师提供 8/20/2022波动是振动在空间传播的过程波动：物质基本运动形式：机械振动、电磁振荡机械波、电磁波振动学是波动学的基础第11章 振动学基础注：任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本的简谐运动所合成的。第四篇 振动 波动和波动光学振动：德布罗意波几率波我们生活在波的海洋中。 振动是普遍存在的一种运动形式 任何一个物理量（物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等）在某一定值附近的反复变化。振动（vibration）：机械振动（mechanical vibration）： 物体在一定位置（中心）附近作来回往复的运动。E

2、x：钟摆的摆动，活塞的往复运动等。简谐运动(simple harmonic motion) ：是最基本、最简单的振动。11-1 简谐运动的描述弹簧振子单摆8/20/202211-1 简谐运动的描述弹簧振子物体运动时，离开平衡位置的位移（or角位移）按余弦函数（or正弦函数）的规律随时间变化。单摆简谐运动：一、简谐运动的运动学特征以弹簧振子为例：弹簧振子：质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧的自由端，弹簧和物体组成的系统称为弹簧振子。 弹簧处于自然长度时，物体受合外力为零，物体处于平衡状态，物体所在的位置就是平衡位置O点。 若把物体略加移动后释放，由于弹簧被拉长或收缩，便有指向平衡位置的回复力作用

3、在物体上，迫使物体返回平衡位置，这样在弹性力作用下，物体就在其平衡位置附近作往复运动。单摆的小角度摆动也是简谐运动。A 平衡位置 Ax=-Av=0a=amaxx=0v=vmaxa=0 x=Av=0a=-amax8/20/2022（一）基本物理量简谐运动表达式：运动规律由余(正)弦函数描述。1、A：振幅(amplitude) 物体离开平衡位置的最大位移； 单位：m、cm、mm、nm2、：角频率or圆频率 (angular frequency) 2秒内往复振动的次数； 单位：弧度/秒（rad/s）3、t+0：位相或周相(phase) 决定任意时刻系统运动状态的物 理量； 单位：弧度（rad）相：“

4、相貌”的意思，即相位决定 了简谐运动的相貌。（1）0：初相 t=0时的位相，与初始条件有关；（2）相位差:两个振动：（3）同相：Ex:物体在正向最大处物体在平衡位置处8/20/2022xtO两个振动步调相同反相：（3）同相：xtO两个振动步调相反（4）超前：第二个简谐振动超前第一个简谐振动（第一个简谐振动落后第二个简谐振动 ）落后：第二个简谐振动落后第一个简谐振动 超前和落后具有相对性！4、f 或：频率（frequency） 单位时间内往复振动的次数； 单位：赫兹（Hz）5、T：周期（period） 往复振动一次的时间。 单位：秒（s）周期、频率与角频率关系：（第一个简谐振动超前第二个简谐振动

5、 ）8/20/2022（二）振动曲线xtOT（三）简谐运动的速度与加速度4、f 或：频率（frequency） 单位时间内往复振动的次数； 单位：赫兹（Hz）5、T：周期（period） 往复振动一次的时间。 单位：秒（s）周期、频率与角频率关系：A-A从图上所获得的信息： 振幅 A 周期T： t=0 时，速度 or注：t0 时对应曲线上的点作曲线的斜率，由斜率判断V0的正负。Ex:8/20/2022（四）振动表达式的建立关键：初相位的确定。（1）已知 t =0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0基本方程：则振幅：初相位：（三）简谐运动的速度与加速度讨论：（1）（2）v 比 x

6、的相位超前 ，a比 v 的 相位超前 。a 比 x 的相位超前（a 和 x 反相）代数法解：由 式，当 t =0，得8/20/2022注意：（2）已知t = 0时，和质点的运动方向（v00或v00）解：由 式得：可求得两个值，利用v0的方向和式可定出。若v00必须0若v0 0必须 0总之，只要知道初始条件，即可利用方程 来求得A、 。（3）如果已知的不是 t = 0 时的 x、v，（四）振动表达式的建立关键：初相位的确定。（1）已知 t =0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0基本方程：则振幅：初相位：1、代数法解：由 式，当 t =0，得 不是唯一的，需要具体分析（由速度正负判

7、断）。同样可以利用方程 求A、 。 例题： A（2）：辅P259 例92（自学） C（2）：辅P202 例1118/20/2022 旋转矢量 的模即为简谐运动的振幅。 旋转矢量 的角速度即为振动的角频率。 旋转矢量 与x轴的夹角(t+)为 简谐运动的相位。 t =0时， 与x轴的夹角即为简谐振动的初相位。xP周期： 旋转矢量 旋转一周，P点完成一次全振动。二、简谐运动的旋转矢量 (rotating vector ) 表示法：简谐运动的几何描述法P的坐标为：在 旋转过程中，M点作匀速圆周运动，对应的圆周叫参考圆，故旋转矢量法又称参考圆法。参考圆：上半圆v0绕O点作逆时针方向的匀速转动。自 OX

8、轴的原点O作一矢量 ，旋转矢量 的端点M在X轴上的投影点P的运动为简谐运动。 旋转一周（逆时针方向），P完成一次全振动。8/20/2022旋转矢量 的端点M在X轴上的投影点P的运动为简谐运动。 旋转一周（逆时针方向），P完成一次全振动。P的坐标为：在 旋转过程中，M点作匀速圆周运动，对应的圆周叫参考圆，故旋转矢量法又称参考圆法。参考圆：上半圆 v0三、相位差xA二个振动的频率相同时，相位差为初相位差四、旋转矢量法的应用：求解振动表达式：时，用于求初相类型：1、文字题已知：当t=0时，下半圆上半圆8/20/2022四、旋转矢量法的应用：求解振动表达式：时，用于求初相类型：1、文字题已知：当t=0

9、时，下半圆上半圆2、图像题已知：振动曲线（余弦或正弦曲线）当t=0时，x1/2AxtOA-AEx:由图知，t=0时，x8/20/2022例题：书P99 例111 ，书P103 例113作业：A（2）：书 P 128 11-3，11-4， 11-5，辅 P 274 3，6C（2）：书 P 128 11-3，11-4， 11-5，辅 P 211 3，68/20/2022书P99例11-1:一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求: (1) 振动表达式；(2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x

10、=-0.6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：（1）由已知： A=12cm，T=2s，x6cm则振动表达式：(2)(3)t = 0 时，8/20/2022例：一质点沿X轴作简谐振动，其振动曲线如图所示，写出振动表式。解：由图可知：振动表式为：当t=0时，A=0.2m，T=1s；x8/20/202211-2 简谐运动的动力学特征一、动力学描述1. 弹簧振子理想模型根据胡克定律：(k为劲度系数)在弹簧形变不大时，弹性力F 和位移x成正比。(2)弹性力F 和位移x 恒反向，始终指向平衡位置。回复力：始终指向平衡位置的作用力振动的条件: (1)存在回复力；(2)物体具有惯

11、性由牛顿第二定律得：令:得：w由振动系统本身的性质（物体的弹性和惯性）所决定，固称为固有频率。此微分方程的实数解为：振动表达式8/20/2022得：此微分方程的实数解为：振动表达式（简谐运动位移）简谐运动的微分方程： 任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动微分方程，或遵从余弦(或正弦)规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动。如：交流电压U为常数2. 单摆(simple pendulum)的讨论 摆球质量和细绳伸长忽略不计，把摆球从平衡位置拉开一段距离后（摆角50）放手，摆球就在竖直面内摆动。Ol 8/20/20222. 单摆(simple pendulum)的讨论 摆球质量和细绳

12、伸长忽略不计，把摆球从平衡位置拉开一段距离后（摆角50）放手，摆球就在竖直面内摆动。Ol mgT取角位移 的正方向为逆时针方向其中，（负号表示 与 方向相反）当 很小，并以弧度表示时，即，结论：单摆的振动是简谐运动。令得8/20/2022以弹簧振子为例，来说明振动系统的能量1、系统动能：2、系统势能：xxov二、简谐运动的能量 基本方程：3、系统的总能量讨论：（1）振子在振动过程中，动能和势能 分别随时间变化，但任一时刻总 机械能保持不变。（2）位移最大，势能最大，但动能最 小。在振动曲线的峰值。 位移为0，势能为0，但动能最大， 在振动曲线的平衡位置。8/20/20222、系统势能：3、系统

13、的总能量讨论：（1）振子在振动过程中，动能和势能 分别随时间变化，但任一时刻总 机械能保持不变。（2）位移最大，势能最大，但动能最 小。在振动曲线的峰值。 位移为0，势能为0，但动能最大， 在振动曲线的平衡位置。弹簧振子的能量曲线4、简谐运动总的特征（1）线性回复力；（2）运动学：（3）机械能守恒：8/20/2022例题：书P106 114作业：A（2）：书P129 1114，辅P275 10 C（2）：书P129 1114，辅P215 28/20/2022书P129 1114: 当弹簧振子离开平衡位置位移为振幅的一半时，其动能，势能各占总能量的多少？ 振子在什么位置时其动能和势能各占总能量的

14、一半？解：8/20/202211-3 简谐运动的合成 一般的复杂振动都是由简谐运动合成的，振动合成问题比较复杂，这里我们只讨论三种情况振动的合成。1、两个同方向同频率简谐运动的合成(重点)2、两个同方向不同频率简谐运动的合成3、相互垂直的简谐运动的合成设：两个同方向（都为x方向），同频率（都为w）的简谐运动表达式分别为：一、两个同方向同频率简谐运动的合成因两运动方向相同，则任意时刻合振动的位移为两分振动位移的代数和：1、代数法推导合振动8/20/20221、代数法推导合振动结论：两个同方向同频率的简谐振动的合成仍为简谐振动，其振动方向和频率都与原来的两个分振动相同。合振动的振幅：合振动的初位相

15、：2、旋转矢量法推导合振动x8/20/2022x注意：的具体象限要根据1、2 确定讨论：合振动的加强和减弱k=0，1，2，3，合振幅加强：2、旋转矢量法推导合振动（余弦定理）（三角形全等）1、 位相差 同向旋转矢量表示：xA1A2xA=A1+A2合成 一起以 转动，保持相对静止。8/20/2022旋转矢量表示：xA1A2xA=A2-A1合成讨论：合振动的加强和减弱k=0，1，2，3，合振幅加强：1、 位相差 同向旋转矢量表示：xA1A2xA=A1+A2合成k=0，1，2，3，合振幅减弱：2、 位相差 反向8/20/2022两个同方向同频率简谐运动的合成演示8/20/2022例11-5: 两个同

16、方向的简谐运动曲线(如图所示) (1) 求合振动的振幅。(2) 求合振动的振动方程。xTt解: t=0时，x1和x2互为反相，合振幅最小由两振动的旋转矢量图：根据旋转矢量法：xx1的振动表达式为：由图知：同理，t=0时，根据旋转矢量法：xx1的振动表达式为：x合振动表达式为：8/20/2022二、两个同方向不同频率简谐运动的合成（了解）两个同方向不同频率简谐运动的合振动与原来的振动方向相同，但不再在简谐运动。设两简谐运动表达式分别为：两振动的旋转矢量图为： 相对于 的转动角速度为平行四边形形状变化，的大小也在变化，合运动为非简谐运动。为简化问题，设振幅随时间变化振动项当但彼此相差很小时， 上式不符合简谐运动的定义，所以合运动不再是简谐运动。8/20/2022合振动可看成振幅间缓慢变化，简谐因子随时间快速变化的近简谐运动。“拍(beat)”振幅随时间变化振动项当但彼此相差很小时， 上式不符合简谐运动的定义，所以合运动不再是简谐运动。随时 把两个频率较大，但频率之差很小的两个同方向简谐运动合成所产生的合振动其振幅周期性变化的现象叫做拍拍的周期：拍的频率(简称拍频)：8/20/20228/20/2022三、相互垂直的简谐运动的合成（了解）1. 相互垂直的同频率简谐运动的合成讨论：1、 结论：质点运动轨迹为直线yx2、结论：质点运动轨迹为正椭圆 （以坐标轴为主轴）设两振动表达式分别为