定积分的应用-2课件

1、1 平面图形的面积2 立体的体积3 经济应用第四节 定积分的应用1 平面图形的面积复习: 定积分的几何意义由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0 xy怎样求面积呢？A-AA表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00AA2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图结论：几何意义abxyy=f(x)0例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f

2、(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1bocdexyoa授新课：一、直角坐标系情况yxoabxyoab 4、如果平面区域既不是x型区域，也不是y型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x型区域与y型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：xEabABCDFGo解两曲线的交点，选 为积分变量解方程组图为

3、型区域练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1） （2） 轴（3） 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4） （5） 解两曲线的交点选 为积分变量练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6） 或 好12法一：以 y 作积分变量 法二：以 x 作积分变量 （7） 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。例 4 求由下列给定曲线所围成的图形面积。解由图形的对称性可得ab作 业P21112、（2）（4）（6）bocdexyoa复习：一、直角坐标系情况yxoabxyoab第四节 定积分的应用2 立体的体积2、平行截面面积为已知的立体的体积如果

4、知道一立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴。最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴旋转的情形。旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。aby=f (x)dcx=g (y)旋转体的体积计算公式1、旋转轴为 x 轴（演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所围成的曲边梯形绕 y

5、轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为 y 轴（演示）oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式例 1 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。xx+dx解 如图所示 直线OP的方程为 所求体积为 练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周 绕x轴旋转一周 1y=x31y轴轴练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 绕y轴旋转一周 1y=x3y返回例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周

6、而成的立体的体积。解 如图所示V2V121练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周 第四节 定积分的应用3 经济应用一、由变化率求总量已知某产品的总产量Q的变化率是时间t的连续函数f(t),即设则该产品的总产量函数为为某个规定的初始时刻。通常，取即刚投产时的总产量为零。例1 某工厂生产某商品在时刻 的总产量变化率为 (单位/小时)。求由 到 这两小时的总产量。 解我们已知，在经济学中，常用导数表示一些边际经济量。例如边际成本 ，边际收益 ，边际利润 等。反过来，如果已知边际量，要求总量，则可采用积分求解。二、由边际函数求原函数解例2 已知边际成本为固定成本为1000,求总成本函数。 例3 解： 某商品的需求量 为价格 的函数，该商品的最大需求量为1000，已知边际需求为 ，求需求量 与价格 的函数关系。 例3 解： 问题的提出返回定积分元素法分析返回定积分元素法返回平面图形的面积（直角坐标）返回求面积例题 1返回面积例题 2返回求面积例